三角形的证明超值超划算.docx
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三角形的证明超值超划算
第五讲：
三角形的证明
专题一、等腰三角形
一、知识要点：
（1）等腰三角形的性质：
（2）“三线合一”定理：
（3）等腰三角形的判定定理：
；。
二、经典题型汇总：
1、等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）
A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm
2、等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）
A．100°B．100°或40°C．40°D．80°
3、（2015•深圳一模）已知：
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．
（1）求证：
△MED为等腰三角形；
（2）求证：
∠EMD=2∠DAC．
2．（2013秋•高新区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
3．（2014秋•禹州市期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE=BD，过点D，E引直线交AC于点F，则有AF=FC，为什么？
4．（2013秋•济宁期末）
（1）如图1，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；
（2）如图2，点B、F、D在射线AM上，点G、C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，求∠A的度数．
5．（2014春•宜宾县校级期末）如图所示，在△ABC中，AB=AC，D为底边BC上任意一点，E为AC上一点，且AE=AD．
（1）若∠BAD=30°，∠B=65°，求∠EDC的度数；
（2）请你给出一个关于∠BAD与∠CDE之间关系的猜想，并说明理由．
6．（2014春•大庆期末）等腰△ABC中（如图1），AB=AC，腰上的高为h，P为底边BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
（1）求证：
PE+PF=h；
（2）（如图2）当点P在线段BC的延长线上时，PE、PF、h之间又有怎样的数量关系？
写出你的猜想，并证明．
专题二、等边三角形
一、知识要点
（1）等边三角形性质：
；
（2）等边三角形的判定定理
①
②
③
（3）等边三角形的面积公式：
二、经典题型汇总
1、如图，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE为多少？
2、如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：
△BCE≌△ACD；②求证：
CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．
3、如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．
4、如图①，在凸四边形中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．
（1）如图②，若连接AC，则△ADC的形状是等边
三角形．你是根据哪个判定定理？
（2）如图③，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE，并连接AE，请问：
BD与AE相等吗？
若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．
（3）在第
（2）题的前提下，请你说明BD2=AB2+BC2成立的理由．
专题三、直角三角形：
一、知识要点
（1）勾股定理：
（2）特殊的直角三角形及三边比例
（3）直角三角形斜边的中线等于。
二、经典题型汇总
1、（2013年吉林长春）如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（ ）
A、30°B、45°C、60°D、75°
2．（2014•锦州）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：
EF=
AC．
（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
3．（2012秋•江岸区期末）已知：
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：
AD=DB；
（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；
（3）当∠DEF=90°时，求BF的长？
4．（2013秋•江阴市期中）如图，△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：
MN⊥DE；
（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程；若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述（3）
（2）中的结论是否都成立？
若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
5．（2014春•高安市期末）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：
CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？
为什么？
（3）根据你所学的知识，运用
（1）、
（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；
②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则△ABC的面积为 （直接写出结果，不需要写出计算过程）．
6、将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：
AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在
（1）中猜想的结论是否仍然成立；
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为
（1）中猜想的结论还成立吗？
若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．
7、已知：
△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，点M是CE的中点，连接BM．
（1）如图①，点D在AB上，连接DM，猜想BD与BM的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，点D不在AB上，
（1）中的结论还成立吗？
如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出此时BD与BM的数量关系．
专题四、角平分线：
一、知识要点：
（1）角平分线的性质
二、经典题型汇总
1．（2013秋•日照期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的长．
2．（2014春•德国校级期末）已知，如图：
△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=15，BD=25，求AC的长．
3．（2013秋•萝岗区期末）如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD、CE分别交BC和AB于点D、E，AD与CE相交于点F，求证：
FE=FD．
4．（2014秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，
求证：
∠A+∠C=180°．
5．（2014秋•江阴市期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．
6．（2013•长汀县校级模拟）观察、猜想、探究：
在△ABC中，∠ACB=2∠B．
（1）如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：
AB=AC+CD；
（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？
不需要证明，请直接写出你的猜想；
（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
专题五、垂直平分线
一、知识要点
1、线段的垂直平分线也叫
2、垂直平分线的性质
二、经典题型汇总
1．（2014秋•剑川县期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
2．（2014秋•曹县期末）如图所示，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．
（1）若∠ABC=∠C，∠A=50°，求∠DBC的度数．
（2）若AB=AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．
3．（2013秋•江都市期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=5，则△ADE周长是多少？
为什么？
（2）若∠BAC=120°，则∠DAE的度数是多少？
为什么？
4．（2014春•北票市校级期中）如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：
∠B=∠CAF．
5．（2005•海南）如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H．
（1）求证：
①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．
（2）试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？
请说明理由．
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