中考数学常考易错点 422 全等三角形.docx
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中考数学常考易错点422全等三角形
2019-2020年中考数学常考易错点4.2.2全等三角形
易错清单
1.两边和一角对应相等的两个三角形全等吗?
【例1】 已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2.
对于上述的两个判断,下列说法正确的是（ ）.
A.①正确,②错误B.①错误,②正确
C.①、②都错误D.①、②都正确
【解析】 由于△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则B1C1=B2C2,根据“边边边”定理,易得△A1B1C1≌△A2B2C2故①正确;若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则∠C1=∠C2,根据相似三角形的判定定理,易得△A1B1C1∽△A2B2C2.又因为△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等,所以△A1B1C1≌△A2B2C2,故②正确.
【答案】 D
【误区纠错】 在全等三角形的判定定理中,不能利用“SSA”判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
2.如何说明一条线段等于另两条线段之和.
【例2】 如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
（1）求证:
CE=CF;
（2）若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?
为什么?
【解析】
（1）由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.
（2）由
（1）,得CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.
【答案】
（1）在正方形ABCD中,
∵ BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴ △CBE≌△CDF（SAS）.
∴ CE=CF.
（2）GE=BE+GD成立.理由如下:
∵ 由
（1）,得△CBE≌△CDF,
∴ ∠BCE=∠DCF.
∴ ∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即 ∠ECF=∠BCD=90°.
又 ∠GCE=45°,
∴ ∠GCF=∠GCE=45°.
∵ CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴ △ECG≌△FCG（SAS）.
∴ GE=GF.
∴ GE=DF+GD=BE+GD.
【误区纠错】 在第
（2）问中不能通过截长或补短找出和GE相等的线段,从而通过全等证出关系是不是成立.
名师点拨
弄清全等形、全等三角形的概念,并能进行判断.
2.会利用“SAS、ASA、AAS、SSS、HL”证明三角形全等,能进行二次全等的证明,能利用全等思想来说明线段（或角）相等.
提分策略
1.全等三角形开放性问题.
由于判定全等三角形的方法很多,所以题目中常给出（有些是推出）两个条件,让同学们再添加一个条件,得出全等,再去解决其他问题.这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度.
【例1】 如图,在△ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是 .（不添加辅助线）
【解析】 由已知可证∠EDC=∠BDF,又DC=DB,因为三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等.故添加的条件是:
DE=DF或（CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB）.
【答案】
（1）添加的条件是:
DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）.
（2）在△BDF和△CDE中,
∴ △BDF≌△CDE.
2.全等三角形性质与判定的综合应用.
（1）解决全等三角形问题的一般思路:
①先用全等三角形的性质及其他知识,寻求判定一对三角形全等的条件;②再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题.即由已知条件（包含全等三角形）判定新三角形全等、相应的线段或角的关系;
（2）轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等;
（3）利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件,例如对顶角相等、互余、互补等.
【例2】 如图,△ABO与△CDO关于点O中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.
求证:
FD=BE.
【解析】 ∵ △ABO与△CDO关于点O中心对称,
∴ △ABO≌△CDO.
∴ OA=OC,OB=OD.
∵ AF=CE,
∴ OA-AF=OC-CE,即OF=OE.
∵ ∠FOD=∠EOB,
∴ △FOD≌△EOB.
∴ FD=BE.
专项训练
一、选择题
1.（2014·湖南益阳二模）如图,在正方形ABCD中,点E是CD边上一点,连接AE,交对角线BD于点F,连接CF,则图中全等三角形共有（ ）.
（第1题）
A.1对B.2对
C.3对D.4对
2.（2014·江苏南京二模）在△ABC中,∠ABC=30°,AB边长为6,AC边的长度可以在1,3,5,7中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（ ）.
A.3B.4
C.5D.6
3.（2013·江苏南京六合一模）如图,直线上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为（ ）.
（第3题）
A.3B.4
C.5D.7
二、填空题
4.（2013·安徽一模）如图,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,则四个结论正确的是 .（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①AP平分∠BAC;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.
（第4题）
三、解答题
5.（2014·山东泰安地区三模）如图,在△ABC中,D,E,F分别是各边的中点,AH是边BC上的高.那么,图中的∠DHF与∠DEF相等吗?
为什么?
（第5题）
6.（2014·山西大同二模）将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式,使点B,F,C,D在同一条直线上.
（1）求证:
AB⊥ED.
（2）若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明.
（第6题）
7.（2013·浙江锦绣育才教育集团一模）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的关系,并证明你的猜想.
（第7题）
【答案】
1.C [解析]由正方形对称性知:
△ABD≌△CBD;△AFD≌△CFD;△ABF≌△CBF.
2.B [解析]根据三角形构成的条件知AC取1,3,5,7均可以构成△ABC,且这些三角形互不全等.
3.D [解析]根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE,从而得到b的面积=a的面积+c的面积.
4.①②③④ [解析]首先根据角平分线上点的性质,推出①正确,然后通过求证△ARP和△ASP全等,推出②正确,再根据AQ=PQ,推出相关角相等,通过等量代换即可得∠QPA=∠PAR,即可推出③正确,依据等边三角形的性质和外角的性质推出∠PQS=∠B,便可推出结论④正确.
5.∠DHF=∠DEF.理由如下:
∵ AH⊥BC于点H,
又 D为AB的中点,
∴ ∠DAH=∠DHA,同理可证:
∠FAH=∠FHA.
∴ ∠DAH+∠HAF=∠DHA+∠AHF,
即∠DHF=∠DAF.
∵ E,F分别为BC,AC的中点,
即 EF∥AD且EF=AD.
∴ 四边形ADEF是平行四边形.
∴ ∠DAF=∠DEF.
∴ ∠DHF=∠DEF.
6.
（1）由已知,得Rt△ABC≌Rt△DEF.
∴ ∠A=∠D.
∵ AC⊥BD,
∴ ∠ACD=90°.
又 ∠DNC=∠ANP,
∴ ∠APN=90°.
∴ AB⊥ED.
（2）△ABC≌△DBP.理由如下:
由
（1）,得∠A=∠D,∠BPD=∠ACB=90°.
又 PB=BC,
∴ △ABC≌△DBP.
7.数量关系为BE=EC,位置关系是:
BE⊥EC.理由如下:
∵ △AED是直角三角形,∠AED=90°,且有一个锐角是45°,
∴ ∠EAD=∠EDA=45°.
∴ AE=DE.
∵ ∠BAC=90°,
∴ ∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°,
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°.
∴ ∠EAB=∠EDC.
∵ D是AC的中点,AC=2AB,∴ AD=AB=DC.
∴ △EAB≌△EDC.
∴ EB=EC,且∠AEB=∠CED.
∴ ∠DEC+∠BED=∠AED=∠BEC=90°.
2019-2020年中考数学常考易错点4.3等腰三角形与直角三角形
易错清单
1.运用等腰（等边）三角形的判定与性质、勾股定理解决有关计算与证明问题,需注意分类讨论思想的渗入.
【例1】 一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为（ ）.
【解析】 本题未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边4既可以是直角边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即4是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求解.
【答案】 D
2.两类特殊三角形的组合运用.
【例2】 （2014·山东威海）如图,有一直角三角形纸片ABC,边BC=6,AB=10,∠ACB=90°,将该直角三角形纸片沿DE折叠,使点A与点C重合,则四边形DBCE的周长为 .
【解析】 先由折叠的性质得AE=CE,AD=CD,∠DCE=∠A,进而得出,∠B=∠BCD,求得
=5,DE为△ABC的中位线,得到DE的长,再在Rt△ABC中,由勾股定理得到AC=8,即可得四边形DBCE的周长.
【答案】 ∵ 沿DE折叠,使点A与点C重合,
∴ AE=CE,AD=CD,∠DCE=∠A.
∴ ∠BCD=90°-∠DCE.
又 ∠B=90°-∠A,
∴ ∠B=∠BCD.
∴ BD=CD=AD=AB=5.
∴ DE为△ABC的中位线.
∵ BC=6,AB=10,∠ACB=90°,
∴ 四边形DBCE的周长为BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18.
【误区纠错】 本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用.本题中得到ED是△ABC的中位线关键.
3.勾股定理在折叠问题中的运用.
【例3】 （2014·湖北孝感）如图,已知矩形ABCD,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE,BE,若△ABE是等边三角形,则= .
【解析】 过E作EM⊥AB于点M,交DC于点N,根据矩形的性质得出DC=AB,DC∥AB,∠ABC=90°,设AB=AE=BE=2a,则BC==a,即MN=a,求出EN,根据三角形面积公式求出两个三角形的面积,即可得出答案.
【答案】 过E作EM⊥AB于点M,交DC于点N,
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ DC=AB,DC∥AB,∠ABC=90°.
∴ MN=BC.
∴ EN⊥DC.
∵ 延AC折叠B和E重合,△AEB是等边三角形,
∴ ∠EAC=∠BAC=30°.
【误区纠错】 本题考查了勾股定理,折叠的性质,矩形的性质,等边三角形的性质的应用,解此题的关键是求出两个三角形的面积.
名师点拨
1.掌握等腰三角形、直角三角形的概念并能做出判断.
2.会利用等腰（等边）三角形的性质和判定定理证明相关问题.
3.会利用直角三角形的性质与判定解决有关直角三角形的相关问题.
4.会利用HL及其他方法来证明直角三角形全等.
提分策略
1.等腰三角形的多解问题.
因为等腰三角形的边有腰与底之分,角有底角和顶角之分,等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况.故当题中条件给出不明确时,要分类讨论进行解题,才能避免漏解情况.
【例1】 若等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角为 .
【解析】
（1）若这个内角恰好是顶角,则顶角是50°;
（2）若这个内角是底角,则顶角=180°-2×50°=80°.
【答案】 50°或80°
【例2】 等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为 .
【解析】 当腰是6时,则另两边是4,6,且4+6>6,满足三边关系定理;
当底边是6时,另两边长是5,5,5+5>6,满足三边关系定理.
故该等腰三角形的另两边为:
6,4或5,5.
【答案】 6,4或5,5
2.等腰三角形的性质与判定的运用.
（1）通常用①利用线段的垂直平分线进行等线段转换,进而进行角度转换;②等边对等角说明两个角相等.
（2）要证明一个三角形是等腰三角形,必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有①通过等角对等边得两边相等;②通过三角形全等得两边相等;③利用垂直平分线的性质得两边相等.
（3）等边三角形是特殊的等腰三角形,其中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者构造全等.
【例3】 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.
（1）求证:
△ADE≌△BFE;
（2）连接EG,判断EG与DF的位置关系,并说明理由.
【解析】 先通过平行条件得到两对内错角相等,结合线段中点得到的线段相等,可证明两个三角形全等;由角相等的条件可证明△DFG是等腰三角形,再结合点E是DF的中点,根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论.
【答案】
（1）∵ AD∥BC,
∴ ∠ADE=∠BFE,∠DAE=∠FBE.
∵ E是AB的中点,
∴ AE=BE.
∴ △ADE≌△BFE.
（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF.
∵ ∠GDF=∠ADF,∠ADE=∠BFE,
∴ ∠GDF=∠BFE.
∴ GD=GF.由
（1）,得DE=EF,
∴ EG⊥DF.
3.定义、命题、定理、反证法等知识的区别与联系.
只有对一件事情作出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假（正误）判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.
【例4】 在下列命题中,其逆命题是真命题的是 .（只填写序号）
①同旁内角互补,两直线平行;
②如果两个角是直角,那么它们相等;
③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;
④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
【解析】 ①的逆命题:
两直线平行,同旁内角互补,正确;②的逆命题:
相等的两个角是直角,错误;③的逆命题:
如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等,错误,如:
22=（-2）2,但2≠-2;④的逆命题:
如果一个三角形是直角三角形,则它的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,但未说明C为直角的对边,故错误.
【答案】 ①
专项训练
一、选择题
1.（2014·江苏镇江外国语学校模拟）在△ABC中,∠C=90°,AC,BC的长分别是方程x2-7x+12=0的两根,△ABC内一点P到三边的距离都相等,则PC为（ ）.
（第2题）
2.（2014·山东济南二模）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D,E分别是AB,BC的中点,F在CA的延长线上,∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为（ ）.
A.22B.20
C.18D.16
二、填空题
3.（2014·江苏大丰模拟）已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角为 度.
4.（2013·内蒙古赤峰一模）等腰三角形的腰长为2,腰上的高为1,则它的底角等于 .
5.（2013·江苏通州兴仁中学一模）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的点C',那么△ADC'的面积是 .
（第5题）
三、解答题
6.（2014·辽宁鞍山5校联考）如图,△AOB和△COD均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,D在AB上.
（1）求证:
△AOC≌△BOD;
（2）若AD=1,BD=2,求CD的长.
（第6题）
7.（2014·安徽马鞍山实验学校模拟）如图,点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.
（1）求证:
AD=BD;
（2）E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:
AD+CD=DE;
（3）当BD=2时,AC的长为 .（直接填出结果,不要求写过程）
（第7题）
参考答案与解析
3.15或75 [解析]等腰三角形分钝角和锐角三角形两种情况讨论.
4.15°或75° [解析]分钝角三角形和锐角三角形讨论.
5.6cm2 [解析]根据勾股定理知AB=10,得AC'=4.再在直角三角形AC'D中运用勾股定理求得C'D=3,AD=5.
（注:
设CD=x,则C'D=x,AD=8-x）
6.
（1）如图,
（第6题）
∠1=90°-∠3,∠2=90°-∠3,
∴ ∠1=∠2.
又 OC=OD,OA=OB,
∴ △AOC≌△BOD.
（2）由△AOC≌△BOD,有AC=BD=2,∠CAO=∠DBO=45°,
∴ ∠CAB=90°.
7.
（1）∵ AC=BC,∠ACB=90°,
∴ ∠CAB=∠ABC=45°.
∵ ∠CAD=∠CBD=15°,
∴ ∠BAD=∠ABD=30°.
∴ AD=BD.
（2）在DE上截取DM=DC,连接CM.
（第7题
（1））
∵ AD=BD,AC=BC,DC=DC,
∴ △ACD≌△BCD.
∴ ∠ACD=∠BCD=45°.
∵ ∠CAD=15°,
∴ ∠EDC=60°.
∵ DM=DC,
∴ △CMD是等边三角形.
∴ ∠CDA=∠CME=120°,
∵ CE=CA,
∴ ∠E=∠CAD.
∴ △CAD≌△CEM,
∴ ME=AD.
∴ DA+DC=ME+MD=DE.
∴ AD+CD=DE.
（3） 延长CD交AB于点H.则CH⊥AB.
∵ ∠HBD=30°,BD=2,
（第7题
（2））
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