角平分线.docx

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角平分线

第一章　三角形的证明

第四节角平分线

（一）

模块一预习反馈

一、学习准备

1、点到直线的距离：

由这点向直线引____，这点到垂足间线段的___叫做这点到直线的距离。

2、角平分线性质定理：

角平分线上的____到这个角的两边的距离________。

3、阅读教材P28—P29：

第4节《角平分线》

二、教材精读

4、已知：

如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，求证：

PD=PE

证明:

∵PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，

∴∠PDO=______=90°

∵OC是∠AOB的角平分线，

归纳：

角平分线上的____到这个角的两边的距离________。

（证明两条线段相等）

推理格式：

∵点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB，

∴PD=__

5、已知：

如图，点P为∠AOB内一点，PE⊥OA，PD⊥OB，且PD=PE，

求证：

OP平分∠AOB。

归纳：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的___，在这个角的平分线上（证明角相等）

推理格式：

∵PE⊥OA，PD⊥OB，且PD=PE，

∴点P平分。

实践练习：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果

AC=3cm，那么AE+DE等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

模块二合作探究

6、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，∠1=∠2,求证：

OB=OC。

7、如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1=∠2，CB=CD。

求证：

∠3=∠4。

8、如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。

（1）已知CD=4cm，求AC的长；

（2）求证：

AB=AC+CD。

模块三形成提升

1、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。

求证：

AD平分∠BAC。

2、如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE=BD。

求证：

P在∠ACB的角平分线上。

模块四小结反思

一、本课知识：

1、角平分线上的____到这个角的两边的距离________。

（证明两条线段相等）

2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的____，在这个角的平分线上.（证明角相等）

第一章　三角形的证明

第四节角平分线

（二）

模块一预习反馈

一、学习准备

1、角平分线上的点到。

2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在。

3、阅读教材：

P30—P31第4节《角平分线》

二、教材精读

4、已知：

点P是△ABC的两条角平分线BM、CN的交点，

求证：

∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF。

证明：

过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D，

∵CN是△ABC的角分线，点P为CN上一点，

∴PE=_____（）

∵BM是△ABC的角分线，点P为BM上一点，

∴PE=_____（）

归纳：

三角形三条角平分线相交于一___，并且这一点到三角形三条____的距离______。

推理格式：

∵点P是△ABC的三条角平分线的交点，且PE⊥BC，PF⊥AC，PD⊥AB，

∴PD=_____=_______.

实践练习：

（1）如图4，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.

（2）如图5，P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.

图4图5

模块二合作探究

5、用尺规作图法作出图1中各个角的平分线。

6、如图2，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等。

（用尺规作图）

7、已知：

如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，BD∶CD=9∶7，求：

D到AB边的距离.

模块三形成提升

1、一张直角三角形的纸片，如图1-36那样折叠，

使两个锐角顶点A、B重

合，若DE=DC,则∠A=

°.

2、已知:

如图,△ABC的外角∠CBDT和∠BCE的角平分线相交于点F.

求证:

点F在∠DAE的平分线上.

模块四小结反思

一、本课知识：

1、三角形三条角平分线相交于一___，并且这一点到三角形三条____的距离______。

第一章　三角形的证明

回顾与思考

模块一复习反馈

1、等腰三角形的性质：

（边）；（角）；“三线合一”的内容。

2、等边三角形的性质：

（边）；（角）。

3、判定等腰三角形的方法有：

（边）；（角）。

4、判定等边三角形的方法有：

（边）；（角）。

5、线段垂直平分线的性质定理：

。

逆定理：

。

三角形的垂直平分线性质：

。

6、角的性质定理：

。

逆定理：

。

三角形的角平分线性质：

。

7、三角形全等的判定方法有：

。

8、30°锐角的直角三角形的性质：

。

9、方法总结：

（1）证明线段相等的方法：

1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）证明两角相等的方法：

1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

（3）证明垂直的方法：

1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。

（4）等腰三角形的证明：

主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

模块二合作探究

1、填空：

（1）△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4cm，最长边AB=。

（2）直角三角形两直角边分别是5cm、12cm，其斜边上的高是。

（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是三角形。

（4）三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a（b－c），则这个三角形（按边分类）一定是________

2、已知：

如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF。

求证：

△ABC是等腰三角形。

3、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2.求AB与BC的长.

4、已知，在△ABC中，AD垂直平分BC，且CA=CE，点B、D、C、E在同一条直线上。

求证：

AB+DB=DE

模块三形成提升

1、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为__________

2、如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，则BC的长为。

3、如图2，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于。

图2

4、命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是_______________________.它是一个__________命题。

等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是___________________________________________________，这个逆命题是_________命题.

5、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AF，E、F是垂足，且BC=CD。

求证：

（1）△BCE≌△DCF；

（2）DF=EB。

《三角形的证明》试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

1.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点.

A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高

2．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（）

A.24cm2B.30cm2C.40cm2D.48cm2

3．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）

A．7㎝B．9㎝C．12㎝或者9㎝D．12㎝

4.面积相等的两个三角形（）

A.必定全等B.必定不全等C.不一定全等D.以上答案都不对

5．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）

A．40°B．50°C．60°D．70°

6.如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（）

A.∠A=∠DB.∠ACB=∠FC.∠B=∠DEFD.∠ACB=∠D

7．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）

A.30°B.36°C.45°D.70°

8．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论

①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每题3分，共24分）

9.“等边对等角”的逆命题是______________________________．

10．已知⊿ABC中，∠A=

，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC=.

11.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是度.

12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是。

13.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝2cm，则AC=.

14．Rt⊿ABC中，∠C=90º，∠B=30º，则AC与AB两边的关系是，

15．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是.

16．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC的度数为　　　　．

三.基础题（每题6分，共36分）

17.如图，在△ABD和△ACD中，已知AB＝AC，∠B＝∠C，求证：

AD是∠BAC的平分线．

18.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：

OB=OC；

、

19.如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：

CD=CB.

20．如图，DC⊥CA，EA⊥CA，CD=AB，CB=AE．求证：

△BCD≌△EAB．

21.如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：

D在∠BAC的平分线上.

22.如图，

中，

是腰

的垂直平分线，求

的度数。

四、提高题（每题8分，共16分）

23.作图题：

在下图△ABC所在平面中，

（1）作距△ABC三边距离相等的点P；

（2）作距△ABC三个顶点距离相等的点Q.

24.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长.

五.综合题（每题10分，共20分）

25.如图，已知：

D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：

∠BAE=∠CAE.

证明：

在△AEB和△AEC中，

∴△AEB≌△AEC（第一步）

∴∠BAE=∠CAE（第二步）

问：

上面证明过程是否正确？

若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？

并写出你认为正确的推理过程；

26．如图，在△ABD和△ACE中，有四个等式：

①AB=AC②AD=AE③∠1=∠2④BD=CE．

以其中三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程。

已知：

求证：

.

证明：