云南中考数学总复习专题训练专题一规律探索题精品教育doc.docx
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云南中考数学总复习专题训练专题一规律探索题精品教育doc
专题一规律探索题
类型一数式规律
（2019·云南省卷）观察下列各个等式的规律：
第一个等式：
＝1，第二个等式：
＝2，第四个等式：
＝3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
【自主解答】
1．（2019·咸宁）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：
，，，，…，则这个数列的前2018个数的和为________．
2．（2019·黔南州）根据下列各式的规律，在横线处填空：
＋－1＝，＋－＝，＋－＝，＋－＝，…，＋－________＝.
3．（2019·孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：
1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，那么a9＋a11－2a10＋10的值是________．
4．（2019·昆明盘龙区模拟）观察下列等式：
第一个等式是1＋2＝3，第二个等式是2＋3＝5，第三个等式是4＋5＝9，第四个等式是8＋9＝17，…猜想：
第n个等式是2n－1＋（2n－1＋1）＝__________．
5．（2019·云南二模）有一系列方程，第1个方程是x＋＝3，解为x＝2；第2个方程是＋＝5，解为x＝6；第3个方程是＋＝7，解为x＝12；…根据规律第10个方程是＋＝21，解为______________．
6．观察下列各式的规律：
（x－1）（x＋1）＝x2－1
（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1
（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1
可得到（x－1）（x7＋x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1）＝____________；
一般地（x－1）（xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1）＝________________．
7．（2019·绵阳）将全体正奇数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第25行第20个数是（）
A．639B．637C．635D．633
8．计算两个两位数的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10.
53×57＝3021，38×32＝1216，84×86＝7224，71×79＝5609.
（1）你发现上面每个数的积的规律是：
十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的______________，请写出一个符合上述规律的算式__________________________；
（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a，b的算式表示这个规律．
9．（2019·安徽）观察以下等式：
第1个等式：
＋＋×＝1，
第2个等式：
＋＋×＝1，
第3个等式：
＋＋×＝1，
第4个等式：
＋＋×＝1，
第5个等式：
＋＋×＝1，
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：
________________；
（2）写出你猜想的第n个等式：
________________（用含n的等式表示），并证明．
10．（2019·腾冲模拟）小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，
sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，
sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，
sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，
sin245°＋sin245°＝（）2＋（）2＝1.
据此，小明猜想：
对于任意锐角α，均有sin2α＋sin2（90°－α）＝1.
（1）当α＝30°时．验证sin2α＋sin2（90°－α）＝1是否成立：
（2）小明的猜想是否成立？
若成立，若成立，请给予还明；请举出一个反例．
11．（2019·昆明五华区一模）在求1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38的值时，张红发现：
从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：
S＝1＋3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38 ①，然后在①的两边都乘以3，得：
3S＝3＋32＋33＋34＋35＋36＋37＋38＋39 ②，②－①得：
3S－S＝39－1，即2S＝39－1，
∴S＝.
请阅读张红发现的规律，并帮张红解决下列问题：
（1）爱动脑筋的张红想：
如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），应该能用类比的方法求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2018的值，对该式的值，你的猜想是________（用含m的代数式表示）．
（2）证明你的猜想是正确的．
12．（2019·云南一模）从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：
加数的个数n
和S
1
2＝2＝1×2
2
2＋4＝6＝2×3
3
2＋4＋6＝12＝3×4
4
2＋4＋6＋8＝20＝4×5
5
2＋4＋6＋8＋10＝30＝5×6
（1）若n＝8时，则S的值为________；
（2）根据表中的规律猜想：
用含n的式子表示S的公式为：
S＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝________________，
（3）根据上题的规律求102＋104＋106＋108＋…＋200的值（要有过程）．
类型二图形规律
（2019·云南省卷）如图，在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为________（n为正整数）．
【分析】根据中位线定理得出规律解答即可．
【自主解答】
（2019·曲靖）如图，图象①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北、正南、西北方向同时平移，每次移动一个单位长度；第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1、P2、P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4、P5、P6，…，依此规律，P0P2018＝________个单位长度．
【自主解答】
1．（2019·曲靖沾益区二模）下面是用棋子摆成的“上”字：
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
第n个“上”字需用____________枚棋子．
2．（2019·遵义）每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为______________．
3．（2019·宁夏）如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：
A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸…，A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么有一张A4的纸可以裁________张A8的纸．
4．（2019·昆明官渡区二模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：
第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，按此规律，第8个图形有________个小圆．
5．如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后动点P的坐标是______________________．
6．元宵节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由以下图案逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察下列演变过程，当sn＝190时，n＝______．
7．已知等边三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，C（1，0），点A在y轴的正半轴上，把等边三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转120°，经过2018次翻转之后，点C的坐标是____________________．
8．（2019·齐齐哈尔）在平面直角坐标系中，点A（，1）在射线OM上，点B（，3）在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，…，依此规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的纵坐标为________________．
9．（2019·烟台）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（）
A．28B．29C．30D．31
10．（2019·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：
从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An，则△OA2A2018的面积是（）
A．504m2B.m2
C.m2D．1009m2
11．（2019·贺州）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为（）
A．（）nB．2n－1C.nD．2n
12．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．
①1＝1；
②1＋2＝＝3；
③1＋2＋3＝＝6；
④____________________________；
（2）结合
（1）观察下列点阵图，并在⑤后面的横线上写出相应的等式．
①1＝12
②1＋3＝22
③3＋6＝32
④6＋10＝42
⑤____________________…
（3）通过猜想，写出
（2）中与第n个点阵相对应的等式________________________．
13．如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图b，在分别连接图b中间的小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：
（1）将下表填写完整
图形编号
1
2
3
4
5
…
三角形个数
1
5
9
________
________
…
（2）在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示）．
14．如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：
（1）填写如表：
正方形ABCD
内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成的三角
形的个数
4
6
______
________
…
________
（2）如果原正方形被分割成2018个三角形，此时正方形ABCD内部有多少个点？
（3）上述条件下，正方形又能否被分割成2019个三角形？
若能，此时正方形ABCD内部有多少个点？
若不能，请说明理由．
15．（2019·黔南州）“分块计数法”：
对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：
图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…，按此规律，求图10、图n有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点的个数是6×1＝6个；图2中黑点的个数是6×2＝12个；图3中黑点的个数是6×3＝18个；…，∴容易求出图10、图n中黑点的个数分别是________、________．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有________个圆圈；第n个点阵中有____________________个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？
如果会，请求出是第几个点阵．
参考答案
【专题类型突破】
类型一
【例1】解：
（1）由题目中式子的变化规律可得，
第四个等式是：
＝4；
（2）第n个等式是：
＝n，
证明：
∵
＝
＝
＝
＝n，
∴第n个等式是：
＝n.
针对训练
1. 【解析】∵＝，＝，＝，＝，…，∴这个数列的前2018个数的和为＋＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.
2. 【解析】由所给等式可以看出，等号左边第三个分数的分母是第二个分数分母的一半．则所填的数为.
3．11 【解析】由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1＋2＋3＋…＋n＝，∴a9＝＝45，a10＝＝55，a11＝＝66，则a9＋a11－2a10＋10＝45＋66－2×55＋10＝11.
4．2n＋1
5．x＝110 【解析】第1个方程是x＋＝3，解为x＝2×1＝2；第2个方程是＋＝5，解为x＝2×3＝6；第3个方程是＋＝7，解为x＝3×4＝12；…可以发现，第n个方程为＋＝2n＋1，解为x＝n（n＋1）．∴第10个方程＋＝21的解为x＝10×11＝110.
6．xn＋1－1 【解析】由（x－1）（x＋1）＝x2－1，（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1，（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1，则（x－1）（x7＋x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1）＝x8－1，（x－1）（xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1）＝xn＋1－1.
7．A 【解析】分析每一行的第一个数可知第n行的第一个数为：
n（n－1）＋1，∴第25行的第1个数为：
25×24＋1＝601，在每一行中相邻的两个数相差为2，∴第25行的第20个数为：
601＋2×19＝639.
8．解：
（1）由已知等式知，每个数的积的规律是：
十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，
例如：
44×46＝2024；
（2）（10a＋b）（10a＋10－b）＝100a（a＋1）＋b（10－b）．
9．解：
（1）＋＋×＝1；
（2）第n个等式是＋＋×＝1.
证明：
∵左边＝＋＋×
＝
＝
＝1，
∴等式成立．
10．解：
（1）当α＝30°时，sin2α＋sin2（90°－α）＝sin230°＋sin260°＝（）2＋（）2＝＋＝1，
∴sin2α＋sin2（90°－α）＝1成立；
（2）小明的猜想成立．证明如下：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°－α，
sin2α＋sin2（90°－α）＝（）2＋（）2＝＝＝1.
11．解：
（1）.
（2）证明：
设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2018.
在①式的两边都乘以m，得：
mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2018＋m2019，②
②－①得：
mS－S＝m2019－1.
∴S＝.
12．解：
（1）观察可得出从2开始，连续的n个偶数相加，它们和S＝n（n＋1），
则当n＝8时，S＝8×9＝72；
（2）S＝n（n＋1）；
（3）102＋104＋…＋200＝2＋4＋6＋…＋200－（2＋4＋…＋100）＝100×101－50×51＝7550.
类型二
【例2】在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，可得：
P1M1＝，P2M2＝×＝，故PnMn＝.
【例3】2018÷3＝672……2，第672次平移得到的扇形的圆心依次是P2014、P2015、P2016，∴第673次平移得到的三个扇形的圆心依次是P2017、P2018、P2019，∴点P0到P2018的距离673.
针对训练
1．4n＋2 【解析】“上”字共有四个端点每次每个端点增加一枚棋子，而初始时内部有两枚棋子不发生变化，∴第n个字需要4n＋2枚棋子．
2．4035 【解析】∵第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，…，也就是说，1＝2×1－1；3＝2×2－1；5＝2×3－1；7＝2×4－1；以此类推，第n层有（2n－1）个三角形，当n＝2018时，2×2018－1＝
4035.
3．16 【解析】由图可知A0＝2A1，A1＝2A2，A2＝2A3，A3＝2A4，A4＝2A5，A5＝2A6，A6＝2A7，A7＝2A8.得A4＝2A5＝4A6＝8A7＝16A8.
4．76 【解析】由题意可知第1个图形有小圆4＋1×2＝6个；第2个图形有小圆4＋2×3＝10个；第3个图形有小圆4＋3×4＝16个；第4个图形有小圆4＋4×5＝24个；∴第8个图形有小圆4＋8×9＝76个．
5．（2019，2） 【解析】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．∴2019＝4×504＋3，当第504个循环结束时，点P位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2）．
6．7 【解析】∵s1＝1，s2＝s1＋3＝4，s3＝s2＋6＝10，s4＝s3＋12＝22，∴sn＝3×（2n－1－1）＋1＝3×2n－1－2，∴当sn＝190时，3×2n－1－2＝190，解得n＝7.
7．（4036，） 【解析】第一次点C的坐标是（1，0），第二次点C的坐标是（4，），第三次点C的坐标是（7，0），第四次点C的坐标是（7，0），第五次点C的坐标是（10，），第六次点C的坐标是（13，0），…根据这个规律2018＝672×3＋2，∴经过2018次翻转之后，点C的横坐标为672×3×2＋4＝4036，纵坐标为，∴点C的坐标是（4036，）．
8．32019 【解析】∵A（，1），B（，3），∴ON与x轴所夹锐角为60°，OM与x轴所夹锐角为30°，AB＝2，∴∠BA1A＝30°，∴BA1＝AB＝2，A1B1＝BA1＝6，B1的纵坐标为9＝32，A2B1＝6，A2B2＝18，B2的纵坐标为27＝33，…，照此规律，点B2018的纵坐标为32019.
9．C 【解析】第1个图中有4×1＝4朵玫瑰花，第2个图中有4×2＝8朵玫瑰花，第3个图中有4×3＝12朵玫瑰花，…，根据这个规律，第n个图形有4n朵玫瑰花，根据题意得4n＝120，解得n＝30.
10．A 【解析】观察图形可以发现，每4个点为一个循环组依次循环，2019÷4＝540……2，可得A2A2018＝504×2＝1008，∴△OA2A2018的面积是×1×1008＝504m2.
11．B 【解析】第一个正方形的面积为1＝20，第二个正方形的面积为（）2＝2＝21，第三个正方形的面积为22，第n个正方形的面积为2n－1.
12．解：
（1）1＋2＋3＋4＝＝10；
（2）10＋15＝52；
（3）＋＝n2.
13．解：
（1）第1个图形中有1个三角形；
第2个图形中有1＋4＝5个三角形；
第3个图形中有1＋2×4＝9个三角形；
第4个图形中有1＋3×4＝13个三角形；
第5个图形中有1＋4×4＝17个三角形．
（2）1＋4（n－1）＝4n－3.
14．解：
（1）8，10，2（n＋1）；
（2）设点数为n，
则2（n＋1）＝2018，
解得n＝1008，
答：
原正方形被分割成2018个三角形时正方形ABCD内部有1008个点；
（3）设点数为n，
则2（n＋1）＝2019，
解得n＝1008.5，
答：
原正方形不被分割成2019个三角形．
15．解：
60，6n.
（1）31，3n2－3n＋1；
【解法提示】
（1）第1个点阵中是1个点；第2个点阵中有6＋1＝7个点；第3个点阵中有6＋12＋1＝19个点；第5个点阵中有6＋12＋18＋24＋1＝61个点；第n个点阵中有6＋12＋18＋…＋6（n－1）＋1＝1＋6×x＝3n2－3n＋1个点；
（2）依题意，得3n2－3n＋1＝271，
解得n1＝10，n2＝－9（不合题意，舍去）．
小圆圈的个数会等于271，是第10个点阵．
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