人教版八年级下册数学 第19章《一次函数》讲义 第19讲一次函数的图象及性质1有答案学习文档.docx

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第19讲一次函数的图象及性质

第一部分知识梳理

知识点一：

一次函数（正比例）的定义

（1）形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.

因为当b=0时，y=kx，那么y叫做x的正比例函数，

所以“正比例函数是特殊的一次函数”。

（2）正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,）

上加下减，左加右减

知识点二：

正比例函数的图象及性质

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：

正比例函数一般形式y=kx（k不为零）

k不为零；

x指数为1；

b取零

当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

（1）解析式：

y=kx（k是常数，k≠0）

（2）必过点：

（0，0）、（1，k）

（3）走向：

k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

（4）增减性：

k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

（5）倾斜度：

|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

知识点三：

一次函数的图象及性质

一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.

注：

一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）

k不为零；

x指数为1；

b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（－

，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.

（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：

y=kx+b（k、b是常数，k

0）

（2）必过点：

（0，b）和（-

，0）

（3）走向：

k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

直线经过第一、二、三象限

直线经过第一、三、四象限

直线经过第一、二、四象限

直线经过第二、三、四象限

（4）增减性：

k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：

|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移：

当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

知识点四：

函数图象与系数的关系

一次

函数

，

符号

图象

性质

随

的增大而增大

随

的增大而减小

第二部分考点精讲精练

考点1、一次函数（正比例）的定义

例1、在糖水中继续放入糖x（g）、水y（g），并使糖完全溶解，如果甜度保持不变，那么y与x的函的函数关系一定是（）

A、正比例函数B、反比例函数

C、图象不经过原点的一次函数D、二次函数

例2、直角三角形两个锐角∠A与∠B的函数关系是（）

A、正比例函数B、一次函数C、反比例函数D、二次函数

例3、若y=（m－3）x+1是一次函数，则（）

A、m=3B、m=－3C、m≠3D、m≠－3

例4、下列问题中，是正比例函数的是（）

A、矩形面积固定，长和宽的关系

B、正方形面积和边长之间的关系

C、三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系

D、匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系

例5、若函数y=－2xm+2+n－2是正比例函数，则m的值是_____，n的值为_____．

例6、我们知道，海拔高度每上升1km，温度下降6℃．某时刻测量我市地面温度为20℃．设高出地面xkm处的温度为y℃，则y与x的函数关系式为，y_____x的一次函数（填“是”或“不是”）．

例7、已知y=（k－1）xIkI+（k2－4）是一次函数．

（1）求k的值；

（2）求x=3时，y的值；（3）当y=0时，x的值．

例8、红星机械厂有煤80吨，每天需烧煤5吨，求工厂余煤量y（吨）与烧煤天数x（天）之间的函数表达式，指出y是不是x的一次函数，并求自变量x的取值范围．

例9、

举一反三：

1、下列函数中，是一次函数的有（）

A、

B、X－1=0C、y=2（x－1）D、y=x2+1

2、y=（m－1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（）

A、1B、－1C、0或－1D、1或－1

3、若函数y=（k－1）x+k2－1是正比例函数，则k的值是（　　）

A、－1B、1C、－1或1D、任意实数

4、当自变量x=时，正比例函数y=（n+2）xn的函数值为3．

5、已知函数y=3x+1，当自变量增加3时，相应的函数值增加______。

6、

当

时，函数值y是多少？

7、

考点2、正比例函数的图象及性质

例1、函数y=|2x|的图象是（）

例2、

（1）画出函数y=－x的图象；

例3、已知正比例函数y=（m－1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（）

A、m＜1B、m＞1C、m＜2D、m＞0

例4、已知正比例函数y=kx（k≠0），函数值随x的增大而增大，则一次函数y=－kx+k的图象大致是（）

例5、已知函数y=（3k－1）x，若y随x的增大而增大，则k的取值范围为．

例6、若p1（x1，y1）p2（x2，y2）是正比例函数y=－6x的图象上的两点，且x1＜x2，则y1，y2的大小关系：

y1y2．

例7、已知正比例函数y=（m－1）x的函数图象有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2．

（1）求m的取值范围；

（2）当m取最大整数时，画出该函数图象．

例8、在物理学中，重力的表达关系式是G=mg（G代表重力，g代表重力常数10，m代表物体的质量）

（1）在这个正比例函数表达式中，是自变量，是因变量．

（2）若一个物体的重力为100N，它的质量是kg

（3）若甲乙两个物体总质量为9kg，乙的质量是甲的2倍，那么甲物体受到的重力是多少？

举一反三：

1、如图，函数y=－x（x＜0）的图象是（）

2、已知函数y=x；y=－2x．y=

x，y=3x．

（1）在同一坐标系内画出函数的图象．

（2）探索发现：

观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的位置关系有何变化？

（3）灵活运用：

已知正比例函数y1=k1x；y2=k2x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1与k2的大小关系为．

3、下列关于正比例函数y=3x的说法中，正确的是（）

A、当x=3时，y=1B、它的图象是一条过原点的直线

C、y随x的增大而减小D、它的图象经过第二、四象限

4、将2×2的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上．若直线y=kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围是。

5、正比例函数y=（2a－1）x的图象经过第二、四象限，那么a的取值范围是．

6、若点M（1，k）、N（

，b）都在正比例函数y=－2009x的图象上，则k与b的数量关系是．

7、已知y与x成正比例函数，当x=1时，y=2．

求：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）求当x=－1时时的函数值；

（3）如果当y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．

考点3、一次函数的图象及性质

例1、在同一直角坐标系上画出函数y=2x，y=2x－3，y=2x+3的图象，并指出它们的特点．

例2、点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映面积S与x之间的函数关系式的图象是（）

例3、若式子

有意义，则一次函数y=（1-k）x+k-1的图象可能是（）

例4、一次函数y=kx+b的图象如图所示，则当x的取值范围是时，能使kx+b＞0．

例5、复习课中，教师给出关于x的函数y=-2mx+m－1（m≠0）．学生们在独立思考后，给出了5条关于这个函数的结论：

①此函数是一次函数，但不可能是正比例函数；

②函数的值y随着自变量x的增大而减小；

③该函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上；

④若函数图象与x轴交于A（a，0），则a＜0.5；

⑤此函数图象与直线y=4x-3、y轴围成的面积必小于0.5．

对于以上5个结论是正确有（）个．

A、4B、3C、2D、0

例6、如图，在平面直角坐标系中，直线y=

x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（1，m）在△AOB的形内（不包含边界），则m的取值范围是．

例7、作出函数y=

x－4的图象，并回答下面的问题：

（1）求它的图象与x轴、y轴所围成图形的面积；

（2）求原点到此图象的距离．

例8、已知一次函数y=（2m+4）x+（3－n），

求：

（1）当m是什么数时，y随x的增大而增大？

（2）当n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？

（3）m，n为何值时，函数图象过原点？

例9、已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=5，0为坐标原点，设△OPA的面积为S．

（1）求S关于x的函数解析式；

（2）求x的取值范围；（3）当S=4时，求P点的坐标．

举一反三：

1、若k≠0，b＜0，则y=kx+b的图象可能是（）

2、在一次函数y=2ax－a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（）

3、如图是y=kx+b的图象，则b=       ，与x轴的交点坐标为        ，y的值随x的增大而      ．

4、如图，已知函数y=－2x+4，观察图象回答下列问题：

（1）x时，y＞0；

（2）x时，y＜0；

（3）x时，y=0；（4）x时，y＞4．

（3）（4）

5、对于某个一次函数，当x的值减小1个单位，y的值增加2个单位，则当x的值增加2个单位时，y的值将（）

A、增加4个单位B、减小4个单位C、增加2个单位D、减小2个单位

6、将一次函数y=－2x+6的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数表达式为y=－2x．

7、画出函数y=2x+6的图象，利用图象：

①求方程2x+6=0的解；

②求不等式2x+6＞0的解；

③若－1≤y≤3，求x的取值范围．

7、已知一次函数y=（2m+3）x+m－1，

（1）若函数图象经过原点，求m的值；

（2）若函数图象在y轴上的截距为-3，求m的值；

（3）若函数图象平行于直线y=x+1，求m的值；

（4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；

（5）该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．

8、如图点P（x，y）是第一象限内一个动点，且在直线y=－2x+8上，直线与x轴交于点A．

（1）当点P的横坐标为3时，△APO的面积为多少？

（2）设△APO面积为S，用含x的解析式表示S，并写出x的取值范围．

考点4、函数图象与系数的关系

例1、已知一次函数y=kx+b的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（）

A、k＞1，b＜0B、k＞1，b＞0C、k＞0，b＞0D、k＞0，b＜0

例2、点M（k－1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k－1）x+k的图象不经过第象限

例3、一次函数y=（2a+4）x－（3－b），当a、b为何值时

（1）y随x的增大而增大； 

（2）图象与y轴交在x轴上方； 

（3）图象过原点。

例4、已知a、b、c为非零实数，且满足

则一次函数y=kx+（1+k）的图象一定经过第象限．

例5、直线l：

y=（m-3）x+n-2（m，n为常数）的图象如图所示，化简：

例6、已知一次函数y=（3m－8）x+1－m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数．

（1）求m的值；

（2）当x取何值时，0＜y＜4？

举一反三：

1、已知直线y=（m－3）x－3m+1不经过第一象限，则m的取值范围是（　）

A、m≥

B、m≤

C、

＜m＜3D、

≤m≤3

2、如果一次函数y=（m－3）x+m－2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为．

3、关于一次函数y=-2x+2有结论：

①当x＞1时，y＜0；②图象经过第一、二、三象限；③图象经过点（－1，4）；④图象可以由函数y=－2x的图象向上平移2个单位得到．其中正确的结论有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

4、在平面直角坐标系中，已知直线y=mx+n（m＜0，n＞0），若点A（－2，y1）、（－3，y2）、C（1，y3）在直线y=mx+n上，则y1、y2、y3的大小关系为：

______。

5、已知一次函数y=（6+3m）x+（n－4）．

（1）当m、n为何值时，y随x的增大而减小？

（2）当m、n为何值时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？

（3）当m、n为何值时，函数图象经过原点？

第三部分课堂小测

1、函数y=（k2－1）x+3k是一次函数，则k的取值范围是（）

A、k≠－1B、k≠1C、k≠±1D、k为一切

2、若2y＋1与x－5成正比例，则（　　）

A、y是x的一次函数B、y与x没有任何函数关系

C、y是x的函数，但不是一次函数D、y是x的正比例函数

3、根据图中的程序，当输入数值x为－2时，输出数值y为______。

4、如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）

A、m＞0，n＞0B、m＞0，n＜0

C、m＜0，n＞0D、m＜0，n＜0

5、已知在函数y=kx+b，其中常数k＞0、b＜0，那么这个函数的图象不经过的象限是（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

6、对于一次函数y=－2x+4，下列结论错误的是（）

A、若两点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2

B、函数的图象不经过第三象限

C、函数的图象向下平移4个单位长度得y=－2x的图象

D、函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）

7、已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=_____，该函数的解析式为______．

8、如果m＜－2，那么正比例函数y=（m+2）x的图象经过第象限．

9、关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是．

10、在一次函数y=（1－k）x－1中，函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的k的值：

（写一个即可）

11、已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所有可能取得的整数值为　　　　． 

12、写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例函数？

（1）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y（元）与字数x（个）之间的函数关系；

（2）地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下降5℃，则气温y（℃）与高度x（km）的关系；

（3）圆面积y（cm2）与半径x（cm）的关系．

13、在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们有什么关系：

（1）y=－2x；

（2）y=－2x－4．

14、已知y－2与3x－4成正比例函数关系，且当x=2时，y=3．

（1）写出y与x之间的函数解析式；

（2）若点P（a，－3）在这个函数的图象上，求a的值；

（3）若y的取值范围为－1≤y≤1，求x的取

15、画出函数y=2x+4的图象，利用图象：

（1）求方程2x+4=0的解；

（2）求不等式2x+4＜0的解；

（3）若－2≤y≤6，求x的取值范围．

16、已知函数y=（2m－2）x+m+1，

（1）m为何值时，图象过原点．

（2）已知y随x增大而增大，求m的取值范围．

（3）函数图象与y轴交点在x轴上方，求m取值范围．

（4）图象过二、一、四象限，求m的取值范围．

17、已知y+a与x－b成正比例（其中a、b都是常数）．

（1）试说明y是x的一次函数；

（2）如果x=－1时，y=－15；x=7时，y=1，求这个一次函数的解析式．

18、一次函数y=（2a+4）x－（3－b），当a，b为何值时：

（1）y与x的增大而增大；

（2）图象经过二、三、四象限；

（3）图象与y轴的交点在x轴上方；

（4）图象过原点．

第四部分提高训练

1、[a，b]为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m-2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程

的解为。

2、定义运算*为：

如：

1*（-2）=-1×（-2）=2，则函数y=2*x的图象大致是（）

3、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k1x、y=k2x、y=k3x、y=k4x的图象分别为l1、l2、l3、l4，则下列关系中正确的是（）

A．k1＜k2＜k3＜k4B．k2＜k1＜k4＜k3

C．k1＜k2＜k4＜k3D．k2＜k1＜k3＜k4

4、在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线

上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标．

5、阅读材料：

在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x1，0），B（x2，0）的距离记作|AB|=|x1-x2|，如果A（x1，y1），B（x2，y2）是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间距离．

如图，过A，B分别向x轴，y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1（x1，0），N1（0，y1），M2（x2，0），N2（0，y2），直线AN1交BM2于Q点，在Rt△ABQ中，|AB|2=|AQ|2+|QB|2．

∵|AQ|=|M1M2|=|x2-x1|，|QB|=|N1N2|=|y2-y1|，∴|AB|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2．

由此得任意两点[A（x1，y1），B（x2，y2）]间距离公式为：

（1）直接应用平面内两点间距离公式计算，点A（1，－3），B（－2，1）之间的距离为______；

（2）平面直角坐标系中的两点A（1，3）、B（4，1），P为x轴上任一点，当PA+PB最小时，直接写出点P的坐标为______，PA+PB的最小值为______；

（3）应用平面内两点间距离公式，求代数式

的最小值．

第五部分课后作业

1、下列问题中，两个变量成正比例关系的是（）

A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高

B、等边三角形的面积与它的边长

C、长方形的长确定，它的周长与宽

D、长方形的长确定，它的面积与宽

2、下列函数y=

x，y=2x－1，y=

，y=2－3x中，是一次函数的有（）

A、4个B、3个C、2个D、1个

3、函数y=（a+1）xa－1是正比例函数，则a的值是（　　）

A、2B、－1C、2或－1D、－2

4、已知正比例函数y=（2t－1）x的图象上一点（x1，y1），且x1y1＜0，x1+y1＞0，那么t的取值范围是（）

A、t＜0.5B、t＞0.5C、t＜0.5或t＞0.5D、不确定

5、下列语句中，关于函数y=|x－1|的图象的描述正确的是（）

A、y随x的增大而增大B、函数图象没有最低点

C、函数图象关于直线x=1对称D、图象不经过第二象限

6、关于一次函数y=－2x+b（b为常数），下列说法正确的是（）

A、y随x的增大而增大B、当b=4时，直线与坐标轴围成的面积是4

C、图象一定过第一、三象限D、与直线y=3-2x相交于第四象限内一点

7、函数y=（2－k）x是正比例函数，则k的取值范围是_____

8、 一次函数S=－t+4的一次项系数是_______，常数项是_______． 

9、函数y=5x的图象经过______象限，函数图象从左往右呈______趋势，y随x的增大而______；

函数y=-5x的图象经过第______象限，函数图象从左往右呈______趋势，y随x的增大而______．

10、已知，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，2），且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：

．

11、一次函数y=mx+n的图象如图所示，则代数式|m+n|－|m－n|化简后的结果为．

12、如果一次函数y=（2－m）x＋m-3的图象经过第二、三、四象限，那么m的取值范围是________

13、

14、如图，一次函数y=（m－3）x－m+1的图象分别与x轴，y轴的负半轴相交于A、B．

（1）求m的取值范围；

（2）若该一次函数向上平移2个单位就通过原点，求m的值．

15、

（1）在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=2x，y=2x－1，y=2x+3的图象．

（2）直线y=2x，y=2x－1，y=2x+3具有怎样的位置关系？

直线y=2x如何运动得到直线y=2x－1，如何运动得到直线y=2x+3？

（3）一次函数y=2x，y=2x－1，y=2x+3的关系式有什么共同特点？

（4）由此你能得到什么结论？

16、如图：

直线L是某一次函数的图象，观察图象，回答下列问题：

求：

（1）当x取哪些值时，函数值y＜0；

（2）当x取哪些值时，函数值y≥4；

（3）当x取哪些值时，函数值0＜y＜4．

17、若直线y=

x+2分别交x轴、y轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，且S△ABC=6．

（1）求点B和P的坐标．

（2）过点B画出直线BQ∥AP，交y轴于点Q，并直接写出点Q的坐标．

18、制动距离是汽车处于某一时速的情况下，从开始刹车制动到汽车完全静止时，车辆所开过的路程，对某辆汽车进行测试时，汽车的行驶速度与汽车的制动距离的数据如表所示

（1）该汽车的制动距离s是变量还是常量？

（2）若s是v的一次函数，求s关于v的函数解析式。

参考答案

第19讲一次函数的图象及性质

第二部分考点精讲精练

考点1、一次函数（正比例）的定义

例1、A

例2、B

例3、C

例4、D

例5、－1；2

例6、y=－6x+20；是

例7、

例8、

例9、

举一反三：

1、C

2、B

3、A

4、1

5、9

6、

7、

考点2、正比例函数的图象及性质

例1、C

例2、

例3、A

例4、A

例5、

例6、y1

y2

例7、

例8、

举一反三：

1、C

2、

3、B

4、

5、

6、

7、

考点3、一次函数的图象及性质

例1、

例2、C

例3、C

例4、

例5、D

例6、

例7、

例8、

例9、

举一反三：

1、B

2、B

3、

4、

5、B