圆的切线的证明方法.docx
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圆的切线的证明方法
圆的切线的证明方法
天津四中杨建成
平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。
那么怎样证明直线和圆相切呢？
证明直线是圆的切线大体上有三种方法：
⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。
⑵和⑶都是由⑴推演出来的。
在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：
①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。
例1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证CD是⊙O的切线。
［分析］：
因直线CD与⊙O有公共点D，故应采用“连半径，证垂直”的方法。
［证明］：
连结OD
∵OC∥AD∴∠COB=∠DAO，∠COD=∠ADO
∵OA=OD∴∠DAO=∠ADO
∴∠COB=∠COD
在△DOC和△BOC中
∵OD=OB，∠COD=∠COB
OC=OC
∴△DOC≌△BOC
∴∠CDO=∠CBO
∵AB是⊙O的直径，BC是切线
∴∠CBO=90°
∴∠CDO=90°
∵OD是⊙O的半径
∴CD是⊙O的切线
例2.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：
CD是小圆的切线。
［分析］：
因直线CD与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。
［证明］：
连结OE，过O点作OF⊥CD于F
∵AB与小圆相切于点E
∴OE⊥AB∴AE=BE，CF=DF
∵AB=CD∴AE=CF
在Rt△AEO和Rt△CFO中
∵OA=OC，AE=CF
∴Rt△AEO≌Rt△CFO
∴OE=OF
∴CD是小圆的切线
例3.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：
以EF为直径的⊙O与AB相切。
［分析］：
因直线AB与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。
［证明］：
过O点作OH⊥AB于H
∵E、F分别为AC、BC的中点
∴EF∥AB，且EF=1/2AB
∴G点为CD的中点，OH=GD=1/2CD
∵CD=1/2AB∴EF=CD
∴OH=1/2EF
∴AB为⊙O的切线
例4.如图，已知AB是⊙O的直径，线段AF与⊙O相切于点A，D是AF的中点，BF交⊙O于E点，过B点的切线与DE的延长线交于C点，求证：
CD与⊙O相切。
［分析］：
因直线CD与⊙O有公共点E，故应采用“连半径，证垂直”的方法。
［证法一］：
如图4-1，连结OE、AE
∵AB是⊙O的直径
∴AE⊥BF
∵D是AF的中点
∴DA=DF=DE
∴∠DEA=∠DAE
∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA
∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线
∴∠DAE+∠OAE=90°
∴∠DEA+∠OEA=90°
∵OE是⊙O的半径
∴CD与⊙O相切于E
［证法二］：
如图4-2，连结OE、AE、OD
∵AB是⊙O的直径
∴AE⊥BF
∵D是AF的中点
∴DA=DE=1/2AF
在△OED和△OAD中
∵DE=DA，OD=OD，OE=OA
∴在△OED≌△OAD
∴∠OED=∠OAD
∵AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线∴∠OAD=90°
∴∠OED=90°
∵OE是⊙O的半径
∴CD与⊙O相切于E
［点评］：
证法一是利用了等式的性质证明∠OED=∠OAD=90°,证法二是利用了全等三角形的对应角相等证明∠OED=∠OAD=90°
例5.如图，已知直角梯形ABCD中∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，ED平分∠ADC，CE平分∠BCD，试问⑴以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？
并证明。
⑵以CD为直径的圆与AB又有怎样的位置关系？
并证明。
［分析］：
⑴取AB的中点E，过E点作EF⊥CD于F，如果EF=AE，那么以AB为直径的圆与边CD相切，这就是“作垂直，证半径”。
⑵的证明方法是在⑴得到AE=BE的基础上,作梯形的中位线EG，即要证明EG为圆的半径又要证明EG⊥AB。
［证明］：
⑴以AB为直径的圆与边CD相切。
如图5-1，过E点作EF⊥CD于F
∵DE平分∠ADC，DA⊥AE，EF⊥CD∴EA=EF
同理可证,EF=EB
∴EA=EB=EF=1/2AB
∵EF⊥CD，且FE=1/2AB
∴以AB为直径的圆与边CD相切
⑵以CD为直径的圆与边AB相切
如图5-2，过E点作EF⊥CD于F，过E点作EG∥BC交CD于G点。
在△EAD与△EFD中
∵∠A=∠EFD=90°
∠ADE=∠FDE，DE=DE
（下转6版）
如何证明圆的切线垂直于圆的半径
用反证法。
设圆O的一条半径是OA，直线l与圆切于A。
假设直线l不垂直于OA，
过O作OM垂直l于M
因为直线l不垂直于OA，所以三角形OMA是直角三角形，
所以OA>OM（直角三角形斜边大于直角边）
即圆心到直线l的距离小于圆半径，即直线l于圆相交，与假设矛盾，所以OA垂直于l
即
圆的切线垂直于圆的半径
圆的切线性质定理是“圆的切线垂直于过切点的半径”及其推论“经过圆心（或切点）且垂直于切线的直线必经过切点（或圆心）”．
于是，切线具有如下性质：
（1）切线与圆只有一个公共点；
（2）切线与圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
从上述5条性质知道：
性质
（1）是切线的定义；性质
（2）是切线判定方法的逆定理；性质（3）、（4）、（5）是切线性质定理及其推论，其中性质
（2）、（3）应用较多．
在应用切线性质定理时，如果只有切线，没有半径，要添加辅助线——就是连接过切点的半径，则此半径必垂直于切线．
应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题．
（1）利用切线性质计算线段的长度
两个圆相交于A,B两点，半径分别为3和4，若两个圆在A点的切线互相垂直，求两个圆圆心的距离。
两个圆在A点的切线互相垂直,也就是过A点的两个半径互相垂直，所以两个半径，圆心距组成的是直角三角形
所以圆心距是根号下（3^2+4^2）=5
回答人的补充2009-10-1710:
47因为过直线上一点与已知直线垂直的直线只有一条，切线垂直与半径，而两切线垂直，所以切线就是另一圆的半径
回答人的补充2009-10-1710:
42半径和切线在切点处垂直，而两条切线也在切点处垂直，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，所以两条半径是互相垂直的，根据勾股定理得5
（两个圆在A点的切线互相垂直,即过A点的两个半径互相垂直）
圆O1和圆O2相交于A,B两点,过点A作圆O1的切线交圆O2于点E,连接EB并延长交圆O1于点
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[标签：
o2,切线]
圆O1和圆O2相交于A,B两点,过点A作圆O1的切线交圆O2于点E,连接EB并延长交圆O1于点C,直线CA交圆O2于点D
1，当D与A不重合时，EA=ED是否成立？
2，当D与A重合时，
，
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2010-02-2209:
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解：
连结AB，过B做AB⊥FG交⊙O1于F，交⊙O2于G
连结AG
连结AF并延长交⊙O2于H
连结EH
∵AB⊥FG，∴∠ABF=90为直角∴AF为直径，同理AG为直径
AE为⊙O1切线
∴O1A⊥AE
∴AH⊥AE
∴∠HAE=90
∴HE为直径
又∠HAD=∠CAF
∠CAF=∠CBA=∠EBG
∠EBG=∠EAG
又O2A＝O2E
∴∠HAD=∠HEA
∴E平分弧AD
∴EH垂直平分AD
∴AE=DE
有AB两个圆，A圆半径为4厘米，B圆半径为6厘米，如果B圆不动，A沿着B圆圆周滚动，当A到原点时，A的自身转动多少圈
分析：
A走过的总长度应该是B的周长
B的周长=2×6π=12πcm
A的周长=2×4π=8πcm
所以A要滚动12π/8π=1.5圈
已知圆o1与圆o2相交于A,B两点,圆o1的切线AC交圆o2于点c，直线EF过点B交圆o于点E，交圆o2于F
1.若直线EF交弦AC于点D时（如图10）求证AE平行于CF2若直线EF交弦AC于点D时（如图2），求证DA*DF=DC*DE
2.3若直线EF交弦AC的反向延长线于点D（图3自作），判断
（1），
（2）的结论是否成立？
并证明你的结论
1、连接AB
1、连接AB
即∠AEB=∠BAC（弦切角的定义）
∠CFB=∠BAC（同弧所对圆周角相等）
∴∠AEB=∠CFB
∴AE∥CF
2、连接AB,CF
∠AEB=∠BAC（弦切角的定义）
∠CFD=∠BAC（同弧所对圆周角相等）
∴∠AEB=∠CFD（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）
即∠AED=∠CFD
又∵∠ADE=∠CDF
∴△ADE∽△CDF
∴AD／CD＝DE／DF
∴DA*DF=DC*DE
3、
成立
连接AB,AE,CF
∵∠DAE=∠ABE（弦切角的定义）
∵∠ACF=∠ABE（（⊙O2）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角
∴∠DAE=∠ACF
∴AE∥CF
∴△ADE∽△CDF（平行线分三角形相似）
∴AD／CD＝DE／DF
∴DA*DF=DC*DE
如何证明圆的切线垂直于圆的半径？
用反证法。
设圆O的一条半径是OA，直线l与圆切于A。
假设直线l不垂直于OA，
过O作OM垂直l于M
因为直线l不垂直于OA，所以三角形OMA是直角三角形，
所以OA>OM（直角三角形斜边大于直角边）
即圆心到直线l的距离小于圆半径，即直线l于圆相交，与假设矛盾，所以OA垂直于l
即
圆的切线垂直于圆的半径
9、AB为半圆O的直径，C为半圆弧的三等分点，PC与PB为半圆O的切线，若AB=2a，问PA=？
10、已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连AE并延长交BD于点F，直线AB延长线于点G。
求证：
CG是⊙O的切线。
分析或解答：
9、先做图，连接OC这样OB=OC因为C在三等分点处，故角BOC为120度。
而角POB为60度，根据三角涵数，得PB=根号3a三角形PAB为直角三角形，由勾股定理可得PA为根号7a.
10、∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠BCF=∠CBF=90°－∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线
或：
∵CH⊥AB,DB⊥AB
∴CH∥BD
∵E是CH中点
∴F是BD中点
∵DCB=90°
∴CF=BF=FD
∴FCB=FBC
回答人的补充2009-06-0602:
35如果不明白∵E是CH中点∴F是BD中点
可以这么想CE/CF=AE/AF,EH/BF=AE/AF
CE/CF=EH/BF,∵CE=EH,∴CF=BF
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