实验二用matlab实现傅立叶变换.docx
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实验二用matlab实现傅立叶变换
实验报告
2010年4月15日
实验二用matlab实现傅立叶变换
实验目的：
1.掌握傅立叶数值实现方法（矩阵算法）
2.生成连续周期信号，掌握程序优化技巧
3.对于自定义函数参数有效性的检查
4.复习并巩固“信号与系统”相关知识内容，学习用matlab实现问题
实验环境：
运行于Matlab7.6环境
实验内容：
本次实验参照《信号与系统》——“Matlab综合实验”55页课后练习
习题：
1.如图4.4所示锯齿波信号，分别去一个周期的抽样数据X1（t），0<=t<=1和五个周期的数据X（t），0<=t<5,计算其傅立叶变换X1（w）和X（w），比较有和不同并解释原因。
图4.4练习题2图
编程如下：
方法1：
%计算单位锯齿波和五个周期波形的傅立叶变换
%解法1：
基本用循环实现数值的计算；对于5个周期锯齿波用内外循环来生成实现
T1=1;%一个周期锯齿波
N1=10000;
t1=linspace（0,T1-T1/N1,N1）';
f1=0*t1;
f1=1-2*t1;
OMG=32*pi;%频率抽样区间
K1=100;%频率抽样点数
omg=linspace（-OMG/2,OMG/2-OMG/K1,K1）';
X1=0*omg;
fork=1:
K1%求解五个周期函数的傅里叶变换系数
forn=1:
N1
X1（k）=X1（k）+T1/N1*f1（n）*exp（-j*omg（k）*t1（n））;
end
end
fs1=0*t1;
forn=1:
N1%通过傅里叶逆变换还原原函数
fork=1:
K1
fs1（n）=fs1（n）+OMG/2/pi/K1*X1（k）*exp（j*omg（k）*t1（n））;
end
end
T2=5;%五个周期锯齿波
N2=10000;
t2=linspace（0,T2-T2/N2,N2）';
f2=0*t2;
t3=linspace（0,T2/5-T2/N2,N2/5）';%先定义一个周期内的锯齿波变量抽样值
f3=0*t3;%初始化一个周期的函数抽样值
f3=1-2*t3;%表示出一个周期内函数抽样值
fors=0:
4%将一个周期锯齿波平移到五个周期，通过循环控制
fora=1:
N2/5
f2（2000*s+a）=f3（a）;
end
end%将函数拓展表示为五个周期
X2=0*omg;
fork=1:
K1%求解五个周期函数的傅里叶变换系数
forn=1:
N2
X2（k）=X2（k）+T2/N2*f2（n）*exp（-j*omg（k）*t2（n））;
end
end
fs2=0*t2;
forn=1:
N1%通过傅里叶逆变换还原原函数
fork=1:
K1
fs2（n）=fs2（n）+OMG/2/pi/K1*X2（k）*exp（j*omg（k）*t2（n））;
end
end
figure;
subplot（2,2,1）;
plot（omg,abs（X1）,'r'）;%以幅度频谱画图
xlabel（'Frequency'）,ylabel（'Amplitude'）;
title（'单个锯齿波的幅频曲线'）;
subplot（2,2,2）;
plot（t1,fs1,'r'）;
xlabel（'Second（s）'）,ylabel（'Amplitude'）;
title（'由频域还原时域函数'）;
subplot（2,2,3）;
plot（omg,abs（X2）,'r'）;
xlabel（'Frequency'）,ylabel（'Amplitude'）;
title（'五个周期锯齿波的幅频曲线'）;
subplot（2,2,4）;
plot（t2,fs2,'r'）;
xlabel（'Second（s）'）,ylabel（'Amplitude'）;
title（'由频域还原时域函数'）;
相关曲线：
方法2：
%计算单位锯齿波和五个周期波形的傅立叶变换
%解法2：
数值算法用矩阵实现，大大加快了运行速度；并且直接调用“sawtooth”生成5个周期的锯齿波
T1=1;%单个周期时域范围
N1=10000;%时域抽样点数
t1=linspace（0,T1-T1/N1,N1）';%生成抽样时间点
f1=1-2*t1;%生成抽样函数值
OMG=32*pi;%频域范围
K1=100;%频域抽样点数
omg=linspace（-OMG/2,OMG/2-OMG/K1,K1）';%生成抽样频率点
X1=T1/N1*exp（-j*kron（omg,t1.'））*f1;%傅里叶正变换求解傅里叶系数
fs1=OMG/2/pi/K1*exp（j*kron（t1,omg.'））*X1;%傅里叶逆变换还原时域函数
T2=5;%五个周期时域范围
N2=10000;%时域抽样点数
t2=linspace（0,T2-T2/N2,N2）';%生成抽样时间点
fs2=0*t2;
f2=sawtooth（t2*2*pi,0）;%生成五个周期的锯齿波
X2=T2/N2*exp（-j*kron（omg,t2.'））*f2;%傅里叶正变换求解傅里叶系数
fs2=fs2+OMG/2/pi/K1*exp（j*kron（t2,omg.'））*X2;%傅里叶逆变换还原时域函数
figure;%生成一个2*2矩阵子图
subplot（2,2,1）;
plot（omg,abs（X1）,'r'）;%一个周期时的频谱图
xlabel（'Frequency'）,ylabel（'Amplitude'）
title（'单个锯齿周期幅频特性曲线'）;
subplot（2,2,2）;
plot（t1,fs1,'r'）;%还原的时域函数
xlabel（'Time'）,ylabel（'Amplitude'）
title（'Functionafterrecovered'）;
subplot（2,2,3）;
plot（omg,abs（X2）,'r'）;%五个周期时的频谱图
xlabel（'Frequency'）,ylabel（'Amplitude'）
title（'五个锯齿周期幅频特性曲线'）;
subplot（2,2,4）;
plot（t2,fs2,'r'）;%还原的时域函数
xlabel（'Time'）,ylabel（'Functionafterrecovered'）
title（'Functionafterrecovered'）;
相关曲线：
2.请编写函数F=fsana（t,f,,N）,计算周期信号f的前N个指数形式的傅立叶级数系数，t表示f对应的抽样时间（均为一个周期）；再编写函数f=fssyn（F，t），由傅立叶级数系数F合成抽样时间t对应的函数。
设计信号验证这两个是否正确。
3.利用fsana和fssyn计算练习题1中X1（t）的前10个傅立叶级数系数F，请用这些系数合成周期为0.5的锯齿波，0<=t<2并绘图。
解：
这两题验证函数直接用练习1所给函数.
编程如下：
编写fsana函数：
%函数功能：
定义一个功能函数来实现周期函数的傅里叶正变换t表示f表示的抽样时间f为一个周期内抽样函数值N为前几个指数形式的傅立叶级数系数
functionF=fsana（t,f,N）
omg1=2*pi/（max（t）-min（t））;
k=[-N:
N]';
F=1/length（t）*exp（-j*kron（k*omg1,t.'））*f;
编写fssyn函数：
%函数功能：
定义功能函数fssyn由傅立叶级数系数F合成时间t对应的函数
functionf=fssyn（F,t）
omg1=2*pi/（max（t）-min（t））;
N=floor（length（F）/2）;
k=[-N:
N];
f=exp（j*kron（t,k*omg1））*F;
验证所写函数：
clc
clear
closeall
T1=1;%一个周期时域范围
N1=256;%时域抽样点数
t=linspace（0,T1-T1/N1,N1）';%生成抽样时间点
f=1-2*t;%生成抽样函数值
plot（f）
N=25
F1=fsana（t,f,N）%调用fsana函数求解前N项傅立叶级数系数
figure
（1）
stem（abs（F1）,'s'）
title（'前N项傅立叶级数系数幅度曲线'）
f2=fssyn（F1,t）%调用fssyn函数求原时域函数
f3=fssyn1（F1,t）%用所求傅立叶系数合成原基频2倍的函数调用修改后的fssyn函数（修改基频）
figure
（2）
plot（t,f,'b',t,f2,'k'）
xlabel（'time[s]'）,ylabel（'Amplitude'）
legend（'origin','recover'）
title（'傅立叶逆变换后时域函数与原时域函数对比'）
figure（3）
plot（t,f3）
xlabel（'time[s]'）,ylabel（'Amplitude'）
title（'时域压缩基频变为2倍后的时域函数'）
注：
练习3要生成0.5周期的锯齿波，和原锯齿波相比是基频变为2倍，同样改写fssyn函数，修改基频，调用fssyn1函数：
functionf=fssyn1（F,t）
omg1=2*2*pi/（max（t）-min（t））;
N=floor（length（F）/2）;
k=[-N:
N];
f=exp（j*kron（t,k*omg1））*F;
相关曲线：
实验小结：
这个多礼拜的学习，我进一步对于matlab的数值算法有了自己的了解。
很多数学运算，可以类似地通过高级语言的方法实现，比如循环，可是这样花费的时间比较久，相应的代码也比较长。
Matlab软件库函数中有很多基于矩阵算法，因此，将问题通过矩阵来实现，将大大缩短程序和运行时间，通常也比较读懂（当然是在练习后）。
这次的学习，我另一方面明白了对于自定义函数的调用，它的文件名称应该与函数名称一样。
更重要的是，我学习到了一些基本的Matlab调试方法，在确认所使用算法和数学公式无误的情况下，我通常会设置断点，一步一步先运行程序，逐步排查错误，如果出错，直接在命令行或者工作区间查看相关矩阵内容的情况，这样就能比较快速地找到错误的根源。
当然，一个好的程序的前期工作很重要，这就要求我们首先必须掌握扎实的理论基础，对于我们，特别是信号与系统的知识，先要建立起数学物理模型，根据其实现方法选择合适的数值算法，再用Matlab实现。
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
知识的海洋广袤无垠，有待了解和学习的东西太多了。
总之，好好学习Matlab，并且及时应用它。
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