山东省青岛市中考数学试题及解析.docx
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山东省青岛市中考数学试题及解析
2015年山东省青岛市中考数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A,B,C,D的四个结论，其中只有一个是正确的
1．（3分）（2015•青岛）
的相反数是（ ）
A．
﹣
B．
C．
D．
2
2．（3分）（2015•青岛）某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001s．把0.000000001s用科学记数法可表示为（ ）
A．
0.1×10﹣8s
B．
0.1×10﹣9s
C．
1×10﹣8s
D．
1×10﹣9s
3．（3分）（2015•青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（ ）
A．
B．
2
C．
3
D．
+2
5．（3分）（2015•青岛）小刚参加射击比赛，成绩统计如下表：
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
1
3
2
3
1
关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）
A．
极差是2环
B．
中位数是8环
C．
众数是9环
D．
平均数是9环
6．（3分）（2015•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ）
A．
30°
B．
35°
C．
45°
D．
60°
7．（3分）（2015•青岛）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=
，BD=4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．
4
B．
4
C．
4
D．
28
8．（3分）（2015•青岛）如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=
的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．
x＜﹣2或x＞2
B．
x＜﹣2或0＜x＜2
C．
﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2
D．
﹣2＜x＜0或x＞2
二、填空题（本题满分18分,共有6小题，每小题3分）
9．（3分）（2015•青岛）计算：
3a3•a2﹣2a7÷a2= ．
10．（3分）（2015•青岛）如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的
，那么点A的对应点A′的坐标是 ．
11．（3分）（2015•青岛）把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为 ．
12．（3分）（2015•青岛）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为 ．
13．（3分）（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，
∠E=30°，则∠F= ．
14．（3分）（2015•青岛）如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为 ．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹
15．（4分）（2015•青岛）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：
线段c，直线l及l外一点A．
求作：
Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥l，垂足为C），斜边AB=c．
四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（2015•青岛）
（1）化简：
（
+n）÷
；
（2）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
17．（6分）（2015•青岛）某小学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：
（1）补全条形统计图；
（2）求扇形统计图扇形D的圆心角的度数；
（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？
18．（6分）（2015•青岛）小颖和小丽做“摸球”游戏：
在一个不透明的袋子中装有编号为1﹣4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字．若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？
请说明理由．
19．（6分）（2015•青岛）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）
（参考数据：
sin35°≈
，cos35°≈
，tan35°≈
）
20．（8分）（2015•青岛）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制成一个乙盒需要多用20%的材料．
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒共3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需要材料的总长度l（m）与甲盒数量n（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料？
21．（8分）（2015•青岛）已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：
△ABD≌△CAE；
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？
请证明你的结论．
22．（10分）（2015•青岛）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣
x2+bx+c表示，且抛物线时的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为
m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
23．（10分）（2015•青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．
【探究一】
（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=3时，m=1．
（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．
所以，当n=4时，m=0．
（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=5时，m=1．
（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．
若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．
所以，当n=6时，m=1．
综上所述，可得：
表①
n
3
4
5
6
m
1
0
1
1
【探究二】
（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）
（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
（只需把结果填在表②中）
表②
n
7
8
9
10
m
你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…
【问题解决】：
用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）
表③
n
4k﹣1
4k
4k+1
4k+2
m
【问题应用】：
用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了 根木棒．（只填结果）
24．（12分）（2015•青岛）已知，如图①，在▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4），连接PQ，MQ，MC，解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥MN？
（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC：
S四边形ABQP=1：
4？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2015年山东省青岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A,B,C,D的四个结论，其中只有一个是正确的
1．（3分）（2015•青岛）
的相反数是（ ）
A．
﹣
B．
C．
D．
2
考点：
实数的性质．
分析：
根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
解答：
解：
根据相反数的含义，可得
的相反数是：
﹣
．
故选：
A．
点评：
此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
2．（3分）（2015•青岛）某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001s．把0.000000001s用科学记数法可表示为（ ）
A．
0.1×10﹣8s
B．
0.1×10﹣9s
C．
1×10﹣8s
D．
1×10﹣9s
考点：
科学记数法—表示较小的数．
分析：
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答：
解：
0.000000001=1×10﹣9，
故选：
D．
点评：
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2015•青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
中心对称图形；轴对称图形．
分析：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：
解：
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：
B．
点评：
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（ ）
A．
B．
2
C．
3
D．
+2
考点：
角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
分析：
根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
解答：
解：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3．
故选C．
点评：
本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．
5．（3分）（2015•青岛）小刚参加射击比赛，成绩统计如下表：
成绩（环）
6
7
8
9
10
次数
1
3
2
3
1
关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）
A．
极差是2环
B．
中位数是8环
C．
众数是9环
D．
平均数是9环
考点：
众数；加权平均数；中位数；极差．
分析：
根据极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，以及众数是出现次数最多的数，中位数是按大小顺序排列后，最中间的一个即是中位数，所有数据的和除以数据个数即是平均数，分别求出即可．
解答：
解：
A、极差是10﹣6=4环，故本选项错误；
B、把数从小到大排列起来；6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，位于中间的两个数都是8，所以中位数是（8+8）÷2=8，故本选项正确；
C、7和9都出现了3次，次数最多，所以众数是7环和9环，故本选项错误；
D、平均数=
（6+7×3+8×2+9×3+10）=8，故本选项错误；
故选：
B．
点评：
此题主要考查了极差，平均数，众数与中位数，解决问题的关键是正确把握这几种数概念的区别与联系．
6．（3分）（2015•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ）
A．
30°
B．
35°
C．
45°
D．
60°
考点：
切线的性质；正多边形和圆．
分析：
连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．
解答：
解：
连接OB，AD，BD，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴AD为外接圆的直径，
∠AOB=
=60°，
∴∠ADB=
∠AOB=
×60°=30°．
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAB=∠ADB=30°，
故选A．
点评：
本题主要考查了正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．
7．（3分）（2015•青岛）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=
，BD=4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．
4
B．
4
C．
4
D．
28
考点：
菱形的性质；三角形中位线定理．
分析：
首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
解答：
解：
∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=
，
∴AC=2EF=2
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=
AC=
，OB=
BD=2，
∴AB=
=
，
∴菱形ABCD的周长为4
．
故选：
C．
点评：
此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．
8．（3分）（2015•青岛）如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=
的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．
x＜﹣2或x＞2
B．
x＜﹣2或0＜x＜2
C．
﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2
D．
﹣2＜x＜0或x＞2
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
解答：
解：
∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为﹣2，
∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在y2=
的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
故选D．
点评：
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y2时x的取值范围是解答此题的关键．
二、填空题（本题满分18分,共有6小题，每小题3分）
9．（3分）（2015•青岛）计算：
3a3•a2﹣2a7÷a2= a5 ．
考点：
整式的混合运算．
分析：
根据整式的混合运算顺序，首先计算乘法和除法，然后计算减法，即可求出算式3a3•a2﹣2a7÷a2的值是多少．
解答：
解：
3a3•a2﹣2a7÷a2
=3a5﹣2a5
=a5
故答案为：
a5．
点评：
（1）此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）此题还考查了同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
10．（3分）（2015•青岛）如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的
，那么点A的对应点A′的坐标是 （2，3） ．
考点：
坐标与图形性质．
分析：
先写出点A的坐标为（6，3），横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的
，即可判断出答案．
解答：
解：
点A变化前的坐标为（6，3），
将横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的
，则点A的对应点的坐标是（2，3），
故答案为（2，3）．
点评：
此题考查了坐标与图形性质的知识，根据图形得到点A的坐标是解答本题的关键．
11．（3分）（2015•青岛）把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为 s=
．
考点：
根据实际问题列反比例函数关系式．
分析：
利用长方体的体积=圆柱体的体积，进而得出等式求出即可．
解答：
解：
由题意可得：
sh=3×2×1，
则s=
．
故答案为：
s=
．
点评：
此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，得出长方体体积是解题关键．
12．（3分）（2015•青岛）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1，1），（﹣1，1），把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为 2
﹣2 ．
考点：
旋转的性质；坐标与图形性质；正方形的性质；正多边形和圆．
分析：
如图，首先求出正方形的边长、对角线长；进而求出OA′的长；证明△A′MN为等腰直角三角形，求出A′N的长度；同理求出D′M′的长度，即可解决问题．
解答：
解：
如图，由题意得：
正方形ABCD的边长为2，
∴该正方形的对角线长为2
，
∴OA′=
；而OM=1，
∴A′M=
﹣1；
由题意得：
∠MA′N=45°，∠A′MN=90°，
∴∠MNA′=45°，
∴MN=A′M=
；
由勾股定理得：
A′N=2﹣
；
同理可求D′M′=2﹣
，
∴MN=2﹣（4﹣2
）=2
﹣2，
∴正八边形的边长为2
﹣2．
点评：
该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
13．（3分）（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，
∠E=30°，则∠F= 40° ．
考点：
圆内接四边形的性质；三角形内角和定理．
专题：
计算题．
分析：
先根据三角形外角性质计算出∠EBF=∠A+∠E=85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD=180°﹣∠A=125°，然后再根据三角形外角性质求∠F．
解答：
解：
∵∠A=55°，∠E=30°，
∴∠EBF=∠A+∠E=85°，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣55°=125°，
∵∠BCD=∠F+∠CBF，
∴∠F=125°﹣85°=40°．
故答案为40°．
点评：
本题考查了圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了三角形外角性质．
14．（3分）（2015•青岛）如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个
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