数值分析上机作业.docx
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数值分析上机实验报告
姓名：
班级：
学号：
1
第一次上机：
1.题目：
分别用不动点法和牛顿法求解方程
x-exp（x）+4=0
Fixedpointconvergetonegativeroot
Theprincipal：
anumberpisfixedpointforagivenfunctiongifg（p）=p.AndwecanchangeTheequation
tofixedpointform.asforfixedpointiflim
k®¥
pkmake
g（pk）=pk.
Wecanchangetheformto:
g1=exp（g0）-4
usetheinitialnumberas1
Thecode:
g0=1;
g1=exp（g0）-4;
whileabs（g1-g0）>0.00001
g0=g1;
g1=exp（g0）-4;
end
g1
theresults:
>>w1_fixed_point
g1=
2
-3.9813
结果分析
通过控制迭代式的形式可以决定收敛到正跟或负根。
Fixedpointconvergetopositiveroot
Theprincipal：
Wecanchangeanewfixedpointformtoproduceapositiveroot
Wecanchangetheformto:
g1=log（4+g0）;
useinitialnumberas-3.9
Thecode:
g0=-3.9;
g1=log（4+g0）;
whileabs（g1-g0）>0.00001
g0=g1;
g1=log（g0+4）;
end
g1
theresults:
>>w1_fixed_point_positive
g1=
1.7490
Newton’smethodtofindnegativeroots
Theprincipal：
3
WederiveNewton’smethod,basedontaylorpolynomials.newton’s
methodisakindoffixedpointmethodwhichhastwoorderconvergence.
Wecanchangetheformto:
g1=g0-（g0-exp（g0）+4）/（1-exp（g0））
useinitialnuberas-3
Thecode:
g0=-3;
g1=g0-（g0-exp（g0）+4）/（1-exp（g0））;
whileabs（g1-g0）>0.00001
g0=g1;
g1=g0-（g0-exp（g0）+4）/（1-exp（g0））
end
theresults:
>>w1_newton
g1=
-3.981342639636226
g1=
-3.981339370911418
结果分析：
收敛速度明显快于不动点（结果太长没打出）。
Newton’smethodtofindpositiveroots
Theprincipal：
Useinitialnumberas1
4
Thecode:
g0=1;
g1=g0-（g0-exp（g0）+4）/（1-exp（g0））;
whileabs（g1-g0）>0.00001
g0=g1;
g1=g0-（g0-exp（g0）+4）/（1-exp（g0））;
end
g1
theresults:
>>w1_newton
g1=
1.749031386012702
Multipleroots
结果分析：
通过确定初始值得正负来控制收敛到哪个根。
2.p100#9题
题目：
Useeachofthefollowingmethodstofindasolutionin[0.1,1]accurateto
within10^-4for
600*x^4-550*x^3+200*x^2-20*x-1=0
a.bisectionb.newton’smethod
c.secantmethodd.methodoffalseposition
e.mullers’smethed
5
a.Bisection
原理：
Themethodcallsforarepeatedhalvingofsubintervalsof[a,b]and,artificialeachstep,locating
thehalfcontainingtherootofequation.
代码：
Thecode:
%bisection
functionanser=Bisection（f,a,b）
tol=1.0e-3;
fa=subs（f,a）;
fmeans=subs（f,（a+b）/2）;
if（fa*fmeans>0）
t=（a+b）/2;
anser=Bisection（f,t,b）;
else
if（fa*fmeans==0）
anser=（a+b）/2;
else
if（abs（b-a）<=tol）
anser=（b+3*a）/4;
6
else
s=（a+b）/2;
anser=Bisection（f,a,s）;
end
end
end
运行结果：
>>Bisection（'600*x^4-550*x^3+200*x^2-20*x-1',-5,5）
ans=
-0.035858154296875
b.newton’smethod
原理:
X=（600*x^4-550*x^3+200*x^2-1）/20
Useinitialnumberas1
代码：
g0=1;
g1=（600*g0^4-550*g0^3+200*g0^2-1）/20;
whileabs（g1-g0）>0.00001
g0=g1;
g1=g0-（g0-exp（g0）+4）/（1-exp（g0））;
7
end
g1
结果：
>>w1_newton
g1=
1.749031386012702
c.secant
原理:
Useinterval[-5,5]
代码：
functionanser=Secant（f,a,b）
tol=1.0e-5;
error=0.1;
fa=subs（sym（f）,a）;
fb=subs（sym（f）,b）;
anser=a-（b-a）*fa/（fb-fa）;
while（error>tol）
x1=anser;
fx=subs（sym（f）,x1）;
8
s=fx*fa;
if（s>0）
anser=b-（x1-b）*fb/（fx-fb）;
else
anser=a-（x1-a）*fa/（fx-fa）;
end
error=abs（anser-x1）;
end
end
结果：
Secant（'600*x^4-550*x^3+200*x^2-20*x-1',-5,5）
ans=
0.277662174145539
d.methodoffalseposition
原理:
Useinterval[-5,5]
代码：
%methodofFalsePosition
functionanser=Position（f,a,b）
tol=1.0e-5;
f1=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,a）;
f2=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,b）;
9
if（f1==0）
anser=a;
end
if（f2==0）
anser=b;
end
tol1=1;
r1=a;
r2=b;
fv=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,a）;
while（tol1>tol）
f2=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,r2）;
anser=r2-（r2-r1）*f2/（f2-fv）;
fr=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,anser）;
if（f2*fr<0）
tol1=abs（anser-r2）;
r1=r2;
r2=anser;
fv=subs（sym（f）,findsym（sym（f））,r1）;
else
tol1=abs（anser-r2）;
r2=anser;
10
fv=0.5*subs（sym（f）,findsym（sym（f））,r1）;
end
end
结果：
>>Position（'600*x^4-550*x^3+200*x^2-20*x-1',-5,5）
ans=
0.277662174145539
结果分析：
牛顿法的收敛速度一般较快。
3.
题目：
应用newton法求f（x）的零点，e=10^-6
f（x）=x-sin（x）
再用求重根的方法求零点
１．
Newton＇ｓｍｅｔｈｏｄ
原理:
Theiterativeequation
g1=g0-（g0-sin（g0））/（1-cos（g0））;
use1asinitialnumber
11
代码：
clear;
g0=1;
g1=g0-（g0-sin（g0））/（1-cos（g0））;
whileabs（g1-g0）>0.000001
g0=g1;
g1=g0-（g0-sin（g0））/（1-cos（g0））
end
结果：
>>w3_newton
g1=
1.4990e-006
结果分析：
牛顿法在重根是为一介收敛，失去速度优势。
２．Mutiplerootsmethods1
原理:
g1=g0-（g0-sin（g0））/（1-cos（g0））;
becausegisazerooff（x）ofmultiplicity3
sotheiterationequationis
12
g1=g0-3*（g0-sin（g0））/（1-cos（g0））
use1asinitialnumber
代码：
clear;
g0=1;
g1=g0-（g0-sin（g0））/（1-cos（g0））;
whileabs（g1-g0）>0.000001
g0=g1;
g1=g0-3*（g0-sin（g0））/（1-cos（g0））
end
结果：
>>w3_mutiple_root
g1=
-0.0095
g1=
2.8751e-008
g1=
6.3996e-009
3．Mutiplerootsmethods2
原理:
g（x）=x–u（x）/u’（x）
=x–f（x）*f’（x）/f’（x）^2–f（x）*f’’（x）
代码：
13
functionanser=multiple（f,x0）
tol=1.0e-5;
df=diff（sym（f））;
df2=
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