行列式习题及答案.docx
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行列式习题及答案
行列式习题及答案
【篇一：
上海版教材矩阵与行列式习题（有答案）】
lass=txt>姓名成绩
一、填空题
cos
1.行列式
?
3
sincos
?
6
sinac
?
3bd
?
6
的值是.
2.行列式
（a,b,c,d?
{?
1,1,2}）的所有可能值中，最大的是.
?
2x?
0?
3.将方程组?
3y?
z?
2写成系数矩阵形式为.
?
5x?
y?
3?
4.若由命题a:
“
2x
31-x2
0”能推出命题b:
“x?
a”，则a的取值范围是．
?
a1x?
b1y?
c1
5.若方程组?
的解为x?
1,y?
2，则方程组
ax?
by?
c?
222?
2b1x?
5a1y?
3c1?
0
的解为x?
，y?
.?
2bx?
5ay?
3c?
022?
2
6.方程2x
4
x2?
0的解集为.
?
39
?
2
x1y1x3y3
?
4
x1y1x2y2
7.把
x2y2x3y3
表示成一个三阶行列式为.8.若?
abc的三个顶点坐标为a（1,?
2）,b（?
2,3）,c（?
4,?
5），其面积为.
2x
9.在函数f?
x?
?
?
x
1?
x2
?
1
x中x3的系数是x
1
10.若执行如图1所示的框图，输入x1?
1,x2?
2,x3?
4,x4?
8,则输出的数等于
1
11.矩阵的一种运算?
?
?
ab?
?
x?
?
ax?
by?
?
ab?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下（x,y）?
?
?
?
?
?
?
?
cd?
?
y?
?
cx?
dy?
?
cd?
?
1a?
?
?
的作用下变换成曲线x?
y?
1?
0，则a?
b的b1?
?
变换成点（ax?
by,cx?
dy），若曲线x?
y?
1?
0在矩阵?
?
值为.
12.在集合?
1,2,3,4,5?
中任取一个偶数a和奇数b构成以原点为起点的向量?
?
?
a,b?
.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则
m
?
n
二.选择题
13.系数行列式d?
0是三元一次方程组无解的（）a.充分非必要条件b.必要非充分条件
c.充分必要条件d.既非充分也非必要条件14.下列选项中错误的是（）.a.
abc
cac
bd
d
?
?
ca
d
db
b.
abc
d
?
dc
ba
c.
a?
3cb?
3d
?
ac
bd
d.
?
?
?
a?
c
?
b?
d
15.若a,b,c表示?
abc的三边长，
aa2
且满足b
a?
b?
ca?
b?
c?
0，a?
b?
c
b2c
2
c
则?
abc是（）.
a.等腰三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d.等边三角形16.右边（图2）的程序框图输出结果s?
（）a．20b.35c.40d.45
2
图2
三、解答题：
1?
|x|?
5?
1?
?
m
x?
217.已知p：
矩阵?
|x|?
1的某个列向量的模不小于，行列式q：
2?
01?
余子式的值不小于2.若p是q成立的充分条件，求实数m的取值范围.．．．．
18.已知等比数列{an}的首项a1?
1，公比为q，
（1）求二阶行列式
?
10?
2
4
?
3中元素?
1的代数1
a1a2
a3a4
的值；
（2）试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组?
?
a1x?
a3y?
3
何时无解，何时有无穷多解？
?
a2x?
a4y?
?
2
1
19.
已知函数f（x）?
0
sinxsinx0
xsinx0
的定义域为?
0,
2m
?
?
?
，最大值为4.试求函数g（x）?
msinx?
2cosx?
2?
?
（x?
r）的最小正周期和最值．
3
20.将等差数列an?
2n?
1（n?
n）中n2个项依次排列成下列n行n列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为x1,划去x1所在的行与列,将剩下元素按原来得位置关系组成（n-1）行（n-1）列方阵,任取其中一元素x2,划去x2所在的行与列?
将最后剩下元素记为xn,记sn?
x1?
x2?
?
x
n，求lim
*
n?
?
sn
的值。
32
2n?
n
35?
1
?
2n?
32n?
5?
2n?
1
?
4n?
14n?
34n?
5?
?
?
?
?
?
2n2?
2n?
12n2?
2n?
3?
?
?
2n?
1?
?
?
4n?
1?
?
6n?
1?
?
?
?
?
?
2n2?
1?
?
21.按程序框图3，可以打印出一个数列，设这个数列为{x
n}
（1）写出这个数列{xn}的前4项，并建立数列{xn}
（2）设an?
xn?
1?
xn，证明：
{an}是等比数列；（3）求数列{xn}的通项公式.
4
图3
矩阵、行列式和算法（20131224）答案
姓名成绩一、行列式概念及运算1.用记号
a1a2
b1b2
表示算式a1b2?
a2b1,即
a1a2
b1b2
=a1b2?
a2b1,
2.二元一次方程组的解
a1?
a1x?
b1y?
c1
二元一次方程组?
（其中a1,a2,b1,b2不全为零）;记
ax?
by?
ca222?
2
b1b2
叫做方程组的系数行列式;记
dx?
c1c2
b1b2
dy?
a1a2
c1c2
即用常数项分别替换行列式d中x的系数或y的系数后得到的.
（1）若d?
0,则方程组有唯一一组解,x?
dydx
;,y?
dd
（2）若d?
0,且dx,dy中至少有一个不为零,则方程组无解;（3）若d?
dx?
dy?
0,则方程组有无穷多解.3。
三阶行列式及对角线法则
a1
用a2
b1b2b3a1
c1
c2表示算式;其结果是a1b2c3?
a2b3c1?
a3b1c2?
a3b2c1?
a2b1c3?
a1b3c2.
c3b1b2b3
c1
c2叫做三阶行列式;c3
a3
我们把a2
a3
a1b2c3?
a2b3c1?
a3b1c2?
a3b2c1?
a2b1c3?
a1b3c2叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的
值;ai,bi,ci（i?
1,2,3）都叫做三阶行列式的元素.4．三阶行列式按一行（或一列）展开
把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第i行与第j列的代数余子式的符号为（?
1）
i?
j
.
三阶行列式可以按其一行或一列）展开成该行（或该列）元素与其对应的代数余子式的乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:
（1）按对角线法则展开,
（2）按一行（或一列）展开.5.三元一次方程组的解
5
【篇二：
行列式练习题及答案】
然数从小到大为标准次序，则排列13…（2n?
1）24…（2n）的逆序数为，排列13…（2n?
1）（2n）（2n?
2）…2的逆序数为.2．在6阶行列式中，a23a42a31a56a14a65这项的符号为.3．所有n元排列中，奇排列的个数共个.二、选择题
00
1.由定义计算行列式?
n?
10
0?
0100?
200
?
?
?
?
?
=（）.00
?
?
00
00
0n
（a）n!
n（n?
1）
（b）（?
1）2
n!
（n?
1）（n?
2）
2（c）（?
1）
n!
（d）（?
1）n（n?
1）n!
xxx31
12x2
032x
2．在函数f（x）?
121
中，x3的系数是（）.
（a）1（b）-1（c）2（d）3
3．四阶行列式的展开式中含有因子a32的项，共有（）个.（a）4；（b）2；（c）6；（d）8.
三、请按下列不同要求准确写出n阶行列式d?
det（aij）定义式：
1．各项以行标为标准顺序排列；
2．各项以列标为标准顺序排列；
3．各项行列标均以任意顺序排列.
四、若n阶行列式中，等于零的元素个数大于n2?
n，则此行列式的值等于多少？
说明理由.
06.2版第1章第1页共11页
一、填空题
a11
1．若d=a21
a31
a12a22a32
a134a11a23?
1,则d1?
4a21a334a31
2a11?
3a12
2a21?
3a222a31?
3a32
a13
a23?
_____.a33
1122332．方程
12?
x2=0的根为___________.
231
5
2
319?
x2二、计算题
2
13?
41．41916?
30?
15?
4560
11
7
?
1
8
ab?
b3．d?
ba?
bn?
?
?
b
b
?
a
06.2版a
1002．
?
1b100?
1c
1
?
1d
第1章第2页共11页
xa1a2?
an?
11a1xa2?
an?
114.d?
a1a2x?
an?
11
n?
1
?
?
?
?
?
?
a1a2a3?
x1a1
a2
a3
?
an1
x1?
1x1?
2?
x1?
n5．计算n阶行列式dx?
1x2?
2
?
x2?
nn?
2
?
?
?
?
xn?
1xn?
2
?
xn?
n
06.2版（n?
2）。
第1章第3页共11页
第1章行列式（作业3）
一、填空题
0?
a12
a120?
a23?
?
a2n
a13a23
?
a1n?
a2n
1．当n为奇数时，行列式?
a13
?
?
a1n0?
a3n=_________.?
?
?
?
a3n?
0
xy0?
000xy?
00
2．行列式?
?
?
?
?
?
.
0y
00
00
?
?
x0
yx
二、选择题
1．设d是n阶行列式,则下列各式中正确的是（）.[aij是d中aij的代数余子式].（a）
?
a
i?
1nj?
1
n
ijaij
?
0,j?
1,2,?
n;（b）?
d;（d）
?
a
i?
1n
n
ijaij
?
d,j?
1,2,?
n;?
0,i?
1,2,?
n.
（c）
?
a
1ja2j
?
a
j?
1
ijaij
2．行列式结果等于（b?
a）（c?
a）（d?
a）（c?
b）（d?
b）（d?
c）的行列式是（）.
1
1bb2b4
1cc2c4
a
1aa2
d0b?
ac?
ad?
a1bb2
；（b；（cd20bcd1cc2d40b3c3d31dd2
11111
（aa2a4
1000a3
1b?
abb2b3
；（d
1c?
acc2c3
1d?
add2d3
三、计算题
1?
513
1．设a?
数余子式.
112
112
342334
，计算a41?
a42?
a43?
a44,其中a4（是a中元素a4j的代，2，3，4）jj?
1
06.2版第1章第4页共11页
x?
10?
000
x
?
1
?
2．?
?
?
?
?
?
000?
x?
1anan?
1an?
2?
a2x?
a1
an
（a?
1）n
?
（a?
n）n
3．dan?
1n?
1n?
1
?
（a?
1）?
（a?
n）n?
1
?
?
?
?
aa?
1
?
a?
n1
1
?
1
an
bn
?
0?
4．da1b12n?
0
c01
d?
01
?
cn
dn
06.2版第1章第5页共11页
【篇三：
行列式典型例题】
t>第一部分
例2.1计算行列式，其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是零．
a1?
dn=
1
a
解这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质．方法1利用性质，将行列式化为上三角行列式．
dn=
1c1?
?
cn
a
a?
1a
0?
1a?
a
=（a?
）a
1a
n?
1
=a-a
nn?
2
方法2仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．
dn=
rn?
r1
a
?
1?
a
1a?
1
a?
1
c1?
cn
1
a?
a?
1
=a-a
n
n?
2
=
方法3利用展开定理，将行列式化成对角行列式．
dn=a
c1展开
a?
an?
1
+（?
1）
n?
1
0a
0?
10
?
?
a0n?
1
而（?
1）
n?
1
0a
0?
1
a
最后列展开0n?
2
?
=?
a=（?
1）2n?
1
?
?
an?
2
a0n?
1
dn=a?
an?
1-an?
2=an-an?
2
方法4利用公式
aoo
b
=ab．
将最后一行逐行换到第2行，共换了n?
2次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了n?
2次．
dn=（?
1）2（n?
2）
a11a
?
a
=
a11a
a?
an?
2
=a-a
n
n?
2
方法5利用公式
aoo
b
=ab．
例2.2计算n阶行列式：
a1?
b1
dn?
a1?
a1
a2?
a2
?
anan?
（b1b2?
bn?
0）
a2?
b2?
?
an?
bn
解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a1,a2,?
an，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．
1
dn?
0
升阶
a1a1?
a1?
a2a2?
a2
?
?
ananan?
r2?
r1r3?
r1?
rn?
1?
r1
1
a1a2?
an
0?
0
?
00?
0?
0
b2?
0a1?
b1?
0
?
1b1?
1?
?
1
a2?
b2?
?
?
an?
bna1a2?
anb10?
0
0?
0anan?
?
an?
x
=x
n?
1
?
bn
c1?
1bj?
1
cj
a1a?
?
?
1b1b1
00?
0
j?
2,?
n?
1
?
?
00?
b2?
=b1b2?
bn（1?
a1a
?
?
?
n）b1bn
?
bn
这个题的特殊情形是
a1?
xdn?
a1?
a1
a2?
a2
?
a2?
x?
（x?
?
ai）
i?
1
n
可作为公式记下来．
例2.3计算n阶行列式：
?
a1
dn?
1?
1
?
11?
1?
1
1?
a2?
?
1?
an
其中a1a2?
an?
0．
解这道题有多种解法．方法1化为上三角行列式
?
a1
1a2
?
?
1
c1?
dn
ri?
r1i?
2,?
n
?
?
a1?
?
a1
j?
2,?
n
?
a1cjaj
an
b1?
10a2
?
?
0an
nn
?
?
1?
11?
?
a1?
1?
?
?
，于是dn?
a1a2?
an?
1?
?
?
．其中b?
1?
a1?
a1?
i?
1ai?
i?
2aii?
1ai?
?
?
n
方法2升阶（或加边）法
1dn?
0
?
0
升阶
11?
1
11?
1
n
?
?
111?
ri?
r1i?
2,3,?
n?
1
1?
10?
0
10?
0
?
?
100
?
01?
a1?
1a1?
1?
?
1
1?
a2?
a2?
?
1?
an?
an
?
?
c1?
1cj?
1aj
i?
1
1aj
1a1
1?
1
n
?
1?
?
a1a2?
an?
1?
?
?
i?
1ai?
?
j?
1,2,?
n?
1
?
a2
?
an
方法3递推法．将dn改写为
?
a1
dn?
1?
1
1?
1
?
1?
01?
0?
1?
a2?
?
1?
an
按cn拆开
?
1?
01?
a11?
1?
a1
11?
a2?
011?
a2?
1+
?
?
?
?
?
?
11?
an11?
1
1?
a11?
111?
a2?
1
由于
?
?
?
11?
1
1?
a11?
1
1?
1
?
00?
1?
a2?
a1
ri?
rni?
1,?
n?
1
?
a21
1
?
1
?
a1a2?
an?
1
按cn展开
?
andn?
1
?
an
因此dn=andn?
1?
a1a2?
an?
1为递推公式，而d1?
1?
a1，于是
?
dn?
11?
dn=andn?
1?
a1a2?
an?
1=a1a2?
an?
?
?
?
a1a2?
an?
1an?
=a1a2?
an?
?
dn?
211?
?
?
?
=?
?
?
a1a2?
an?
2an?
1an?
?
d1?
1?
111?
?
?
?
?
?
=a1a2?
an?
1?
?
?
?
?
?
an?
an?
?
a1a2?
a1a2
=a1a2?
an?
例２.4设f（x）?
x?
12x?
1
x?
23x?
2，证明存在?
?
（0,1）,使f?
（?
）?
0.
x?
34x?
3
证因为f（x）是关于x的二次多项式多项式,在?
0,1?
上连续,（0,1）内可导,且
?
1?
101
f（0）?
?
2?
2?
0,f
（1）?
?
11?
0
?
21?
3?
3
由罗尔定理知,存在?
?
（0,1）,使f?
（?
）?
0.
1
a
例2.5计算d=2
aa41bb2b41cc2c41d．2dd4
解这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．
方法1借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：
从下向上，逐行操作．
d?
r4?
a2r3r3?
ar2r2?
ar1
11110b?
ac?
ad?
a
0b（b?
a）c（c?
a）d（d?
a）0b2（b2?
a2）c2（c2?
a2）d2（d2?
a2）
1
1
1
bcdb2（b?
a）c2（c?
a）d2（d?
a）1b3
1cc3
1
1
1cc21?
d22d（?
db）
1d）
d2
c1展开
=（b?
a）（c?
a）（d?
a）
r3拆开
=（b?
a）（c?
a）（d?
a）（b
d+ab
b2d3
1
其中
1cc3
bb3
r3?
b2r211
r2?
br1
?
0c?
b
22
0c（c?
b）3
=（c?
b）（d?
b）
11
c（c?
b）d（d?
b）
=（c?
b）（d?
b）[d（d?
b）?
c（c?
b）]
1
由于b
1cc2
111cc2
1
d=（c?
b）（d?
b）（d?
c）
d2
b2
d是范德蒙行列式，故bd2b2
d=（a?
b?
c?
d）（b?
a）（c?
a）（d?
a）（c?
b）（d?
b）（d?
c）1a
方法2d?
c4?
c1a2
a4
c2?
c1c3?
c1
0b?
ab2?
a2b4?
a40c?
ac2?
a2c4?
a4
1
0d?
a
22
d?
ad4?
a4
1
1
r1展开
=（b?
a）（c?
a）（d?
a）
b?
ac?
ad?
a（b2?
a2）（b?
a）（c2?
a2）（c?
a）（d2?
a2）（d?
a）
1
c2?
c1c3?
c1
?
（b?
a）（c?
a）（d?
a）
b?
ac?
bd?
b（b2?
a2）（b?
a）xy
c1展开
=（b?
a）（c?
a）（d?
a）
c?
bd?
bx
y
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