中考数学常考易错点 422 全等三角形.docx

1、中考数学常考易错点 422 全等三角形2019-2020年中考数学常考易错点 4.2.2 全等三角形易错清单1. 两边和一角对应相等的两个三角形全等吗?【例1】已知A1B1C1与A2B2C2的周长相等,现有两个判断:若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则A1B1C1A2B2C2;若A1=A2,B1=B2,则A1B1C1A2B2C2.对于上述的两个判断,下列说法正确的是().A. 正确, 错误 B. 错误, 正确C. 、都错误 D. 、都正确【解析】由于A1B1C1与A2B2C2的周长相等,若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则B1C1=B2C2,根据“边边边”定理,易得A1B1C1

2、A2B2C2故正确;若A1=A2,B1=B2,则C1=C2,根据相似三角形的判定定理,易得A1B1C1A2B2C2.又因为A1B1C1与A2B2C2的周长相等,所以A1B1C1A2B2C2,故正确.【答案】D【误区纠错】在全等三角形的判定定理中,不能利用“SSA”判定两个三角形全等, 判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.2. 如何说明一条线段等于另两条线段之和.【例2】如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)若点G在AD上,且GCE=45,则GE=BE+GD成立吗?为什么?【解析】

3、(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证CEBCFD,从而证出CE=CF.(2)由(1),得CE=CF,BCE+ECD=DCF+ECD,即ECF=BCD=90.又GCE=45,所以可得GCE=GCF,故可证得ECGFCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.【答案】(1)在正方形ABCD中,BC=CD,B=CDF,BE=DF,CBECDF(SAS).CE=CF.(2)GE=BE+GD成立.理由如下:由(1),得CBECDF,BCE=DCF.BCE+ECD=DCF+ECD,即ECF=BCD=90.又GCE=45,GCF=GCE=45.CE=CF,GC

4、E=GCF,GC=GC,ECGFCG(SAS).GE=GF.GE=DF+GD=BE+GD.【误区纠错】在第(2)问中不能通过截长或补短找出和GE相等的线段,从而通过全等证出关系是不是成立.名师点拨弄清全等形、全等三角形的概念,并能进行判断.2. 会利用“SAS、ASA、AAS、SSS、HL”证明三角形全等,能进行二次全等的证明,能利用全等思想来说明线段(或角)相等.提分策略1. 全等三角形开放性问题.由于判定全等三角形的方法很多,所以题目中常给出(有些是推出)两个条件,让同学们再添加一个条件,得出全等,再去解决其他问题.这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度.【例1】如图,在

5、ABC中,点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.添加一个条件,使得BDFCDE,并加以证明.你添加的条件是.(不添加辅助线)【解析】由已知可证EDC=BDF,又DC=DB,因为三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等.故添加的条件是:DE=DF或(CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB).【答案】(1)添加的条件是:DE=DF(或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB等).(2)在BDF和CDE中,BDFCDE.2. 全等三角形性质与判定的综合应用.(1)解决全等三角形问题的一般思路:先用全等三角形的性质及其他知识,寻求判定一对

6、三角形全等的条件;再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题.即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系;(2)轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等;(3)利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件,例如对顶角相等、互余、互补等.【例2】如图,ABO与CDO关于点O中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE.求证:FD=BE.【解析】ABO与CDO关于点O中心对称,ABOCDO.OA=OC,OB=OD.AF=CE,OA-AF=OC-CE,即OF=OE.FOD=EOB,FODEOB.FD=BE.专项训练一、 选择题1. (2014湖南益阳二模)如图,在正方形ABCD中

7、,点E是CD边上一点,连接AE,交对角线BD于点F,连接CF,则图中全等三角形共有().(第1题)A. 1对 B. 2对C. 3对 D. 4对2. (2014江苏南京二模)在ABC中,ABC=30,AB边长为6,AC边的长度可以在1,3,5,7中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是().A. 3 B. 4C. 5 D. 63. (2013江苏南京六合一模)如图,直线上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为().(第3题)A. 3 B. 4C. 5 D. 7二、 填空题4. (2013安徽一模)如图,ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PRAB于点R,P

8、SAC于点S,则四个结论正确的是.(把所有正确答案的序号都填写在横线上)AP平分BAC;AS=AR;QPAR;BRPQSP.(第4题)三、 解答题5. (2014山东泰安地区三模)如图,在ABC中,D,E,F分别是各边的中点,AH是边BC上的高.那么,图中的DHF与DEF相等吗?为什么?(第5题)6. (2014山西大同二模)将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式,使点B,F,C,D在同一条直线上.(1)求证:ABED.(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明.(第6题)7. (2013浙江锦绣育才教育集团一模)如图,在

9、RtABC中,BAC=90,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的关系,并证明你的猜想.(第7题)【答案】1. C解析由正方形对称性知:ABDCBD;AFDCFD;ABFCBF.2. B解析 根据三角形构成的条件知AC取1,3,5,7均可以构成ABC, 且这些三角形互不全等.3. D解析根据已知及全等三角形的判定可得到ABCCDE,从而得到b的面积=a的面积+c的面积.4. 解析首先根据角平分线上点的性质,推出正确,然后通过求证ARP和ASP全等,推出正确,再根据AQ=PQ,推出相关角

10、相等,通过等量代换即可得QPA=PAR,即可推出正确,依据等边三角形的性质和外角的性质推出PQS=B,便可推出结论正确.5. DHF=DEF.理由如下:AHBC于点H,又D为AB的中点,DAH=DHA,同理可证:FAH=FHA.DAH+HAF=DHA+AHF,即DHF=DAF.E,F分别为BC,AC的中点,即EFAD且EF=AD.四边形ADEF是平行四边形.DAF=DEF.DHF=DEF.6. (1)由已知,得RtABCRtDEF.A=D.ACBD,ACD=90.又DNC=ANP,APN=90.ABED.(2)ABCDBP.理由如下:由(1),得A=D,BPD=ACB=90.又PB=BC,AB

11、CDBP.7. 数量关系为BE=EC,位置关系是:BEEC.理由如下:AED是直角三角形,AED=90,且有一个锐角是45,EAD=EDA=45.AE=DE.BAC=90,EAB=EAD+BAC=90+45=135,EDC=ADC-EDA=180-45=135.EAB=EDC.D是AC的中点,AC=2AB,AD=AB=DC.EABEDC.EB=EC,且AEB=CED.DEC+BED=AED=BEC=90.2019-2020年中考数学常考易错点 4.3 等腰三角形与直角三角形易错清单1. 运用等腰(等边)三角形的判定与性质、勾股定理解决有关计算与证明问题,需注意分类讨论思想的渗入.【例1】一直角

12、三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为().【解析】本题未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边4既可以是直角边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即4是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求解.【答案】D2. 两类特殊三角形的组合运用.【例2】(2014山东威海)如图,有一直角三角形纸片ABC,边BC=6,AB=10,ACB=90,将该直角三角形纸片沿DE折叠,使点A与点C重合,则四边形DBCE的周长为.【解析】先由折叠的性质得AE=CE,AD=CD,DCE=A,进而得出,B=BCD,求得=5,DE为ABC的中位线,得到DE的长,再在RtABC中,由勾股定理得到

13、AC=8,即可得四边形DBCE的周长.【答案】沿DE折叠,使点A与点C重合,AE=CE,AD=CD,DCE=A.BCD=90-DCE.又B=90-A,B=BCD.BD=CD=AD=AB=5.DE为ABC的中位线.BC=6,AB=10,ACB=90,四边形DBCE的周长为BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18.【误区纠错】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用.本题中得到ED是ABC的中位线关键.3. 勾股定理在折叠问题中的运用.【例3】(2014湖北孝感)如图,已知矩形ABCD,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE,BE,若ABE是等边三角形,则=.【解析】过E作EMAB于

14、点M,交DC于点N,根据矩形的性质得出DC=AB,DCAB,ABC=90,设AB=AE=BE=2a,则BC=a,即MN=a,求出EN,根据三角形面积公式求出两个三角形的面积,即可得出答案.【答案】过E作EMAB于点M,交DC于点N,四边形ABCD是矩形,DC=AB,DCAB,ABC=90.MN=BC.ENDC.延AC折叠B和E重合,AEB是等边三角形,EAC=BAC=30.【误区纠错】本题考查了勾股定理,折叠的性质,矩形的性质,等边三角形的性质的应用,解此题的关键是求出两个三角形的面积.名师点拨1. 掌握等腰三角形、直角三角形的概念并能做出判断.2. 会利用等腰(等边)三角形的性质和判定定理证

15、明相关问题.3. 会利用直角三角形的性质与判定解决有关直角三角形的相关问题.4. 会利用HL及其他方法来证明直角三角形全等.提分策略1. 等腰三角形的多解问题.因为等腰三角形的边有腰与底之分,角有底角和顶角之分,等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况.故当题中条件给出不明确时,要分类讨论进行解题,才能避免漏解情况.【例1】若等腰三角形的一个内角为50,则它的顶角为.【解析】(1)若这个内角恰好是顶角,则顶角是50;(2)若这个内角是底角,则顶角=180-250=80.【答案】50或80【例2】等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为.【解析】当腰是6时,则另两边是4,6,且4+6

16、6,满足三边关系定理;当底边是6时,另两边长是5,5,5+56,满足三边关系定理.故该等腰三角形的另两边为:6,4或5,5.【答案】6,4或5,52. 等腰三角形的性质与判定的运用.(1)通常用利用线段的垂直平分线进行等线段转换,进而进行角度转换;等边对等角说明两个角相等.(2)要证明一个三角形是等腰三角形,必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有通过等角对等边得两边相等;通过三角形全等得两边相等;利用垂直平分线的性质得两边相等.(3)等边三角形是特殊的等腰三角形,其中隐含着三边相等和三个角都等于60的结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者构造全等.【例3】如图,在四边形ABCD中

17、,ADBC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且GDF=ADF.(1)求证:ADEBFE;(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系,并说明理由.【解析】先通过平行条件得到两对内错角相等,结合线段中点得到的线段相等,可证明两个三角形全等;由角相等的条件可证明DFG是等腰三角形,再结合点E是DF的中点,根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论.【答案】(1)ADBC,ADE=BFE,DAE=FBE.E是AB的中点,AE=BE.ADEBFE.(2)EG与DF的位置关系是EGDF.GDF=ADF,ADE=BFE,GDF=BFE.GD=GF.由(1),得DE=EF,E

18、GDF.3. 定义、命题、定理、反证法等知识的区别与联系.只有对一件事情作出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.【例4】在下列命题中,其逆命题是真命题的是.(只填写序号)同旁内角互补,两直线平行;如果两个角是直角,那么它们相等;如果两个实数相等,那么它们的平方相等;如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.【解析】的逆命题:两直线平行,同旁内角互补,正确;的逆命题:相等的两个角

19、是直角,错误;的逆命题:如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等,错误,如:22=(-2)2,但2-2;的逆命题:如果一个三角形是直角三角形,则它的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,但未说明C为直角的对边,故错误.【答案】专项训练一、 选择题1. (2014江苏镇江外国语学校模拟)在ABC中,C=90,AC,BC的长分别是方程x2-7x+12=0的两根,ABC内一点P到三边的距离都相等,则PC为().(第2题)2. (2014山东济南二模)如图,在RtABC中,BAC=90,D,E分别是AB,BC的中点,F在CA的延长线上,FDA=B,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为().A.

20、 22 B. 20C. 18 D. 16二、 填空题3. (2014江苏大丰模拟)已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半,则底角为度.4. (2013内蒙古赤峰一模)等腰三角形的腰长为2,腰上的高为1,则它的底角等于.5. (2013江苏通州兴仁中学一模)如图,在RtABC中,C=90,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的点C,那么ADC的面积是.(第5题)三、 解答题6. (2014辽宁鞍山5校联考)如图,AOB和COD均为等腰直角三角形,AOB=COD=90,D在AB上.(1)求证:AOCBOD;(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.(第6题)7

21、. (2014安徽马鞍山实验学校模拟)如图,点D为等腰直角ABC内一点,CAD=CBD=15.(1)求证:AD=BD;(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;(3)当BD=2时,AC的长为.(直接填出结果,不要求写过程)(第7题)参考答案与解析3. 15或75解析等腰三角形分钝角和锐角三角形两种情况讨论.4. 15或75解析分钝角三角形和锐角三角形讨论.5. 6cm2解析根据勾股定理知AB=10,得AC=4. 再在直角三角形ACD中运用勾股定理求得CD=3,AD=5.(注:设CD=x,则CD=x,AD=8-x)6. (1)如图,(第6题)1=90-3,2=90-3,

22、1=2.又OC=OD,OA=OB,AOCBOD.(2)由AOCBOD,有AC=BD=2,CAO=DBO=45,CAB=90.7. (1)AC=BC,ACB=90,CAB=ABC=45.CAD=CBD=15,BAD=ABD=30.AD=BD.(2)在DE上截取DM=DC,连接CM.(第7题(1)AD=BD,AC=BC,DC=DC,ACDBCD.ACD=BCD=45.CAD=15,EDC=60.DM=DC,CMD是等边三角形.CDA=CME=120,CE=CA,E=CAD.CADCEM,ME=AD.DA+DC=ME+MD=DE.AD+CD=DE.(3)延长CD交AB于点H.则CHAB.HBD=30,BD=2,(第7题(2)