数值分析上机报告.docx
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数值分析上机报告
数力系级
《数值分析》实验报告
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2010年6月25日
1.第二章上机练习
1.1实验一
1、分别用不动点迭代与Newton法求解方程x-+2=0的正根与负根。
2、usethefollowingmethodtofindasolutionin[0.1,1]accuratetowithinfor
a.Bisectionmethod;b.Newtonmethod;c.Secantmethod;d.methodofFalsePosition;e.Müller’smethod
1.1.1迭代公式（简单原理）
1.BisectionMethod
Themethodcallsforarepeatedhalvingofsubintervalsof[a,b]and,ateachstep,locatingthehalfcontainingtherootofequation.
Supposef（x）isacontinuousfunctiondefinedontheinterval[a,b],withf（a）andf（b）ofoppositesign.setal=aandb1=b,andletp1bethemidpointof[a,b];Thatisp1=（a+b）/2,Iff（p1）=0,thensetp=p1,p1是f（x）=0的实根p.Iff（a1）f（p1）<0,thenp（a1,p1）,seta2=a1,b2=p1;otherwisep∈（p1,b1）,seta2=p1,b2=b1.Wethenrepeattheprocesstotheinterval[a2,b2].Thelengthofinterval[ak,bk]isbk-ak=
2.Fixed-PointIteration
Thebasicidea:
Step1.Constructingthefixed-pointequation:
x=g（x），letf（x）=0x=g（x）;g（x）iscalledIterationfunction
Step2.Settingupiterationscheme：
pk+1=g（pk）
（1）Wechooseaninitialapproximationp0andgeneratethesequenceby
（1）,foreachk≥1.
3.Newtonmethod
Supposethatf∈[a,b],letpk∈[a,b]beanapproximationtorootoftheequationf（x）=0.ConsiderthefirstTaylorpolynomialforf（x）aboutpktoapproximatef（x）:
Wehave,Letf’（pk）≠0,Solvingforpk+1gives,whichstartswithaninitialapproximationP0andgeneratesthesequence
4.Secantmethod
如所求问题不便求导，用过点xk的割线的斜率来代替切线的f’（xk）,即,SubstitutingitintoNewtonMethod,wehave,ThistechniqueiscalledtheSecantmethod.
5.methodofFalsePosition
（1）提供两个初始值：
p0,p1，满足f（p0）·f（p1）<0；
（2）利用割线法求出p2,;（3）检查f（p2）·f（p1），若f（p2）·f（p1）<0，过点（p1,f（p1））（p2,f（p2））做割线，求出p3;否则若f（p2）·f（p1）＞0，过点（p0,f（p0））与（p2,f（p2））做割线，求出p3;依此类推下去…
试位法保证方程f（x）=0的根p，总在相邻的迭代之中,即p∈（pk,pk+1）.
6.Müller’smethod
1.1.2程序及实验结果
1.1Newtonmethod
fnewton.m
functionres=fnewton（func,dfunc,x,tol）
x0=x;
d=feval（func,x0）/feval（dfunc,x0）;
i=0;
whileabs（d）>tol
i=i+1;
x1=x0-d;
x0=x1;
d=feval（func,x0）/feval（dfunc,x0）;
end
res=[x0,i];
func.m
functionfx1=func（x）
fx1=x-10^x+2;
dfunc.m
functionfx2=dfunc（x）
fx2=1-10^x*（log（10））;
实验结果
1.2Fixed-PointIteration
fixedpoint.m
functionres=fixedpoint（func1,x,tol）
x0=x;
d=feval（func1,x0）;
x1=d;
i=0;
whileabs（x1-x0）>tol
x0=x1;
i=i+1;
d=feval（func1,x1）;
x1=d;
end
res=[x1,i];
func1.m
functionfx1=func1（x）
fx1=log10（x+2）;
实验结果
将func1做更改
func2.m
functionfx=func2（x）
fx=10^（x）-2;
实验结果:
2.1Bisectionmethod
bisection.m
functionres=bisection（func,xa,xb,tol）
n=0;
xc=0;
fa=0;
fc=0;
while（xb-xa）>tol
n=n+1;
fa=feval（func,xa）;
xc=（xa+xb）/2;fc=feval（func,xc）;
iffc*fa<0
xb=xc;
elsexa=xc;
end
end
res=[nxaxbxcfc];
func.m
functionfx1=func（x）
fx1=600*（x^4）-550*（x^3）+200*（x^2）-20*x-1;
实验结果
2.2.Newtonmethod
fnewton.m
functionres=fnewton（func,dfunc,x,tol）
x0=x;
d=feval（func,x0）/feval（dfunc,x0）;
i=0;
whileabs（d）>tol
i=i+1;
x1=x0-d;
x0=x1;
d=feval（func,x0）/feval（dfunc,x0）;
end
res=[x0,i];
func.m
functionfx1=func（x）
fx1=600*（x^4）-550*（x^3）+200*（x^2）-20*x-1;
dfunc.m
functionfx2=dfunc（x）
fx2=1-10^x*（log（10））;
实验结果
2.3Secantmethod
secant.m
functionres=secant（func,x,y,tol）
x0=x;
x1=y;
d=[feval（func,x1）]*（x1-x0）/（feval（func,x1）-feval（func,x0））;
i=0;
whileabs（d）>tol
i=i+1;
d=feval（func,x1）*（x1-x0）/（feval（func,x1）-feval（func,x0））;
x0=x1;
x1=x1-d;
end
res=[x0,i];
func.m
functionfx1=func（x）
fx1=600*（x^4）-550*（x^3）+200*（x^2）-20*x-1;
实验结果
2.4methodofFalsePosition
falseposition.m
functionres=falseposition（func,x,y,tol）
x0=x;
x1=y;
d=[feval（func,x1）]*（x1-x0）/（feval（func,x1）-feval（func,x0））;
i=0;
f=0;
x2=0;
whileabs（d）>tol
i=i+1;
f=feval（func,x1）;
d=feval（func,x1）*（x1-x0）/（feval（func,x1）-feval（func,x0））;
x2=x1-d;
ifx2*f<0
x0=x1;
x1=x2;
elsex1=x2;
end
end
res=[x0,i];
func.m
functionfx1=func（x）
fx1=600*（x^4）-550*（x^3）+200*（x^2）-20*x-1;
实验结果
2.5Müller’smethod
muller.m
functionres=muller（func,x,y,z,tol）
%Tofindtheapproximationrootofapolynomials
%bymullermethod
x0=x;
x1=y;
x2=z;
h1=x1-x0;
h2=x2-x1;
m1=（feval（func,x1）-feval（func,x0））/h1;
m2=（feval（func,x2）-feval（func,x1））/h2;
d=（m2-m1）/（h2+h1）;
i=0;
h=100;
b=0;
e=0;
p=0;
q=0;
whileabs（h）>tol
i=i+1;
b=m2+h2*d;
p=（b^2-4*d*feval（func,x2））^（0.5）;
ifabs（b-p）e=b+p;
elsee=b-p;
end
h=（-2）*feval（func,x2）/e;
q=x2+h;
x0=x1;
x1=x2;
x2=q;
h1=x1-x0;
h2=x2-x1;
m1=（feval（func,x1）-feval（func,x0））/h1;
m2=（feval（func,x2）-feval（func,x1））/h2;
d=（m2-m1）/（h2+h1）;
end
res=[q,i];
func.m
functionfx1=func（x）
fx1=600*（x^4）-550*（x^3）+200*（x^2）-20*x-1;
实验结果
1.1.3结果分析
1.经过实验结果比较我们可以看到，Newton法只需选取不同的初值，便可求出他全部的解，即Newton法对于他全部的解都是收敛的。
而使用不动点法，我们首先要选取合适的g（x），因为对于不同的解，g（x）不一定收敛，而对于不同的g（x）收敛的速度也都不同。
而
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