高中数学典型例题解析第七章平面解析几何.docx

高中数学典型例题解析第七章平面解析几何.docx

《高中数学典型例题解析第七章平面解析几何.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学典型例题解析第七章平面解析几何.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学典型例题解析第七章平面解析几何

三、经典例题导讲　

[例1]求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.

错解：

 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为

，消去得整理得  

直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为

正解：

  ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y=1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，

令解得k= ,∴   所求直线为

综上，满足条件的直线为：

[例2]已知曲线C：

与直线L：

仅有一个公共点，求m的范围.

错解：

曲线C：

可化为①，联立，得：

，由Δ＝0,得.

错因：

方程①与原方程并不等价，应加上.

正解：

原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.

注意：

在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错.

[例3]已知双曲线，过P（1,1）能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.

错解：

（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求.

（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：

∴，又∵ ∴

解之得：

k=2，故直线方程为：

y=2x-1,即直线是存在的.

正解：

接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.

[例4]已知A、B是圆与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使 ||PE|－|PF|| 为定值？

若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.

解：

由已知得 A（－1,0）、B（1,0）,

   设 P（x,y）, C（ ）,  则 D（）,

   由A、C、P三点共线得     ①

   由D、B、P三点共线得      ②

①×②得              ③

又 ,   ∴，  代入③得 ，

即点P在双曲线上，故由双曲线定义知，存在两个定点E（－,0）、

F（,0）（即此双曲线的焦点），使 ||PE|－|PF||=2 （即此双曲线的实轴长为定值）.

[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.

解：

设所求椭圆的方程为=1.

　　依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：

　　将②代入①，整理得

　　    ，                   ③

设方程③的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为

P（,+1），Q（,+1）

　　由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得

　　整理得

　　解这个方程组，得

  或  

　　根据根与系数的关系，由③式得

（1）  或 

（2） 

　　解方程组

（1）、

（2）得

　    　  或

　　故所求椭圆方程为

　=1 ，  或 =1.

[例6]已知椭圆C1：

＝1，抛物线C2：

，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。

（1）当AB⊥轴时，求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；

（2）若＝，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求的值及直线AB的方程.

解：

（1）当AB⊥轴时，点A、B关于轴对称，所以＝0，直线AB的方程为＝1，

　从而点A的坐标为（1，）或（1，－），

　因为点A在抛物线上，所以，＝.

　此时，抛物线C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.

（2）当抛物线C2的焦点在直线AB上时，由

（1）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为　.

　由消去得　　　　①

设A、B的坐标分别为　（）、（）.

则，是方程①的两根，＋＝.

因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是C2的焦点的弦，

所以｜AB｜＝（2－）＋（2－）＝4－，且

｜AB｜＝（）＋（）＝＝.

从而＝4－

所以，即

解得.

因为C2的焦点F、（）在直线上，所以，

即

当时直线AB的方程为；

当时直线AB的方程为.

四、典型习题导练　

1．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线l：

y=2x+1截得的弦长为，则抛物线方程为          

2.直线m：

y=kx+1和双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，直线l过点P（－2，0）和线段AB的中点，则直线l在y轴上的截距b的取值范围为            

3．

试求m的取值范围.

4．设过原点的直线l与抛物线y2=4（x－1）交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，

（1）求直线l的方程；

（2）求|AB|的长.

5．如图，过抛物线y2=4x的顶点O作任意两条互相垂直的弦OM、ON，求

（1）MN与x轴交点的坐标；

（2）求MN中点的轨迹方程.

9．设曲线C的方程是y＝x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1.

（1）写出曲线C1的方程；

（2）证明曲线C与C1关于点A（）对称；

（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s＝且t≠0.

§7.4轨迹问题

一、知识导学　

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ）上的点与一个二元方程f（x,y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

2.点与曲线的关系  若曲线C的方程是f（x,y）=0，则点P0（x0,y0）在曲线C上f（x0,y0）=0；

点P0（x0,y0）不在曲线C上f（x0,y0）≠0两条曲线的交点  若曲线C1，C2的方程分别为f1（x,y）=0,f2（x,y）=0,则点P0（x0,y0）是C1，C2的交点

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

3.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e（e＞0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

其中定点F（c,0）称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆

当e=1时，轨迹为抛物线

当e＞1时，轨迹为双曲线

4.坐标变换

（1）坐标变换  在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移：

坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.

（2）坐标轴的平移公式  设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y），在新坐标系x′O′y′中的坐标是（x′,y′）.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是（h,k），则

（1）        或     

（2）

公式

（1）或

（2）叫做平移（或移轴）公式.

二、疑难知识导析　

1.在求曲线轨迹方程的过程中,要注意：

（1）理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合；

（2）合理进行数学语言间的转换,数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言,通过审题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式,把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言；

（3）注意挖掘题目中的隐含条件；

（4）注意反馈和检验.

2.求轨迹方程的基本方法有：

（1）直接法：

若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系,则将这些关系“翻译”成x,y的关系式,由此得到轨迹方程.一般步骤是：

建立坐标系—设点—列式—代换—化简、整理.

（2）定义法：

即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线的定义建立方程.

（3）待定系数法：

已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再根据动点满足的条件确定待定系数.

（4）相关点法：

当动点P（x,y）随着另一动点Q（x1,y1）的运动而运动时,而动点Q在某已知曲线上,且Q点的坐标可用P点的坐标来表示,则可代入动点Q的方程中,求得动点P的轨迹方程.

（5）参数法：

当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y,从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去t,便可得动点P的普通方程.

另外,还有交轨法、几何法等.

3.在求轨迹问题时常用的数学思想是：

（1）函数与方程的思想：

求平面曲线的轨迹方程,是将几何条件（性质）表示为动点坐标x、y的方程及函数关系；

（2）数形结合的思想：

由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合；

（3）等价转化的思想：

通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化.

三、经典例题导讲　

[例1]如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：

设AB的中点为R，坐标为（x,y），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：

在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－（x2+y2）

又|AR|=|PR|=

所以有（x－4）2+y2=36－（x2+y2）,即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.

设Q（x,y），R（x1,y1），因为R是PQ的中点，所以x1=,

代入方程x2+y2－4x－10=0,得

－10=0

整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.

技巧与方法：

对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.

[例2]某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

解：

设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.

建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则

|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5

∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为

=1                  ①

同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为

（x－）2+y2=1                      ②

由①、②可解得，∴r=

故所求圆柱的直径为 cm.

[例3] 直线L：

与圆O：

相交于A、B两点，当k变动时，弦AB的中点M的轨迹方程.

错解：

易知直线恒过定点P（5,0），再由，得：

∴，整理得：

分析：

求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。

本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时.

[例4] 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.

解：

建立坐标系如图所示，

设|AB|=2a,则A（－a,0）,B（a,0）.

设M（x,y）是轨迹上任意一点.

则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得

（1－λ2）x2+（1－λ2）y2+2a（1+λ2）x+（1－λ2）a2=0

（1）当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线（y轴）.

（2）当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0.点M的轨迹是以

（－，0）为圆心，为半径的圆.

[例5]若抛物线y=ax2-1上，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，求实数a的取值范围.

分析：

若存在A、B关于直线y+x=0对称，A、B必在与直线y+x=0垂直的直线系中某一条与抛物线y=ax2-1相交的直线上，并且A、B的中点M恒在直线y+x=0上.

解：

如图所示，设与直线y+x=0垂直的直线系方程为

y=x+b

由 得

ax2-x-（b+1）=0　　 ①

令  △＞0

即 （-1）-4a[-（b+1）]＞0

整理得  

 4ab+4a+1＞0   　②

在②的条件下，由①可以得到直线y=x+b、抛物线y=ax2-1的交点A、B的中点M的坐标为

（,+b）,要使A、B关于直线y+x=0对称，则中点M应该在直线y+x=0上，所以有

+（+b）=0   ③

即 b=- 代入②解不等式得  a＞

因此，当a＞时，抛物线y=ax2-1上总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称.

四、典型习题导练　

1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（   ）

A.圆                                   B.椭圆

C.双曲线的一支                         D.抛物线

2.高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A（－5，0）、B（5，0），则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.

3．设直线2x-y-=0与y轴的交点为P，点P把圆（x+1）2+y2 ＝25的直径分为两段，则其长度之比是                

4.已知A、B、C是直线上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线于点A，又过B、C作⊙O′异于的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

5.双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.

6.已知椭圆=1（a＞b＞0）,点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为，点F2关于的对称点为Q，F2Q交于点R.

（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

（2）设点R形成的曲线为C，直线l：

y=k（x+a）与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.

§7．5综合问题选讲

一、知识导学　

（一）直线和圆的方程

1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.

2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.

3．了解二元一次不等式表示平面区域.  

4．了解线性规划的意义，并会简单的应用.

5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法.

6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.

（二）圆锥曲线方程

1． 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.

2． 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.

3． 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.

4．了解圆锥曲线的初步应用.

（三）目标

1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.

2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.

3.理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.

4．掌握圆的标准方程：

（r＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：

，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.

5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：

范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握、b、、、之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.

二、疑难知识导析　

   1．⑴直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度.当斜率存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为=（∈R）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率存在与否，要分别考虑.

⑵直线的截距式是两点式的特例，、b分别是直线在轴、轴上的截距，因为≠0，b≠0，所以当直线平行于轴、平行于轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解.

⑶求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式.

⑷当直线或的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直

⑸在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算.

2. ⑴用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在轴上还是轴上，还是两种都存在.

    ⑵注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行、b、、间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆.

⑶求双曲线的标准方程  应注意两个问题：

⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.

⑷双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：

，其中是一个不为零的常数.

⑸双曲线的标准方程有两个和（＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

⑹求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方程，要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数的值.同时，应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其他两个.

三、经典例题导讲

[例1]已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=（0<<1），以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.

（1）写出直线的方程；

（2）计算出点P、Q的坐标；

（3）证明：

由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.                 

   解:

（1） 显然,  于是直线的方程为；

（2）由方程组   解出  、；              

   （3）,   .

   由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

[例2]设P是圆M：

（-5）2+（-5）2=1上的动点，它关于A（9,0）的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求|SQ|的最值.

解：

设P（,），则Q（18-,-），记P点对应的复数为+，则S点对应的复数为：

 （+）·=-+，即S（-, ）

∴

其中可以看作是点P到定点B（9,-9）的距离，共最大值为最小值为，则

|SQ|的最大值为，|SQ|的最小值为.

[例4]已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成公差小于零的等差数列，

（1）点P的轨迹是什么曲线？

（2）若点P坐标为，为的夹角，求tanθ.

解：

（1）记P（, ），由M（-1，0）N（1，0）得

 所以   

于是， 是公差小于零的等差数列等价于

     即                        

所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.

（2）点P的坐标为。

.

     因为 0〈，      所以             .

[例4]舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？

分析：

答好本题，除要准确地把握好点P的位置（既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上），还应对方位角的概念掌握清楚.

技巧与方法：

通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.

解：

取AB所在直线为轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为（3，0）、（－3，0）、（－5，2）.

由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为－3+7=0.

又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线=1的右支上.

直线与双曲线的交点为（8，5），此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.

据已知两点的斜率公式，得kPA=,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.

设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0=，则,

∴sin2θ=,∴仰角θ=30°.

答：

方位角北偏东300，仰角30°.

解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.

（1）对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式（组）求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.

（2）对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：

当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.

[例5]已知抛物线C：

2=4.

（1）若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；

（2）若M（m,0）是轴上的一定点，Q是

（1）所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？

若有，求出其值；若没有，说明理由.

解：

由抛物线2=4,得焦点F（1,0）,准线：

=－1.

（1）设P（,），则B（2－1,2）,椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=,又设点B到的距离为,则|BF|∶=,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶,即（2－2）2+

（2）2=2（2－2）,