高考数学专题14定积分求值问题黄金解题模板.docx

1、高考数学专题14定积分求值问题黄金解题模板专题14 定积分求值问题【高考地位】定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.【方法点评】类型一 利用微积分基本定理求定积分使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；第二步 求方程的根；第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步 利用结论写出极值.例1 的值为（ ）A B C1 D2【答案】D【变式演练1】下列计算错误的是 （ ）A B C D【答案】D【解

2、析】试题分析：A选项，所以A正确；B选项，所以B正确；C选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C正确；D选项错误。考点：定积分的计算。【变式演练2】若则的大小关系为（ ）A B C D 【答案】B【解析】试题分析：考点：定积分运算【变式演练3】（ ）A B C D【答案】A考点：定积分的应用.【变式演练4】若，则的值是_【答案】【解析】试题分析：由，得，所以考点：定积分的运算【变式演练5】_【答案】【解析】试题分析：由题意得考点：定积分的计算【变式演练6】设若，则 【答案】1考点：1函数的表示；2定积分运算 【变式演练7】如图，阴影部分的面积是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析

3、：面积为考点：定积分类型二 利用定积分的几何意义求定积分使用情景：被积函数的原函数不易求出解题模板：第一步 画出被积函数的图像；第二步 作出直线计算函数所围成的图形；第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.例2 计算定积分.【答案】.考点：定积分的计算【变式演练8】设，则的值为（ ）A BC D【答案】A【解析】试题分析：,故选A考点：定积分【变式演练9】定积分的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：令,则,则,故应选C考点：定积分及运算【变式演练10】_.【答案】【解析】试题分析：因为， 等于以原点为圆心，以为半径的圆的面积的四分之一，即为，所以，故答案为.考点：1、定

4、积分的应用；2、定积分的几何意义. 【变式演练11】已知，展开式的常数项为15，则_【答案】【解析】试题分析：由的展开式的通项公式为，令，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为考点：二项式定理；微积分基本定理【变式演练12】已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）A B C D【答案】考点：等差数列性质及定积分类型三 导数与定积分的综合应用例3 如图所示，抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为元，其它的三个边角地块每单位面积价值元.（1）求等待开垦土地的面积；（2）

5、如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大.【答案】（1）；（2）点C的坐标为. 考点：1.定积分；2.函数的最值.【变式演练13】给定可导函数，如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“平均值点”.(1)函数在区间上的平均值点为；(2)如果函数在区间上有两个“平均值点”，则实数的取值范围是.【答案】(1)1；(2) 结合图像不难得到.考点：新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系【变式演练14】已知函数,函数（1）当时,求函数的表达式;（2）若,函数在上的最小值是2 ,求的值;（3）在（2）的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.【答案】（1）；（2）；（3）.（2）由（1）知当时

6、,当时, 当且仅当时取等号.函数在上的最小值是,依题意得. （3）由解得直线与函数的图象所围成图形的面积= 考点：导数及函数单调性、定积分的应用. 【变式演练15】如下图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）(1) 求、及数列的通项公式；(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N.【答案】(1) ，；(2) ；(3)见解析. 证法1：（数学归纳法）当时，显然成立；假设时

7、，成立，则当时，而，时，也成立，由知不等式对一切都成立. 证法2：.所以不等式对一切都成立. 证法3:令,则,当时, ,函数在上单调递增. 当时, .N, , 即.不等式对一切N都成立. 考点：1、利用导数求切线方程；2、数列的运算；3、定积分计算图形面积.【高考再现】1.【2015高考湖南，理11】 .【答案】.2【2015高考天津，理11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .【答案】【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积.【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定

8、积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.3.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线，和曲线所围成的曲边梯形的面积是【反馈练习】1【安徽省阜阳市临泉县第一中学201

9、8届高三上学期第二次模拟数学（理）试题】若，则的大小关系（ ）A. B. C. D. 【答案】D 2【2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二）理科数学】（ ）A. 7 B. C. D. 4【答案】C【解析】.故选：C3【西藏自治区林芝市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题】如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线， 所围成的阴影部分的面积为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D【解析】 ，选D.4【贵州省铜仁市第四中学2017年高三适应性测试（理）数学试题】已知等比数列，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由定积分的几何意义，表示圆 在第一象

10、限的部分与坐标轴所围成的扇形的面积，即=4 ，所以 .又因为为等比数列，所以 .故选D.5【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）数学理试题】曲线，直线和轴所围成的区域的面积是_【答案】2e1 6【2018届江西省高三年级阶段性检测考试（二）理科数学】由曲线所围成图形的面积是，则_【答案】1【解析】由，得图象的交点坐标为，所以曲线所围成图形的面积是，所以故答案为：1点睛：用定积分处理面积问题的方法：牛顿-莱布尼茨定理，几何意义，奇偶性.7【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）试题】已知函数，则_.【答案】【解析】由题意结合定积分的法则可得：.8【20172018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学（理科）】_【答案】 9【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试理科数学试题】如图所示，由直线， 及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即类比之，若对，不等式 恒成立，则实数等于_【答案】2