六大基本初等函数图像及性质.docx
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六大基本初等函数图像及性质
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六大基本初等函数图像及其性质
一、常值函数（也称常数函数）y=C（其中C为常数）；
常数函数（yC）
C0
y
yC
y0
x
O
平行于x轴的直线
定义域R
二、幂函数y
x，x是自变量，
是常数；
y
1
1.幂函数的图像：
yx2
yx2
yx1O
2.幂函数的性质；
性质
y
x
y
x
2
yx
3
函数
定义域
R
R
R
值域
R
[0,+∞）
R
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
增
[0,+∞）增
增
（-∞,0]
减
公共点
（1,1）
C0
y
O
y轴本身
定义域R
yx
yx3
x
1
yx2
[0,+∞）
[0,+∞）
非奇非偶
增
x
yx1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇
（0,+∞）减
（-∞,0）减
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1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为
x（,
），他们的图形都经过原点，并当
α>1时
在原点处与x轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；
α为偶数时图形关于y轴对称；
2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去
x=0的所有实数；
3）当α为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（
0,+∞），n为奇数时函数的定义域为（-
n
∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1,1）；
4）如果m>n图形于x轴相切，如果m均为奇数时，跟原点对称；
5）当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去
除x=0以外的一切实数。
三、指数函数yax（x是自变量,a是常数且a0，a1），定义域是R；
[无界函数]
1.指数函数的图象：
y
ax
y
y
y
ax
（a1）
（0a
1）
（0,1）
y1
（0,1）
y1
O
x
O
x
2.指数函数的性质；
性质
yax（a1）
yax（0a1）
函数
定义域
R
值域
（0，+∞）
奇偶性
非奇非偶
公共点
过点（0，1），即x
0时，y
1
单调性
在（
，
）是增函数
在（
，
）是减函数
1）当a
1时函数为单调增,当0a
1时函数为单调减；
2）不论x为何值,
y总是正的,图形在x轴上方；
3）当x
0时,y
1,所以它的图形通过（0,1）点。
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3.（选，补充）指数函数值的大小比较
aN*；
y
x
1
a.底数互为倒数的两个指数函数
f（x）a
x
f（x）
a
f（x）ax，f（x）1
a
x
（0,1）
的函数图像关于y轴对称。
Ox
h（x）3x
y
f（x）2x
b.1.当a1时，a值越大，yax
（0,1）
的图像越靠近y轴；
Ox
g（x）
y
x
1
3
1
x
q（x）
2
b.2.当0
a1时，a值越大，ya
x
（0,1）
的图像越远离y轴。
O
4.指数的运算法则（公式）；
a.整数指数幂的运算性质
（a
0,m,n
b.根式的性质；
Q）；
n
na
当n为奇数时，nan
a
am
an
am
n
（1）
a
；
（2）
（1）
当n为偶数时，n
an
a
（a
0）
（2）
am
an
amn
a
a（a
0）
n
c.分数指数幂；
（3）
am
anm
an
m
an
nam
（a
0,m,nZ*,n
1）
（1）
m
n
nn
m
1
1
*
ab
ab
（4）
（2）
an
m
n
a
m（a0,m,n
Z
n1）
an
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四、对数函数ylogax（a是常数且a0,a1），定义域x（0,）[无界]
1.对数的概念：
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是abN，那么数b叫做以a为底N的对数，
记作logaNb,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式。
对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数，所以ylogax的图象与yax的图象
关于直线yx对称。
2.常用对数：
log10N的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作lgN。
3.自然对数：
使用以无理数e2.7182为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简
记作lnN。
4.对数函数的图象：
y
O
x1
y
y
logax（a1）
（1,0）xO
x1
（1,0）
x
5.对数函数的性质；
y
logax（0a1）
性质
y
logax
y
logax
函数
（a1）
（0
a1）
定义域
（0，+∞）
值域
R
奇偶性
非奇非偶
公共点
过点（1，0），即x
1时，y
0
单调性
在（0,+∞）上是增函数
在（0,+∞）上是减函数
1）对数函数的图形为于
y轴的右方，并过点
（1,0）；
2）当a
1时，在区间
（0,1），y的值为负，图形位于x的下方；在区间（1,
+
），y值为正，图形位于
x轴上方，在定义域是单调增函数。
a1在实际中很少用到。
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6.（选，补充）对数函数值的大小比较
aN*；
y
y
logax
a.底数互为倒数的两个对数函数
ylogax，ylog1x
（1,0）
a
O
x
的函数图像关于
x轴对称。
y
f（x）
log2
x
y
log1x
a
f（x）
b.1.当a
1时，a值越大，f（x）logax
log3x
x轴；
的图像越靠近
O
（1,0）
x
y
b.2.当（0
a1）时，a值越大，f（x）loga
x
（1,0）
x
O
的图像越远离
x轴。
f（x）log1
x
3
7.对数的运算法则（公式）；
a.如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么：
logaMNlogaMlogaN
M
logaNlogaMlogaN
logaMnnlogaM
b.对数恒等式：
alogaNN（a0且a1，N0）
f（x）log1x
2
c.换底公式：
（1）logbN
logaN
0,a1，一般常常
（a
logab
换为e或10为底的对数,即logbN
lnN
或
lnb
logbN
lgN
lgb
）
（2）由公式和运算性质推倒的结论：
nn
loganblogab
d.对数运算性质
（1）1的对数是零，即loga10；同理ln10或lg10
（2）底数的对数等于1，即logaa1；同理lne1或lg101
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五、三角函数
1.正弦函数y
sinx,有界函数，定义域
x（,），值域y[1,1]
图象：
五点作图法：
0，
，
，3
，2
2
2
2.余弦函数ycosx
，有界函数，定义域
x（,），值域y[1,1]
图象：
五点作图法：
0，
，
，3
，2
2
2
3.正、余弦函数的性质；
性质
ysinx（kZ）
y
cosx（k
Z）
函数
定义域
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
T
2
T
2
对称中心
（k
0）
（k
0）
2
对称轴
x
k
2
（k
0）
2
在x
2k
2k
2
上是增函数
在x
2k
2k上是增函数
2
单调性
在x
2k
2k
3
上是减函数
在x
2k
2k
上是减函数
2
2
x
2k
2
时，ymax
1
x
2k时，ymax
1
最值
x
2k
时，ymin
1
x
2k
时，ymin
1
2
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4.正切函数y
tanx，无界函数，定义域xxk
（kZ），值域y（,）
y
2
x
5
2
3
O
3
2
5
2
2
2
2
2
2
ytanx的图像
5.余切函数ycotx，无界函数，定义域xxk,kZ,y（,）
y
x
3
5
2
3
O
3
2
5
3
2
2
2
2
2
2
y
cotx的图像
6.正、余切函数的性质；
性质
y
tanx（k
Z）
y
cotx（kZ）
函数
定义域
x
k
2
x
k
值域
R
R
奇偶性
奇函数
奇函数
周期性
T
T
单调性
在（k
k
）上都是增函数
在（k,（k
1）
）上都是减函数
2
2
对称中心
k
0）
k
（
（
0）
2
2
零点
（k
0）
（k
0）
2
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7.正割函数y
secx，无界函数，定义域xxk
（kZ），值域secx1
y
2
1
2
2
3
5
3
O
3
5
x
2
2
2
-1
2
2
2
8.余割函数ycscx
1
ysecx的图像
，无界函数，定义域
xxk,（k
Z），值域cscx1
sinx
y
5
1
3
2
2
2
3
2
3
O
2
5
x
2
-1
2
2
ycscx的图像
9.正、余割函数的性质；
性质
y
secx（k
Z）
y
cscx（k
Z）
函数
定义域
xx
k
xx
k
2
值域
（
，1][1,
）
（
，1]
[1,
）
奇偶性
偶函数
奇函数
周期性
T
2
T
2
（2k
2k
）
（2k
2k
3）（2k,2k
）
（2k
3
2k
2）减
2
2
2
2
3
单调性
减
（2k
2k
）
（2k
2k
）
（2k,2k
）
（2k
2k
）增
2
2
2
增
2
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续表：
性质
ysecx（kZ）
ycscx（kZ）
函数
对称中心
（k
0）
（k
0）
2
对称轴
x
k
x
k
2
渐近线
x
k
x
k
2
六、反三角函数
1.反正弦函数yarcsinx，无界函数，定义域[-1,1]，值域[0,]
A.反正弦函数的概念：
正弦函数
y
sinx在区间
上的反函数称为反正弦函数，记为
2
2
y
arcsinx
2.反余弦弦函数y
arccosx，无界函数，定义域[-1,1]
，值域[0,]
B.反余弦函数的概念：
余弦函数
y
cosx在区间
0,
上的反函数称为反余弦函数，记为
y
y
y
arccosx
2
-1
O
1
2
x
2
O
1
x
-1
yarcsinx的图像
yarccosx的图像
3.反正、余弦函数的性质；
性质
函数
yarcsinxyarccosx
定义域
[-1,1]
[-1,1]
值域
[0,]
[0,]
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
单调性
增函数
减函数
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4.反正切函数yarctanx，有界函数，定义域x（,）,值域,
22
C.反正切函数的概念：
正切函数ytanx在区间,上的反函数称为反正切函数，记为
22
yarctanx
5.反余切函数yarccotx，有界函数，定义域x（,）,值域0,
D.反余切函数的概念：
余切函数ycotx在区间0,上的反函数称为反余切函数，记为
yarccotx
yy
2
Ox2
2
O
x
yarctanx的图像
yarccotx的图像
6.反正、余弦函数的性质；
函数
性质
yarctanxyarccotx
定义域R
值域,0,22
奇偶性奇函数非奇非偶
单调性增函数减函数
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三角函数公式汇总
一、任意角的三角函数
在角
正弦：
正切：
正割：
的终边上任取一点P（x,y），记：
r
x
2
y
2
。
．．
y
x
sin
余弦：
cos
r
r
y
x
tan
余切：
cot
x
y
r
r
sec
余割：
csc
x
y
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：
sin
csc
1，cos
sec
1，tan
cot
1
商数关系：
tan
sin
，cot
cos
cos
sin
平方关系：
sin2
cos2
1，1
tan2
sec2
，1cot2
csc2
三、诱导公式
x轴上的角，口诀：
函数名不变，符号看象限；
y轴上的角，口诀：
函数名改变，符号看象限。
四、和角公式和差角公式
sin（
）
sin
cos
cos
sin
）
tan
tan
tan（
tan
tan
sin（
）
sin
cos
cos
sin
1
cos（
）
cos
cos
sin
sin
）
tan
tan
tan（
tan
tan
cos（
）
cos
cos
sin
sin
1
五、二倍角公式
sin22sincos
tan2
2tan
1tan2
cos2
cos2
sin2
2cos2
1
1
2sin2
二倍角的余弦公式常用变形：
（规律：
降幂扩角，升幂缩角）
1
cos2
2cos2
1
cos2
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