高考数学理科一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案.docx

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高考数学理科一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案

高考数学（理科）一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案

学案4　直线与圆锥曲线的位置关系

导学目标：

1了解圆锥曲线的简单应用2理解数形结合的思想．自主梳理

1．直线与椭圆的位置关系的判定方法

（1）将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．

（2）直线与双曲线的位置关系的判定方法

将直线方程与双曲线方程联立消去（或x），得到一个一元方程ax2＋bx＋＝0

①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．

②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．

（3）直线与抛物线位置关系的判定方法

将直线方程与抛物线方程联立，消去（或x），得到一个一元方程ax2＋bx＋＝0

①当a≠0，用Δ判定，方法同上．

②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．

2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程

（1）AB是椭圆x2a2＋2b2＝1（a>b>0）的一条弦，（x0，0）是AB的中点，则AB＝________，AB•＝__________点差法求弦的斜率的步骤是：

①将端点坐标代入方程：

x21a2＋21b2＝1，x22a2＋22b2＝1

②两等式对应相减：

x21a2－x22a2＋21b2－22b2＝0

③分解因式整理：

AB＝1－2x1－x2＝－b2x1＋x2a21＋2＝－b2x0a20

（2）运用类比的手法可以推出：

已知AB是双曲线x2a2－2b2＝1的弦，中点（x0，0），则AB＝__________________已知抛物线2＝2px（p>0）的弦AB的中点（x0，0），则AB＝____________

3．弦长公式

直线l：

＝x＋b与圆锥曲线：

F（x，）＝0交于A（x1，1），B（x2，2）两点，

则|AB|＝1＋2|x1－x2|

＝1＋2x1＋x22－4x1x2

或|AB|＝1＋12|1－2|＝1＋12•1＋22－412

自我检测

1．抛物线2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，A⊥l，垂足为，则△AF的面积是（　　）

A．4B．33．43D．8

2．（2011•中调研）与抛物线x2＝4关于直线x＋＝0对称的抛物线的焦点坐标是（　　）

A．（1,0）B116，0

．（－1,0）D0，－116

3．（2011•许昌模拟）已知曲线x2a＋2b＝1和直线ax＋b＋1＝0（a、b为非零实数），在同一坐标系中，它们的图形可能是（　　）4．（2011•杭州模拟）过点0，－12的直线l与抛物线＝－x2交于A、B两点，为坐标原点，则A→•B→的值为（　　）

A．－12B．－14．－4D．无法确定探究点一　直线与圆锥曲线的位置关系

例1　为何值时，直线＝x＋2和曲线2x2＋32＝6有两个公共点？

有一个公共点？

没有公共点？

变式迁移1　已知抛物线的方程为x2＝12，过A（0，－1），B（t,3）两点的直线与抛物线没有公共点，则实数t的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

B－∞，－22∪22，＋∞

．（－∞，－22）∪（22，＋∞）

D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

探究点二　圆锥曲线中的弦长问题

例2　如图所示，直线＝x＋b与椭圆x24＋2＝1交于A、B两点，记△AB的面积为S

（1）求在＝0,0<b<1的条下，S的最大值；

（2）当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

变式迁移2　已知椭圆的两焦点为F1（－3，0），F2（3，0），离心率e＝32

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线l：

＝x＋，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求的值．

探究点三　求参数的范围问题

例3　（2011•开封模拟）直线：

＝x＋1和双曲线x2－2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P（－2,0）和线段AB的中点，求l在轴上的截距b的取值范围．

变式迁移3　在平面直角坐标系x中，经过点（0，2）且斜率为的直线l与椭圆x22＋2＝1有两个不同的交点P和Q

（1）求的取值范围；

（2）设椭圆与x轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数，使得向量P→＋Q→与AB→共线？

如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．函数思想的应用

例　（12分）已知椭圆的方程为x2a2＋2b2＝1（a>b>0），双曲线x2a2－2b2＝1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆的两个交点由上至下依次为A，B

（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆的方程及离心率；

（2）求|FA||AP|的最大值．

【答题模板】

解　

（1）双曲线的渐近线为＝±bax，两渐近线夹角为60°，又ba<1，∴∠Px＝30°，

∴ba＝tan30°＝33，∴a＝3b又a2＋b2＝22，

∴3b2＋b2＝4，[2分]

∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆的方程为x23＋2＝1，

∴离心率e＝a2－b2a＝63[4分]

（2）由已知，l：

＝ab（x－）与＝bax联立，

解方程组得Pa2，ab[6分]

设|FA||AP|＝λ，则FA→＝λAP→，∵F（,0），设A（x0，0），则（x0－，0）＝λa2－x0，ab－0，

∴x0＝＋λ•a21＋λ，0＝λ•ab1＋λ即A＋λ•a21＋λ，λ•ab1＋λ[8分]

将A点坐标代入椭圆方程，得（2＋λa2）2＋λ2a4＝（1＋λ）2a22，

等式两边同除以a4，（e2＋λ）2＋λ2＝e2（1＋λ）2，e∈（0,1），[10分]

∴λ2＝e4－e2e2－2＝－2－e2＋22－e2＋3

≤－22－e2•22－e2＋3＝3－22＝（2－1）2，

∴当2－e2＝2，即e2＝2－2时，λ有最大值2－1，即|FA||AP|的最大值为2－1[12分]

【突破思维障碍】

最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．

【易错点剖析】

不能把|FA||AP|转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝e4－e2e2－2不会求最值或忽视e2－2<0这个隐含条．1．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．

2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝－ba，x1x2＝a然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．（2011•菏泽调研）F1、F2是椭圆x2a2＋2b2＝1（a>b>0）的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（　　）

A．圆B．椭圆．双曲线D．抛物线

2．若双曲线x29－24＝1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线2＝2px（p>0）通过点A，则p的值为（　　）

A92B．221313D1313

3．（2011•武汉月考）已知直线l1：

4x－3＋6＝0和直线l2：

x＝－1，抛物线2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）

A．2B．311D3716

4．已知直线＝（x＋2）（>0）与抛物线：

2＝8x相交于A、B两点，F为的焦点．若|FA|＝2|FB|，则等于（　　）

A13B2323D223

．斜率为1的直线l与椭圆x24＋2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（　　）

A．2B4

410D810

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．（2011届合肥期末）若直线＝x＋1（∈R）与焦点在x轴上的椭圆x2＋2t＝1恒有公共点，则t的范围是______________．

7．P为双曲线x2－21＝1右支上一点，、N分别是圆（x＋4）2＋2＝4和（x－4）2＋2＝1上的点，则|P|－|PN|的最大值为________．

8．（2010•全国Ⅱ）已知抛物线：

2＝2px（p＞0）的准线为l，过（1,0）且斜率为3的直线与l相交于点A，与的一个交点为B，若A→＝B→，则p＝________

三、解答题（共38分）

9．（12分）已知抛物线＝－x2＋3上存在关于直线x＋＝0对称的相异两点A、B，求|AB|的长．

10．（12分）（2010•天津）已知椭圆x2a2＋2b2＝1（a>b>0）的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（－a,0），点Q（0，0）在线段AB的垂直平分线上，且QA→•QB→＝4，求0的值．

11．（14分）（2011•江西）P（x0，0）（x0≠±a）是双曲线E：

x2a2－2b2＝1（a>0，b>0）上一点，，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线P，PN的斜率之积为1

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足→＝λA→＋B→，求λ的值．

学案4　直线与圆锥曲线的位置关系

自主梳理

1．

（1）相交　相切　相离　

（2）①相交　相切　相离　②一个

（3）②平行　一个　2

（1）－b2x0a20　－b2a2　

（2）b2x0a20　p0

自我检测

1．　2　3　4B

堂活动区

例1　解题导引　用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．

解　由＝x＋2，2x2＋32＝6，得2x2＋3（x＋2）2＝6，

即（2＋32）x2＋12x＋6＝0，

Δ＝1442－24（2＋32）＝722－48

当Δ＝722－48>0，即>63或<－63时，直线和曲线有两个公共点；

当Δ＝722－48＝0，即＝63或＝－63时，直线和曲线有一个公共点；

当Δ＝722－48<0，即－63<<63时，直线和曲线没有公共点．

变式迁移1　D　[直线AB的方程为＝4tx－1（t＝0时不合题意，舍去），与抛物线方程x2＝12联立得x2－2tx＋12＝0，由于直线AB与抛物线没有公共点，所以Δ＝4t2－2<0，解得t>2或t<－2]

例2　解题导引　本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．

解　

（1）设点A的坐标为（x1，b），点B的坐标为（x2，b），由x24＋2＝1，解得x1,2＝±21－b2，

所以S＝12b|x1－x2|＝2b1－b2≤b2＋1－b2＝1

当且仅当b＝22时，S取到最大值1

（2）由＝x＋bx24＋2＝1得（42＋1）x2＋8bx＋4b2－4＝0，

Δ＝16（42－b2＋1）．①

|AB|＝1＋2|x1－x2|＝1＋2•1642－b2＋142＋1＝2②

又因为到AB的距离d＝|b|1＋2＝2S|AB|＝1，

所以b2＝2＋1③

将③代入②并整理，得44－42＋1＝0，

解得2＝12，b2＝32，代入①式检查，Δ>0

故直线AB的方程是：

＝22x＋62或＝22x－62或＝－22x＋62或＝－22x－62

变式迁移2　解　

（1）设椭圆方程为x2a2＋2b2＝1（a>b>0），

则＝3，a＝32∴a＝2，b＝1

∴所求椭圆方程为x24＋2＝1

（2）由＝x＋，x24＋2＝1，消去得关于x的方程：

x2＋8x＋4（2－1）＝0，

则Δ＝642－80（2－1）>0，解得2<（*）

设P（x1，1），Q（x2，2），则x1＋x2＝－8，

x1x2＝42－1，1－2＝x1－x2，

∴|PQ|＝x1－x22＋1－22＝2x1－x22

＝2－82－162－1＝2，

解得2＝18，满足（*），∴＝±304

例3　解题导引　直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．

解　由＝x＋1x2－2＝1（x≤－1）

得（2－1）x2＋2x＋2＝0设A（x1，1），B（x2，2），

则Δ＝42＋81－2>0x1＋x2＝21－2<0x1x2＝－21－2>0，∴1<<2

设（x0，0），由x0＝x1＋x22＝1－20＝1＋22＝11－2，

设l与轴的交点为Q（0，b），则由P（－2,0），

1－2，11－2，Q（0，b）三点共线得b＝2－22＋＋2，

设f（）＝－22＋＋2，则f（）在（1，2）上单调递减，

∴f（）∈（－2＋2，1），

∴b∈（－∞，－2－2）∪（2，＋∞）．

变式迁移3　解　

（1）由已知条，直线l的方程为＝x＋2，

代入椭圆方程得x22＋（x＋2）2＝1，

整理得12＋2x2＋22x＋1＝0①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

Δ＝82－412＋2＝42－2>0，解得<－22或>22

即的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞

（2）设P（x1，1），Q（x2，2），则P→＋Q→＝（x1＋x2，1＋2），

由方程①，x1＋x2＝－421＋22②

又1＋2＝（x1＋x2）＋22③

而A（2，0），B（0,1），AB→＝（－2，1）．

所以P→＋Q→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2（1＋2），

将②③代入上式，解得＝22

由

（1）知<－22或>22，故没有符合题意的常数

后练习区

1．A　2　3A　4D　

6．[1,）　7　82

9．解　设直线AB的方程为＝x＋b，

由＝－x2＋3，＝x＋b，消去得x2＋x＋b－3＝0，（3分）

∴x1＋x2＝－1

于是AB的中点（－12，－12＋b），

且Δ＝1－4（b－3）>0，即b<134（6分）

又（－12，－12＋b）在直线x＋＝0上，∴b＝1符合．（8分）

∴x2＋x－2＝0由弦长公式可得

|AB|＝1＋12－12－4×－2＝32（12分）

10．解　

（1）由e＝a＝32，得3a2＝42

再由2＝a2－b2，得a＝2b

由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2

解方程组a＝2b，ab＝2，得a＝2，b＝1

所以椭圆的方程为x24＋2＝1（4分）

（2）由

（1）可知A（－2,0），且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为（x1，1），直线l的斜率为，则直线l的方程为＝（x＋2）．

于是A，B两点的坐标满足方程组＝x＋2，x24＋2＝1

由方程组消去并整理，得

（1＋42）x2＋162x＋（162－4）＝0

由根与系数的关系，得－2x1＝162－41＋42，

所以x1＝2－821＋42，从而1＝41＋42

设线段AB的中点为，则的坐标为（－821＋42，21＋42）．（6分）

以下分两种情况讨论：

①当＝0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为轴，于是QA→＝（－2，－0），QB→＝（2，－0）．

由QA→•QB→＝4，得0＝±22（8分）

②当≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为

－21＋42＝－1（x＋821＋42）．

令x＝0，解得0＝－61＋42

由QA→＝（－2，－0），QB→＝（x1，1－0），

QA→•QB→＝－2x1－0（1－0）

＝－22－821＋42＋61＋42（41＋42＋61＋42）

＝4164＋12－11＋422＝4，

整理得72＝2，故＝±147

所以0＝±214（11分）

综上，0＝±22或0＝±214（12分）

11．解　

（1）由点P（x0，0）（x0≠±a）在双曲线x2a2－2b2＝1上，有x20a2－20b2＝1

由题意有0x0－a•0x0＋a＝1，（3分）

可得a2＝b2，2＝a2＋b2＝6b2，e＝a＝30（6分）

（2）联立x2－2＝b2，＝x－，得4x2－10x＋3b2＝0

设A（x1，1），B（x2，2），则x1＋x2＝2，x1x2＝3b24①

设→＝（x3，3），→＝λA→＋B→，

即x3＝λx1＋x2，3＝λ1＋2（9分）

又为双曲线上一点，

即x23－23＝b2，有

（λx1＋x2）2－（λ1＋2）2＝b2化简得

λ2（x21－21）＋（x22－22）＋2λ（x1x2－12）＝b2②

又A（x1，1），B（x2，2）在双曲线上，

所以x21－21＝b2，x22－22＝b2（11分）

由①式又有x1x2－12＝x1x2－（x1－）（x2－）

＝－4x1x2＋（x1＋x2）－2＝10b2，

②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4

（14分）