最小面积的求法.docx
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最小面积的求法
18.（09年福建卷）22.（20分）图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
（1）求上述粒子的比荷
；
（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
答案
（1）
=4.9×
C/kg（或5.0×
C/kg）；
（2）
；（3）
解析：
第
（1）问本题考查带电粒子在磁场中的运动。
第
（2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。
（1）设粒子在磁场中的运动半径为r。
如图甲，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得
①
由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得
②
联立①②并代入数据得
=4.9×
C/kg（或5.0×
C/kg） ③
（2）设所加电场的场强大小为E。
如图乙，当粒子子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有
④
代入数据得
⑤
所加电场的长枪方向沿x轴正方向。
由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有
⑥
⑦
联立①⑥⑦并代入数据得
⑧
（3）如图丙，所求的最小矩形是
，该区域面积
⑨
联立①⑨并代入数据得
矩形如图丙中
（虚线）
51、（徐州市2008届第3次质检）（15分）如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为0.5×103V/m,B1大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B2，磁场的下边界与x轴重合．一质量m=1×10-14kg、电荷量q=1×10-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向成60°角从M点沿直线运动，经P点进入处于第一象限内的磁场B2区域。
一段时间后，微粒经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出，M点的坐标为（0，-10）,N点的坐标为（0，30）．不计粒子重力，g取10m/s2．
（1）请分析判断匀强电场E的方向并求微粒运动速度的v大小；
（2）匀强磁场B2的大小为多大？
；
（3）B2磁场区域的最小面积为多少？
解：
（1）带正电微粒在第四象限作匀速直线运动
E的方向垂直于MP与y轴负方向成300角
（2）微粒在第一象限运动轨迹如图示
OP=OMtan600=
（m）
由几何关系
解得
（m）
B2=
T
Smin=
=
（m2）
36、（淮安、连云港、宿迁、徐州四市2008第2次调研）（14分）如图所示的直角坐标系中，在直线x=－2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。
在电场左边界上A（－2l0，－l0）到C（－2l0，0）区域内，连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子。
从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。
若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图。
不计粒子的重力及它们间的相互作用。
⑴求匀强电场的电场强度E；
⑵求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？
⑶若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？
相应的磁感应强度B是多大？
16．（14分）
⑴从A点射出的粒子，由A到A′的运动时间为T，根据运动轨迹和对称性可得
x轴方向
（1分）
y轴方向
（1分）
得：
（2分）
⑵设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次达x轴用时△t，水平位移为△x，则
（1分）
若满足
，则从电场射出时的速度方向也将沿x轴正方向（2分）
解之得：
（2分）
即AC间y坐标为
（n=1，2，3，……）（1分）
⑶当n=1时，粒子射出的坐标为
当n=2时，粒子射出的坐标为
当n≥3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在y1到y2之间（如图）y1到y2之间的距离为
L=y1－y2=
则磁场的最小半径为
（2分）
若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），（轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO1QO2为棱形）由
得：
（2分）
23.（09年海南物理）16．（10分）如图，ABCD是边长为
的正方形。
质量为
、电荷量为
的电子以大小为
的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场。
电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。
不计重力，求：
（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；
（2）此匀强磁场区域的最小面积。
解析：
（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。
令圆弧
是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。
电子所受到的磁场的作用力
应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。
圆弧
的圆心在CB边或其延长线上。
依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为
按照牛顿定律有
联立①②式得
（2）由
（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自
点垂直于
入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。
因而，圆弧
是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为
（不妨设
）的情形。
该电子的运动轨迹
如图所示。
图中，圆
的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，圆弧
的半径仍为
，在D为原点、DC为x轴，AD为
轴的坐标系中，P点的坐标
为
这意味着，在范围
内，p点形成以D为圆心、
为半径的四分之一圆周
，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以
和
为圆心、
为半径的两个四分之一圆周
和
所围成的，其面积为
28．浙江省金华一中2010届高三12月联考如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。
在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场。
在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q（
）和初速为
的带电粒子。
已知重力加速度大小为g。
（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动。
求电场强度和磁感应强度的大小和方向。
（2）调节坐标原点。
处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示。
现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域?
并求出符合条件的磁场区域的最小面积。
解：
（1）由题目中“带电粒子从坐标原点O处沿y轴正方向进入磁场后，最终沿圆形磁场区域的水平直径离开磁场并继续沿x轴正方向运动”可知，带电微粒所受重力与电场力平衡。
设电场强度大小为E，由平衡条件得：
1分
∴
1分
电场方向沿
轴正方向
带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且圆运动半径r=R。
设匀强磁场的磁感应强度大小为B。
由牛顿第二定律得：
1分
∴
1分
磁场方向垂直于纸面向外 1分
（2）设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与
轴承夹角
，
则
满足0≤
，由于带电微粒最终将沿
轴正方向运动，
故B应垂直于
平面向外，带电微粒在磁场内做半径为
匀速圆周运动。
由于带电微粒的入射方向不同，若磁场充满纸面，
它们所对应的运动的轨迹如图所示。
2分
为使这些带电微粒经磁场偏转后沿
轴正方向运动。
由图可知，它们必须从经O点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场。
这样磁场边界上P点的坐标P（x，y）应满足方程：
，
，
所以磁场边界的方程为：
2分
由题中0≤
的条件可知，
以
的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹
即为所求磁场的另一侧的边界。
2分
因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆
与圆
的
交集部分（图中阴影部分）。
1分
由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为：
1分
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