九年级数学上册 13平行四边形矩形菱形正方形的性质与判定八 教案 青岛版.docx

九年级数学上册 13平行四边形矩形菱形正方形的性质与判定八 教案 青岛版.docx

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九年级数学上册13平行四边形矩形菱形正方形的性质与判定八教案青岛版

2019-2020年九年级数学上册1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（八）教案青岛版

教学目标

1、根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系，归纳出正方形的判定定理

2、能运用正方形的判定定理进行简单的计算与证明

3、能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明

4、在探究与证明正方形判定定理的过程中，进一步体会一般与特殊的辩证关系，提高分析问题与解决问题的能力

教学重、难点

重点：

正方形判定的应用

难点：

通过引导合情推理和演绎推理，提高逻辑思维水平

教学过程：

一、情境创设

正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，那么什么样的矩形是正方形？

什么样的菱形是正方形？

二、合作交流

为了活跃学生思维，可以提出以下问题：

①对角线相等的菱形是正方形吗？

为什么？

②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

为什么？

③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？

为什么？

④四条边都相等的四边形是正方形吗？

为什么？

⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

判定方法

（1）矩形、菱形法：

先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形（一组邻边相等的矩形）；或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形（有一个角是直角的菱形）。

（2）定义法：

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，这是直接利用定义来判定的。

如何用直尺和圆规作正方形？

如何把长方形纸片通过折纸，剪出一个正方形纸片？

例1已知：

如图，E、F、G、H分别是正方形各边的中点，

AF、BG、CH、DE分别两两相交于点A’、B’、C’、D’。

求证：

四边形是正方形。

分析：

如右图，正方形ABCD中，点F、G分别是BC、CD

的中点，AF、BG相交于点P，AF与BG互相垂直吗？

若将点F、

G分别是BC、CD的中点改为BF=CG，是否有同样的结论？

同上，本例可考虑证“有一组邻边相等的矩形是正方形”。

（是否还有其他证明方法？

与同学交流）

若点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且

AE=BF=CG=DH，则四边形A’B’C’D’还是正方形吗？

证明你的结论。

练习：

1、P25练习1、2

例2：

已知：

如图，点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD

四条边上的点，并且AA'＝BB'＝CC'＝DD'。

求证：

四边形A‘B’C‘D’是正方形

例3、如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC,AC,BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F,AE,BF相交于点H．

（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）

（2）证明四边形AHBG是菱形；

（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？

请你写出这个条件．（不必证明）

练习：

1．用两个全等的直角三角形拼下列图形：

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）．

2、（xx年黄冈市）如图2,将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm．

三、分层训练

1、（xx·深圳市）如图6所示，在四边形ABCD中，

AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O．若不

增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，

则还需增加的一个条件是．AC=BD

2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，

DE⊥AC，DF⊥BC，E、F是垂足。

求证：

四边形DECF是正方形。

3、已知：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F。

求证：

四边形ECFD是正方形。

5、如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（　Ｃ　　）

Ａ．角Ｂ．角　

Ｃ．角Ｄ．角

五、小结

1、特殊的图形具有一般图形的性质和它的特殊性质。

2、一个图形的形状越特殊，它的判定需要的条件就越多。

3、判定一个四边形是正方形的思考方法有哪些？

六、教后感

2019-2020年九年级数学上册1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（四）教案青岛版

教学目标

1、会归纳正方形的特性并进行证明

2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明

3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用

4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系

教学重、难点

重点：

经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力

难点：

有条理地、清晰地阐述自己的观点

教学过程：

一、情境创设

这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。

一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝——一块五色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。

大姐想出了一个好办法：

“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。

”聪明的你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？

二、合作交流

探索正方形的性质

（1）边的性质：

；

（2）角的性质：

；

（3）对角线的性质：

；

（4）对称性：

。

例1、已知：

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于

点O；正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’B’交BC于点E，

A’D’交CD于点F，E是BC的中点。

（1）求证：

F是CD的中点

（2）若正方形A’B’C’D’绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？

分析：

（1）方法一∵OB=OC,E是BC的中点

∴OE⊥BC,∠OEC=90°

∵∠EA’F=∠ECF=90°

∴∠OFC=90°

∵OC=OD

∴F是CD的中点

方法二∵∠EA’F=90°,AC⊥BD∴∠EOC+∠COF=∠DOF+∠COF=90°

∴∠EOC=∠DOF又OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°

∴△OCE≌△ODF（ASA）

∴DF=CE=BC=CD,即F是CD的中点。

（2）证明方法同前方法二。

由

（1）、

（2）可以得到什么结论？

（无论正方形A’B’C’D’绕点O旋转并与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F，总有OE=OF，BE=CF，EC=FD，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等）

练习

如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（C）

A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2

例2、已知，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE﹦∠BAE.

求证：

AF﹦BC+FC.

例3、求证：

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

例4、已知正方形ABCD。

（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：

BE＝GH；

（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？

请写出你的结论；

（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？

其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。

练习：

1、（xx年潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）

A．B．C．1-D．1-

2、已知：

如图，正方形ABCD的周长为4a，四边形EFGH四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动过程中，始终有EH∥BD∥FG，且EH＝FG，那么四边形EFGH的周长是否可求？

若能求出，它的周长是多少？

若不能求出，请说明理由．

三、分层训练

1、如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________。

2、如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F,则∠BEC=度.

3、如图：

正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=。

可以用一句话概括：

正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于

。

4、如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论:

（1）∠E=22.50.

（2）∠AFC=112.50.（3）∠ACE=1350（4）AC=CE（5）AD∶CE=1∶.其中正确的有（）（A）5个（B）4个（C）3个（D）2个

5、如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．

D

A

N

6、（xx·济南市）现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是8；cm；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？

．得到的阴影部分的面积是，即阴影部分的面积不变．

四、小结

（1）

正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如下图。

（2）正方形的性质：

①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

⑤正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对

（3）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。

五、课堂检测

六、教后感