数值分析上机作业修改讲义.docx

1、数值分析上机作业修改讲义西南交通大学数值分析2015上机实习报告2015年11月第2题2. 某过程测涉及两变量x 和y, 拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的近似多项式，已知xi与yi之间的对应数据如下，xi=1,2,10yi = 34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795 103.5743 97.4847 78.2392（1）请用次数分别为3，4，5，6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)。（2）请用插值多项式给出最好近似结果下列数据为另外的对照记录，它们可以作为近似函数的评价参考数据。xi = Column

2、s 1 through 7 1.5000 1.9000 2.3000 2.7000 3.1000 3.5000 3.9000 Columns 8 through 14 4.3000 4.7000 5.1000 5.5000 5.9000 6.3000 6.7000 Columns 15 through 17 7.1000 7.5000 7.9000yi = Columns 1 through 7 42.1498 41.4620 35.1182 24.3852 11.2732 -1.7813 -12.3006 Columns 8 through 14 -18.1566 -17.9069 -11.

3、0226 2.0284 19.8549 40.3626 61.0840 Columns 15 through 17 79.5688 93.7700 102.36771. 程序（1）多项式拟合程序n=input(输入所要拟合的阶数n=);hold on;x=1:10;y=34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795 103.5743 97.4847 78.2392;P=polyfit(x,y,n)xi=1:.2:10; yi=polyval(P,xi); plot(xi,yi,x,y,r*);legend(拟合曲线,原始数据)

4、（2）拉格朗日插值多项式拟合程序clc;x=1:10;y=34.6588 40.3719 14.6448 -14.2721 -13.3570 24.8234 75.2795 103.5743 97.4847 78.2392;plot(x,y,r*);hold on; syms t; n=length(x); f = 0.0; for i =1:n l = y(i); for j = 1:i-1 l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; for j = i+1:n l = l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; f = f + l; simplify(f); f

5、 = collect(f); f = vpa(f,6); end ti=1.0:0.4:10; f=subs(f,t,ti); plot(ti,f)legend(拟合曲线,原始数据)title 拉格朗日插值多项式拟合 2. 结果分析（1）请用次数分别为3，4，5，6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)。图2-1 3次多项式拟合结果 图2-2 4次多项式拟合结果图2-3 5次多项式拟合结果图2-4 6次多项式拟合结果 从绘制的图形来看，当采用6次多项式拟合的时候，拟合的曲线已经与所给出的点非常逼近了。6次多项式拟合曲线为：f(x)=0.0194x6-0.5408x5+5.1137x4-16.8

6、973x3-0.8670x2+66.3750x-18.6991（2）拉格朗日插值多项式给出最好近似结果图1-4 拉格朗日插值多项式拟合第3题3用雅格比法与高斯赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b，研究其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。(1)A行分别为A1=6,2,-1,A2=1,4,-2,A3=-3,1,4； b1=-3,2,4T, b2=100,-200,345T,(2) A行分别为A1=1,0,8,0.8,A2=0.8,1,0.8,A3=0.8,0.8,1；b1=3,2,1 T, b2=5,0,-10T,(3)A行分别为A1=1,3,A2=-

7、7,1；b=4,6T,1. 程序（1）雅格比法程序function jacobi( )clc;clear;A=6 2 -1;1 4 -2;-3 1 4;B=-3;2;4;Err_user=0.01;N=500;m,n=size(A);X=zeros(n,1);k=1;while k=N; Xk=X; for i=1:n for j=1:n if i=j AX(j)=A(i,j)*Xk(j); end end Sum_AX=sum(AX); AX=0; X(i)=(B(i)-Sum_AX)/A(i,i); end E=max(abs(Xk-X); if EErr_user break; end

8、k=k+1;enddisp(X); %显示迭代结果disp(k); %显示迭代次数（2）高斯赛德尔迭代法程序function GS( )clc;clear;A=6 2 -1;1 4 -2;-3 1 4;B=-3;2;4;A=1 0.8 0.8;0.8 1 0.8;0.8 0.8 1;B1=3;2;1;B2=5;0;-10;Err_user=0.0001;N=50;m,n=size(A);X=zeros(n,1);k=1;while k=NXk=X; for i=1:n for j=1:n if i=j AX(j)=A(i,j)*X(j); % Jacobi end endsum_AX=sum(

9、AX);AX=0;X(i)=(B1(i)-sum_AX)/A(i,i); endEr=max(abs(Xk-X); if ErErr_user break; endk=k+1;enddisp(X);disp(k); end2. 结果分析（1）1）A行分别为A1=6,2,-1,A2=1,4,-2,A3=-3,1,4； b1=-3,2,4T雅克比迭代：计算结果 x=-0.6363 0.5960 0.3737T,.迭代次数16次。高斯赛德迭代：计算结果 x=-0.6363 0.5959 0.3738T,.迭代次数10次。2）A行分别为A1=1,0,8,0.8,A2=0.8,1,0.8,A3=0.8,

10、0.8,1；b1=3,2,1 T 雅克比迭代：计算不收敛高斯赛德迭代：计算结果 x=5.7690 0.7694 -4.2307T,.迭代次数30次。（2）A行分别为A1=1,3,A2=-7,1；b1=4,6T。雅克比迭代：计算结果不收敛高斯赛德迭代：计算结果不收敛 通过对雅克比法和高斯法的上机编程实习，分析对比实验结果可得：在方程组Ax=b中，右端项对迭代收敛是有影响的，即当b增大时，迭代次数增加，收敛速度降低。并且通过对比可知，在相同条件下，高斯赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛速度快；方法的选择也很重要，比如第二问，用雅克比迭代法是发散的，而用高斯迭代法则是收敛的。通过上机验证，我们也得出结论

11、：理论分析是正确的，即当迭代矩阵的谱半径小于1时，迭代法是收敛的，而当迭代矩阵谱半径大于1的时，迭代法都是发散的。第5题5. 用Runge-Kutta 4阶算法对初值问题y/=-20*y，y(0)=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的作用，推荐两种步长h=0.1,0.2。注：此方程的精确解为：y=e-20x1. 程序%Runge-Kutta4阶算法%f=-20y%y（0）=1%clc;clear;N=10;%设定节点个数h=0.05;%设定步长x(1)=0;%x0=0y(1)=1;%y（0）=1yy(1)=exp(-20*x(1);%y（0）的精确解%开始用runge-kutta法计算for

12、i = 2:N K1 = -20*(y(i-1);%(xi,yi)点的导数为f=-20*y K2 = -20*(y(i-1)+K1*h/2); K3 = -20*(y(i-1)+K2*h/2); K4 = -20*(y(i-1)+K3*h); delta = h*(K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4)/6; y(i) = y(i-1) + delta;%计算y（i）值 x(i) = x(i-1) + h;%计算下个节点的x（i)值 yy(i) = exp(-20*x(i);%计算y(i)的精确值end;%存储计算结果dlmwrite(f:计算结果.xls, x, delimiter,

13、t, precision, 8);dlmwrite(f:计算结果.xls, y,-append, delimiter, t, precision, 8);dlmwrite(f:计算结果.xls, yy,-append, delimiter, t, precision, 8);%画图功能 plot(x,y,o,x,yy,*); xlabel(x); ylabel(y); legend(四阶Runge-Kutta法,精确解); pause; close;%2. 结果分析（1）步长h = 0.1 时结果当步长取为0.1时，计算结果如图1.2-2：图5-1 h=0.05时计算结果计算结果整理如表5-1所示：表5-1 h=0.1时结果1.2.3步长 h = 0.2 时结果当步长取为0.2时，计算结果如图5-2：图5-2 h=0.1时计算结果计算结果整理如表5-2所示：图5-2 h=0.2时计算结果通过以上对Runge-Kutta法的应用，计算结果表明步长h的取值会影响算法的收敛性和稳定性：（1） Runge-Kutta法的步长h越长，计算结果的精确度越低，甚至计算结果不收敛；（2） 当步长h在稳定区间时，误差逐步衰减。