高考数学理科一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案.docx

1、高考数学理科一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案高考数学（理科）一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案 学案4直线与圆锥曲线的位置关系导学目标： 1了解圆锥曲线的简单应用2理解数形结合的思想自主梳理 1直线与椭圆的位置关系的判定方法(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若>0，则直线与椭圆_；若0，则直线与椭圆_；若<0，则直线与椭圆_(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去(或x)，得到一个一元方程ax2bx0若a0，当>0时，直线与双曲线_；当0时，直线与双曲线_；当<0时，直线与双曲线_若a0时，直线与渐近

2、线平行，与双曲线有_交点(3)直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去(或x)，得到一个一元方程ax2bx0当a0，用判定，方法同上当a0时，直线与抛物线的对称轴_，只有_交点2已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程(1)AB是椭圆x2a22b21 (a>b>0)的一条弦，(x0，0)是AB的中点，则AB_，AB•_点差法求弦的斜率的步骤是：将端点坐标代入方程：x21a221b21，x22a222b21两等式对应相减：x21a2x22a221b222b20分解因式整理：AB12x1x2b2x1x2a2

3、12b2x0a20(2)运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线x2a22b21的弦，中点(x0，0)，则AB_已知抛物线22px (p>0)的弦AB的中点(x0，0)，则AB_3弦长公式直线l：xb与圆锥曲线：F(x，)0交于A(x1，1)，B(x2，2)两点，则|AB|12|x1x2|12x1x224x1x2或|AB| 112|12| 112•122412自我检测 1抛物线24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，Al，垂足为，则AF的面积是()A4

4、 B33 43 D82(2011•中调研)与抛物线x24关于直线x0对称的抛物线的焦点坐标是()A(1,0) B116，0(1,0) D0，1163(2011•许昌模拟)已知曲线x2a2b1和直线axb10 (a、b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是()4(2011•杭州模拟)过点0，12的直线l与抛物线x2交于A、B两点，为坐标原点，则A•B的值为()A12 B14 4 D无法确定探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1 为何值时，直线x2和曲线2x2326有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 变式迁移1已知抛物线的方程为x212，

5、过A(0，1)，B(t,3)两点的直线与抛物线没有公共点，则实数t的取值范围是()A(，1)(1，)B，2222，(，22)(22，)D(，2)(2，)探究点二圆锥曲线中的弦长问题例2 如图所示，直线xb与椭圆x2421交于A、B两点，记AB的面积为S(1)求在0,0<b<1的条下，S的最大值；(2)当|AB|2，S1时，求直线AB的方程 变式迁移2已知椭圆的两焦点为F1(3，0)，F2(3，0)，离心率e32(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线l：x，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求的值 探究点三求参数的范围问题例3 (2011•开封模拟)直

6、线：x1和双曲线x221的左支交于A、B两点，直线l过点P(2,0)和线段AB的中点，求l在轴上的截距b的取值范围变式迁移3在平面直角坐标系x中，经过点(0，2)且斜率为的直线l与椭圆x2221有两个不同的交点P和Q(1)求的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数，使得向量PQ与AB共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由函数思想的应用例 (12分)已知椭圆的方程为x2a22b21 (a>b>0)，双曲线x2a22b21的两条渐近线为l1，l2，过椭圆的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆的两个交点由上至下依次为A，B

7、(1)当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆的方程及离心率；(2)求|FA|AP|的最大值【答题模板】解(1)双曲线的渐近线为bax，两渐近线夹角为60，又ba<1，Px30，batan 3033，a3b又a2b222，3b2b24，2分b21，a23，椭圆的方程为x2321，离心率ea2b2a634分(2)由已知，l：ab(x)与bax联立，解方程组得Pa2，ab6分设|FA|AP|，则FAAP，F(,0)，设A(x0，0)，则(x0，0)a2x0，ab0，x0•a21，0•ab1即A•a21，•ab18分将A点坐标代入椭圆方

8、程，得(2a2)22a4(1)2a22，等式两边同除以a4，(e2)22e2(1)2，e(0,1)，10分2e4e2e222e222e232 2e2•22e23322(21)2，当2e22，即e222时，有最大值21，即|FA|AP|的最大值为2112分【突破思维障碍】最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决【易错点剖析】不能把|FA|AP|转化成向量问题，使得

9、运算繁琐造成错误，由2e4e2e22不会求最值或忽视e22<0这个隐含条1直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力2从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2bx0的方程，由韦达定理得x1x2ba，x1x2a然后再把要研究的问题转化为用x1x2和x1x2去表示最后，用函数、不等式等知识加以解决需要注意的就是要注意对隐含条的挖掘

10、，比如判别式0，圆锥曲线中有关量的固有范围等(满分：7分)一、选择题(每小题分，共2分)1(2011•菏泽调研)F1、F2是椭圆x2a22b21 (a>b>0)的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为()A圆 B椭圆 双曲线 D抛物线2若双曲线x29241的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线22px (p>0)通过点A，则p的值为()A92 B2 21313 D13133(2011•武汉月考)已知直线l1：4x360和直线l2：x1，抛物线24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离

11、之和的最小值是()A2 B3 11 D37164已知直线(x2) (>0)与抛物线：28x相交于A、B两点，F为的焦点若|FA|2|FB|，则等于()A13 B23 23 D223斜率为1的直线l与椭圆x2421相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A2 B4410 D810二、填空题(每小题4分，共12分)6(2011届合肥期末)若直线x1 (R)与焦点在x轴上的椭圆x22t1恒有公共点，则t的范围是_7P为双曲线x2211右支上一点，、N分别是圆(x4)224和(x4)221上的点，则|P|PN|的最大值为_8(2010•全国)已知抛物线：22px(p0)的准线为l，

12、过(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与的一个交点为B，若AB，则p_三、解答题(共38分)9(12分)已知抛物线x23上存在关于直线x0对称的相异两点A、B，求|AB|的长 10(12分)(2010•天津)已知椭圆x2a22b21(a>b>0)的离心率e32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(a,0)，点Q(0，0)在线段AB的垂直平分线上，且QA•QB4，求0的值 11(14分)(2011•江西)P(x0，0)(x0a)是双曲线E：x2a22b21(a

13、>0，b>0)上一点，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线P，PN的斜率之积为1(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足AB，求的值 学案4直线与圆锥曲线的位置关系自主梳理1(1)相交相切相离(2)相交相切相离一个(3)平行一个2(1)b2x0a20b2a2(2)b2x0a20p0自我检测1234B堂活动区例1 解题导引用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，

14、若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系解由x2，2x2326，得2x23(x2)26，即(232)x212x60，144224(232)72248当72248>0，即>63或<63时，直线和曲线有两个公共点；当722480，即63或63时，直线和曲线有一个公共点；当72248<0，即63<<63时，直线和曲线没有公共点变式迁移1D直线AB的方程为4tx1(t0时不合题意，舍去)，与抛物线方程x212联立得x22tx120，由于直线A

15、B与抛物线没有公共点，所以4t22<0，解得t>2或t<2例2 解题导引本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解解(1)设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，由x2421，解得x1,221b2，所以S12b|x1x2|2b1b2b21b21当且仅当b22时，S取到最大值1(2)由xbx2421得(421)x28bx4b240，16(42b21)|AB|12|x1x2|12•1642

16、b214212又因为到AB的距离d|b|122S|AB|1，所以b221将代入并整理，得444210，解得212，b232，代入式检查，>0故直线AB的方程是：22x62或22x62或22x62或22x62变式迁移2解(1)设椭圆方程为x2a22b21 (a>b>0)，则3，a32a2，b1所求椭圆方程为x2421(2)由x，x2421，消去得关于x的方程：x28x4(21)0，则64280(21)>0，解得2<(*)设P(x1，1)，Q(x2，2)，则x1x28，x1x2421，12x1x2，|PQ|

17、;x1x221222x1x22 28216212，解得218，满足(*)，304例3 解题导引直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究解由x1x221 (x1)得(21)x22x20设A(x1，1)，B(x2，2)，则42812>0x1x2212<0x1x2212>0，1<<2设(x0

18、，0)，由x0x1x22120122112，设l与轴的交点为Q(0，b)，则由P(2,0)，12，112，Q(0，b)三点共线得b2222，设f()222，则f()在(1，2)上单调递减，f()(22，1)，b(，22)(2，)变式迁移3解(1)由已知条，直线l的方程为x2，代入椭圆方程得x22(x2)21，整理得122x222x10直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于824122422>0，解得<22或>22即的取值范围为，2222，(2)设P(x1，1)，Q(x2，2)，则PQ(x1x2，12)，由方程，x1x242122又12(x1x2)22而A(2，0)，B(0,

19、1)，AB(2，1)所以PQ与AB共线等价于x1x22(12)，将代入上式，解得22由(1)知<22或>22，故没有符合题意的常数后练习区1A23A4D61,)7829解设直线AB的方程为xb，由x23，xb，消去得x2xb30，(3分)x1x21于是AB的中点(12，12b)，且14(b3)>0，即b<134(6分)又(12，12b)在直线x0上，b1符合(8分)x2x20由弦长公式可得|AB|112124232(12分)10解(1)由ea32，得3a242再由2a2b2，得a2b由题意可知122a2b4

20、，即ab2解方程组a2b，ab2，得a2，b1所以椭圆的方程为x2421(4分)(2)由(1)可知A(2,0)，且直线l的斜率必存在设B点的坐标为(x1，1)，直线l的斜率为，则直线l的方程为(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组x2，x2421由方程组消去并整理，得(142)x2162x(1624)0由根与系数的关系，得2x11624142，所以x1282142，从而14142设线段AB的中点为，则的坐标为(82142，2142)(6分)以下分两种情况讨论：当0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为轴，于是QA(2，0)，QB(2，0)由QA

21、226;QB4，得022(8分)当0时，线段AB的垂直平分线的方程为21421(x82142)令x0，解得06142由QA(2，0)，QB(x1，10)，QA•QB2x10(10)22821426142(41426142)416412114224，整理得722，故147所以0214(11分)综上，022或0214(12分)11解(1)由点P(x0，0)(x0a)在双曲线x2a22b21上，有x20a220b21由题意有0x0a•0x0a1，(3分)可得a2b2，2a2b26b2，ea30(6分)(2)联立x22b2，x，得4x210x3b20设A(x1，1)，B(x2，2)，则x1x22，x1x23b24设(x3，3)，AB，即x3x1x2，312(9分)又为双曲线上一点，即x2323b2，有(x1x2)2(12)2b2化简得2(x2121)(x2222)2(x1x212)b2又A(x1，1)，B(x2，2)在双曲线上，所以x2121b2，x2222b2(11分)由式又有x1x212x1x2(x1)(x2)4x1x2(x1x2)210b2，式可化为240，解得0或4(14分)