江苏高考数学试题及答案.docx

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江苏高考数学试题及答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析

数学Ⅰ试题

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

参考公式：

锥体的体积公式:

V锥体=Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上.

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.

2、设复数z满足z（2-3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__.

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。

5、设函数f（x）=x（ex+ae-x）（xR）是偶函数，则实数a=_______▲_________

6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

8、函数y=x2（x>0）的图像在点（ak,ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____

10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。

11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=____▲_____。

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____▲____。

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A（－1,－2）、B（2,3）、C（－2,－1）。

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数t满足（）·=0，求t的值。

16、（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。

（1）求证：

PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离。

17、（本小题满分14分）

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：

m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。

（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：

m），使与之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？

18、（本小题满分16分）

在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。

设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。

（1）设动点P满足,求点P的轨迹；

（2）设，求点T的坐标；

（3）设,求证：

直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

19、（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。

（1）求数列的通项公式（用表示）；

（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。

求证：

的最大值为。

20、（本小题满分16分）

设是定义在区间上的函数，其导函数为。

如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。

（1）设函数，其中为实数。

（i）求证：

函数具有性质；（ii）求函数的单调区间。

（2）已知函数具有性质。

给定设为实数，

，，且，

若||<||，求的取值范围。

数学Ⅱ（附加题）

21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。

若多做，则按作答的前两题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A．选修4-1：

几何证明选讲

（本小题满分10分）

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：

AB=2BC。

B．选修4-2：

矩阵与变换

（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,0），B（-2,0），C（-2,1）。

设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。

C．选修4-5：

不等式选讲

（本小题满分10分）

设a、b是非负实数，求证：

。

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、（本小题满分10分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。

生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。

设生产各种产品相互独立。

（1）记X（单位：

万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

23、（本小题满分10分）

已知△ABC的三边长都是有理数。

（1）求证cosA是有理数；

（2）求证：

对任意正整数n，cosnA是有理数。

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上.

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.

[解析]考查集合的运算推理。

3B,a+2=3,a=1.

2、设复数z满足z（2-3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.

[解析]考查复数运算、模的性质。

z（2-3i）=2（3+2i）,2-3i与3+2i的模相等，z的模为2。

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__.

[解析]考查古典概型知识。

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。

[解析]考查频率分布直方图的知识。

100×（0.001+0.001+0.004）×5=30

5、设函数f（x）=x（ex+ae-x）（xR）是偶函数，则实数a=_______▲_________

[解析]考查函数的奇偶性的知识。

g（x）=ex+ae-x为奇函数，由g（0）=0，得a=－1。

6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______

[解析]考查双曲线的定义。

，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

[解析]考查流程图理解。

输出。

8、函数y=x2（x>0）的图像在点（ak,ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点（ak,ak2）处的切线方程为：

当时，解得，

所以。

9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____

[解析]考查圆与直线的位置关系。

圆半径为2，

圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。

10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。

[解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。

线段P1P2的长即为sinx的值，

且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。

线段P1P2的长为

11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。

[解析]考查分段函数的单调性。

[解析]考查不等式的基本性质，等价转化思想。

，，，的最大值是27。

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=____▲_____。

[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。

一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

当A=B或a=b时满足题意，此时有：

，，，

，=4。

（方法二），

由正弦定理，得：

上式=

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____▲____。

[解析]考查函数中的建模应用，等价转化思想。

一题多解。

设剪成的小正三角形的边长为，则：

（方法一）利用导数求函数最小值。

，

，

当时，递减；当时，递增；

故当时，S的最小值是。

（方法二）利用函数的方法求最小值。

令，则：

故当时，S的最小值是。

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.

15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A（－1,－2）、B（2,3）、C（－2,－1）。

（3）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（4）设实数t满足（）·=0，求t的值。

[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。

满分14分。

（1）（方法一）由题设知，则

所以

故所求的两条对角线的长分别为、。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；

（2）由题设知：

=（－2,－1），。

由（）·=0，得：

，

从而所以。

或者：

，

16、（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-AB