高考数学专题14定积分求值问题黄金解题模板.docx
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高考数学专题14定积分求值问题黄金解题模板
专题14定积分求值问题
【高考地位】
定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.
【方法点评】
类型一利用微积分基本定理求定积分
使用情景：
一般函数类型
解题模板：
第一步计算函数
的定义域并求出函数
的导函数
；
第二步求方程
的根；
第三步判断
在方程的根的左、右两侧值的符号；
第四步利用结论写出极值.
例1
的值为（）
A．
B．
C．1D．2
【答案】D
【变式演练1】下列计算错误的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：
A选项，
，所以A正确；B选项，
，所以B正确；C选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C正确；D选项错误。
考点：
定积分的计算。
【变式演练2】若
则
的大小关系为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：
考点：
定积分运算
【变式演练3】
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
考点：
定积分的应用.
【变式演练4】若
，则
的值是___________．
【答案】
【解析】
试题分析：
由
，得
，所以
．
考点：
定积分的运算．
【变式演练5】
_____________．
【答案】
【解析】
试题分析：
由题意得
．
考点：
定积分的计算．
【变式演练6】设
若
，则
．
【答案】1
考点：
1．函数的表示；2．定积分运算．
【变式演练7】如图，阴影部分的面积是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：
面积为
．
考点：
定积分．
类型二利用定积分的几何意义求定积分
使用情景：
被积函数的原函数不易求出
解题模板：
第一步画出被积函数的图像；
第二步作出直线计算函数
所围成的图形；
第三步求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.
例2计算定积分
.
【答案】
.
考点：
定积分的计算．
【变式演练8】设
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：
故选A．
考点：
定积分．
【变式演练9】定积分
的值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：
令
则
则
故应选C．
考点：
定积分及运算．
【变式演练10】
______.
【答案】
【解析】
试题分析：
因为
，
，
等于以原点为圆心，以
为半径的圆的面积的四分之一，即为
，所以
，故答案为
.
考点：
1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.
【变式演练11】已知
，
展开式的常数项为15，则
___________
【答案】
【解析】
试题分析：
由
的展开式的通项公式为
，
令
，求得r=2，故常数项为
，可得a=1，
因此原式为
考点：
二项式定理；微积分基本定理
【变式演练12】已知数列
为等差数列，且
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】
考点：
等差数列性质及定积分．
类型三导数与定积分的综合应用
例3如图所示，抛物线
与
轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在
轴上.已知工业用地每单位面积价值为
元
，其它的三个边角地块每单位面积价值
元.
（1）求等待开垦土地的面积；
（2）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大.
【答案】
（1）
；
（2）点C的坐标为
.
考点：
1.定积分；2.函数的最值.
【变式演练13】给定可导函数
，如果存在
，使得
成立，则称
为函数
在区间
上的“平均值点”.
（1）函数
在区间
上的平均值点为；
（2）如果函数
在区间
上有两个“平均值点”，则实数
的取值范围是.
【答案】
（1）1；
（2）
结合图像不难得到
.
考点：
新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系
【变式演练14】已知函数
函数
（1）当
时,求函数
的表达式;
（2）若
函数
在
上的最小值是2,求
的值;
（3）在
（2）的条件下,求直线
与函数
的图象所围成图形的面积.
【答案】
（1）
；
（2）
；（3）
.
（2）∵由
（1）知当
时,
∴当
时,
当且仅当
时取等号.
∴函数
在
上的最小值是
∴依题意得
∴
.
（3）由
解得
∴直线
与函数
的图象所围成图形的面积
=
考点：
导数及函数单调性、定积分的应用.
【变式演练15】如下图，过曲线
：
上一点
作曲线
的切线
交
轴于点
，又过
作
轴的垂线交曲线
于点
，然后再过
作曲线
的切线
交
轴于点
，又过
作
轴的垂线交曲线
于点
，
，以此类推，过点
的切线
与
轴相交于点
，再过点
作
轴的垂线交曲线
于点
（
N
）．
（1）求
、
及数列
的通项公式；
（2）设曲线
与切线
及直线
所围成的图形面积为
，求
的表达式；（3）在满足
（2）的条件下,若数列
的前
项和为
，求证：
N
.
【答案】
（1）
，
，
；
（2）
；（3）见解析.
证法1：
（数学归纳法）
①当
时，显然
成立；
②假设
时，
成立，则当
时，
，
而
，
，
，
时，也成立，由①②知不等式
对一切
都成立.
证法2：
.
所以不等式
对一切
都成立.
证法3:
令
则
当
时,
∴函数
在
上单调递增.∴当
时,
.
∵
N
∴
即
.∴
.
∴不等式
对一切
N
都成立.
考点：
1、利用导数求切线方程；2、数列的运算；3、定积分计算图形面积.
【高考再现】
1.【2015高考湖南，理11】
.
【答案】
.
2．【2015高考天津，理11】曲线
与直线
所围成的封闭图形的面积为.
【答案】
【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组
得两曲线的交点坐标为
，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积
.
【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.
【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.
3.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．
【答案】
【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．
【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线
，
，
和曲线
所围成的曲边梯形的面积是
．
【反馈练习】
1．【安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟数学（理）试题】若
，
，
，则
的大小关系（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
2．【2018届江西省高三年级阶段性检测考试
（二）理科数学】
（）
A.7B.
C.
D.4
【答案】C
【解析】
.
故选：
C
3．【西藏自治区林芝市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题】如图所示，正弦曲线
，余弦曲线
与两直线
，
所围成的阴影部分的面积为（）
A.1B.
C.2D.
【答案】D
【解析】
，选D.
4．【贵州省铜仁市第四中学2017年高三适应性测试（理）数学试题】已知等比数列
，且
，则
的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由定积分的几何意义，
表示圆
在第一象限的部分与坐标轴所围成的扇形的面积，即
=4
，所以
.又因为
为等比数列，所以
.故选D.
5．【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考
（一）数学理试题】曲线
，直线
和
轴所围成的区域的面积是____________
【答案】2e﹣1．
6．【2018届江西省高三年级阶段性检测考试
（二）理科数学】由曲线
所围成图形的面积是
，则
__________．
【答案】1
【解析】由
，得图象的交点坐标为
，
所以曲线
所围成图形的面积是
，所以
故答案为：
1
点睛：
用定积分处理面积问题的方法：
牛顿-莱布尼茨定理，几何意义，奇偶性.
7．【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）试题】已知函数
，则
__________.
【答案】
【解析】由题意结合定积分的法则可得：
.
8．【2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学（理科）】
__________．
【答案】
9．【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试理科数学试题】如图所示，由直线
，
及
轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即
．类比之，若对
，不等式
恒成立，则实数
等于__________．
【答案】2
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