上海专版高考数学分项版解析专题03三角函数与三角形文.docx
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上海专版高考数学分项版解析专题03三角函数与三角形文
专题03三角函数与三角形文
【2015/2016】
1.【2016高考上海文数】若函数
的最大值为5，则常数
______.
【答案】
【解析】试题分析：
，其中
，故函数
的最大值为
，由已知得，
，解得
.
【考点】三角函数
的图象和性质.
【名师点睛】解决三角函数性质问题的基本思路是通过化简得到
，结合角的范围求解..本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.
2．【2016高考上海文数】方程
在区间
上的解为___________.
【答案】
【考点】二倍角公式及三角函数求值.
【名师点睛】已知三角函数值求角的基本思路是通过化简得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解.本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.
3.【2016高考上海文数】已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.
【答案】
【解析】试题分析：
由已知可设
，∴
，
∴
，∴
【考点】正弦、余弦定理.
【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.
4.【2016高考上海文数】设
，
.若对任意实数x都有
，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（）.
（A）1（B）2（C）3（D）4
【答案】B
【考点】三角函数
【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到
的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.
5.【2015高考上海文数】已知函数
.若存在
，
，
，
满足
，且
，则
的最小值为.
【答案】8
【解析】因为函数
对任意
，
，
，
欲使
取得最小值，尽可能多的让
取得最高点，考虑
，
按下图取值满足条件，
所以
的最小值为8.
6.【2015高考上海文数】已知点
的坐标为
，将
绕坐标原点
逆时针旋转
至
，则点
的纵坐标为（）.
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.
【名师点睛】设直线
的倾斜角为
，
，则
，
，再利用三角函数定义、两点间的距离公式找关于
、
的等式求解结论.数学解题离不开计算，应仔细，保证不出错.
7.【2015高考上海文数】（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
如图，
三地有直道相通，
千米，
千米，
千米.现甲、乙两警员同时从
地出发匀速前往
地，经过
小时，他们之间的距离为
（单位：
千米）.甲的路线是
，速度为5千米/小时，乙的路线是
，速度为8千米/小时.乙到达
地后原地等待.设
时乙到达
地.
（1）求
与
的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当
时，求
的表达式，并判断
在
上得最大值是否超过3？
说明理由.
【答案】
（1）
，
千米；
（2）超过了3千米.
【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.
【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，
分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.
一．基础题组
1.【2014上海,文1】函数
的最小正周期是 .
【答案】
【解析】由题意
，
【考点】三角函数的周期.
2.【2014上海,文7】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.
【答案】
.
【解析】设圆锥的底面半径为
，母线长为
，由题意
，即
，母线与底面夹角为
，则
为，
.
【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.
3.【2014上海,文12】方程
在区间
上的所有解的和等于 .
【答案】
【考点】解三角方程.
4.【2013上海,文5】已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2＋ab＋b2－c2＝0，则角C的大小是______．
【答案】
【解析】a2＋ab＋b2－c2＝0
cosC＝
.
5.【2013上海,文9】若cosxcosy＋sinxsiny＝
，则cos（2x－2y）＝______.
【答案】
【解析】cosxcosy＋sinxsiny＝cos（x－y）＝
cos2（x－y）＝2cos2（x－y）－1＝
.
6.【2012上海,文4】若d＝（2,1）是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为__________（结果用反三角函数值表示）．
【答案】
【解析】设直线l的倾斜角为α，则
，
所以
.
7.【2012上海,文17】在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
【答案】C
8.【2011上海,文4】函数y＝2sinx－cosx的最大值为________．
【答案】
【解析】
9.【2011上海,文8】在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为______千米．
【答案】
【解析】
10.【2010上海,文18】若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
11.（2009上海,文10）函数
=2cos2x+sin2x的最小值是_________.
【答案】
【解析】
=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=
.
∵x∈R,∴sin（
）∈［-1,1］.
故该函数的最小值为
.
12.（2009上海,文13）已知函数
=sinx+tanx,项数为27的等差数列{an}满足an∈（
）,且公差d≠0.若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0,则当k=__________时,f（ak）=0.
【答案】14
13.【2007上海,文4】函数
的最小正周期
.
【答案】
【解析】
14.【2006上海,文6】函数
的最小正周期是_________.
【答案】π
【解析】函数
=
sin2x，它的最小正周期是π.
15.【2005上海,文5】函数
的最小正周期T=__________.
【答案】
【解析】
，得最小正周期为
【解后反思】三角函数的变换要注意变换的方向，消除差异，达到转化.
16.【2005上海,文6】若
，
，则
=__________.
【答案】
【解析】
，
，
.
【解后反思】在三角函数的公式运用过程中取决于满足运用公式的条件，已知三角函数值求同角的其它三角函数值时必须注意符号，否则就无所谓解决三角函数问题.
17.【2005上海,文10】在
中，若
，AB=5，BC=7，则AC=__________.
【答案】
18.【2005上海,文11】函数
的图象与直线
有且仅有两个不同的交点，则
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
从图象可以看出直线
有且仅有两个不同的交点时,
二．能力题组
1.【2014上海,文21】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在
两地连线上的定点
处建造广告牌
，其中
为顶端，
长35米，
长80米，设
在同一水平面上，从
和
看
的仰角分别为
.
（1）设计中
是铅垂方向，若要求
，问
的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后.
与铅垂方向有偏差，现在实测得
求
的长（结果精确到0.01米）？
【答案】
（1）
米；
（2）
米．
【解析】
【考点】三角函数的应用，解三角形．
2.（2009上海,文20）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=（a,b）,n=（sinB,sinA）,p=（b-2,a-2）.
（1）若m∥n,求证:
△ABC为等腰三角形;
（2）若m⊥p,边长c=2,∠C=
求△ABC的面积.
【答案】
（1）参考解析;
（2）
3.【2008上海,文18】（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分．
已知函数f（x）=sin2x，g（x）=cos
，直线
与函数
的图象分别交于M、N两点．
（1）当
时，求｜MN｜的值；
（2）求｜MN｜在
时的最大值．
【答案】
（1）
;
（2）
【解析】
（1）
…………….2分
………………………………5分
（2）
……...8分
…………………………….11分
∵
…………13分
∴｜MN｜的最大值为
.……………15分
4.【2007上海,文17】（本题满分14分）
在
中，
分别是三个内角
的对边.若
，
，求
的面积
.
【答案】
5.【2006上海,文17】（本题满分12分）
已知
是第一象限的角，且
，求
的值.
【答案】
【解析】
=
由已知可得sin
∴原式=
.
6.【2006上海,文18】（本题满分12分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的
处有一艘渔船遇险等待营救。
甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西
，相距10海里
处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往
处救援（角度精确到
）？
【答案】北偏东71°方向
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