一元二次方程数学组卷.docx

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一元二次方程数学组卷

一元二次方程单元测试

班别：

___________姓名：

___________得分：

___________　

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．下列方程中，一元二次方程共有（　　）个：

①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；

③

+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．

A．1B．2C．3D．4

2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1B．﹣1C．1或﹣1D．

3．方程（x﹣2）2+4=0的解是（　　）

A．x1=x2=0B．x1=2，x2=﹣2C．x1=0，x2=4D．没有实数根

4．一元二次方程x2+8x﹣9=0配方后得到的方程是（　　）

A．（x﹣4）2+7=0B．（x+4）2=25C．（x﹣4）2=25D．（x+4）2﹣7=0

5．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定

6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

7．方程（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5的解是（　　）

A．x=5B．x=5或x=6C．x=7D．x=5或x=7

8．若关于x一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实根及m的值分别为（　　）

A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，2

9．某公司销售一种产品，一月份获利10万元，由于畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（　　）

A．10（1+x）2=36.4B．10+10（1+x）2=36.4

C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4

10．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（　　）

A．7B．8C．9D．10　

二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

11．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m+2015的值等于______．

12．将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为______．

13．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则a的取值范围是______．

14．方程（x﹣2）（x﹣4）=0的两个根是等腰三角形的两条边，则周长为______．

15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则

+

=______．

三．用适当的方法解方程（共6小题，每小题5分，共30分）

16．x2+4x﹣1=0．17．3（x﹣3）2﹣25=0．

18．3x2+1=4x．19．x（x﹣2）=x﹣2．

20．4x2=（x﹣3）221．（3x+5）2﹣3（3x+5）+2=0．

四、解答题。

（共4小题）

22．（6分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．

23．（6分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x（x为偶数）元，据此规律，请回答：

（1）降价后，商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商品日盈利可达到4200元？

24．（6分）如图△ABC，∠B=90∘，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：

（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？

（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？

若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．

25．（7分）中央气象台消息，南海热带低压加强为今年第5号热带风暴“蒲公英”，逐渐向海南岛南部近海靠近．已知，如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心

海里的圆形区域内（包括边界）都属于台风区，当轮船到达A处时，测得台风中心移动到位于点A正南方的B处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会不会遇到台风？

若会，试求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．

2016年09月27日一元二次方程数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2016•凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（　　）个

①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③

+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：

①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；

②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；

③

+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；

④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；

⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；

⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．

一元二次方程共有2个．

故选：

B．

2．（2016•诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1B．﹣1C．1或﹣1D．

【解答】解：

根据题意得：

a2﹣1=0且a﹣1≠0，

解得：

a=﹣1．

故选B．

3．（2015•长乐市一模）方程（x﹣2）2+4=0的解是（　　）

A．x1=x2=0B．x1=2，x2=﹣2C．x1=0，x2=4D．没有实数根

【解答】解：

由已知方程得到：

（x﹣2）2=﹣4，

∵（x﹣2）2≥0，﹣4＜0，

∴该方程无解．

故选：

D．

4．（2016•松阳县二模）一元二次方程x2+8x﹣9=0配方后得到的方程是（　　）

A．（x﹣4）2+7=0B．（x+4）2=25C．（x﹣4）2=25D．（x+4）2﹣7=0

【解答】解：

把方程x2+8x﹣9=的常数项移到等号的右边，得到x2+8x=9，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+8x+16=9+16，

配方得（x+4）2=25．

故选B．

5．（2016•昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．无法确定

【解答】解：

在方程x2﹣4x+4=0中，

△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，

∴该方程有两个相等的实数根．

故选B．

6．（2016•枣庄）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：

∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，

∴△=4﹣4（kb+1）＞0，

解得kb＜0，

A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；

B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；

C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；

D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；

故选：

B．

7．（2016•阳泉模拟）方程（x﹣5）（x﹣6）=x﹣5的解是（　　）

A．x=5B．x=5或x=6

C．x=7D．x=5或x=7

【解答】解：

方程移项得：

（x﹣5）（x﹣6）﹣（x﹣5）=0，

分解因式得：

（x﹣5）（x﹣7）=0，

解得：

x=5或x=7，

故选D

8．（2016•雅安）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）

A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，2

【解答】解：

由根与系数的关系式得：

2x2=﹣8，2+x2=﹣m=﹣2，

解得：

x2=﹣4，m=2，

则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，

故选D

9．（2016•抚顺）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（　　）

A．10（1+x）2=36.4B．10+10（1+x）2=36.4

C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4

【解答】解：

设二、三月份的月增长率是x，依题意有

10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，

故选D．

10．（2015•江岸区校级模拟）新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（　　）

A．7B．8C．9D．10

【解答】解：

设这个小组有x人，

则根据题意可列方程为：

（x﹣1）x=72，

解得：

x1=9，x2=﹣8（舍去）．

故选C．

二．填空题（共5小题）

11．（2016•汶上县一模）已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m+2015的值等于　2016　．

【解答】解：

把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0可得：

m2﹣m﹣1=0，

即m2﹣m=1，

∴m2﹣m+2015=2015+1=2016；

故答案为：

2016．

12．（2016•荆州）将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为　（x+2）2+1　．

【解答】解：

x2+4x+5

=x2+4x+4+1

=（x+2）2+1．

故答案为：

（x+2）2+1．

13．（2016•雅安校级模拟）已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则a的取值范围是　a≤2　．

【解答】解：

∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，

∴△≥0，即4﹣4（a﹣1）≥0得，

a≤2，

且a﹣1≠0，a≠1；

∴a的取值范围为a≤2且a≠1．

当a=1时为一元一次方程，方程有一根．

综上所知a的取值范围为a≤2．

故答案为：

a≤2．

14．（2016•广东模拟）方程（x﹣2）（x﹣4）=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　10　．

【解答】解：

∵（x﹣2）（x﹣4）=0，

∴x﹣2=0或x﹣4=0，

∴x1=2，x2=4，

∵当2为腰，4为底时，2+2=4，不符合三角形三边的关系，

∴等腰三角形的底为2，腰为4，

∴这个等腰三角形的周长=2+4+4=10．

故答案为10．

15．（2016•遵义）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则

+

=　﹣2　．

【解答】解：

∵一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根为x1、x2，

x1+x2=2，

x1•x2=﹣1，

∴

+

=

=﹣2．

故答案是：

﹣2．

三．解答题（共11小题）

16．（2016•淄博）解方程：

x2+4x﹣1=0．

【解答】解：

∵x2+4x﹣1=0

∴x2+4x=1

∴x2+4x+4=1+4

∴（x+2）2=5

∴x=﹣2±

∴x1=﹣2+

，x2=﹣2﹣

．

17．（2016春•济南校级期末）解方程：

3（x﹣3）2﹣25=0．

【解答】解：

3（x﹣3）2﹣25=0，

（x﹣3）2=

，

x﹣3=±

，

所以x1=3+

，x2=3﹣

．

18．（2016春•门头沟区期末）用求根公式法解方程：

3x2+1=4x．

【解答】解：

原方程整理得：

3x2﹣4x+1=0，

∵a=3，b=﹣4，c=1，

∴△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，

∴x=

，

则原方程的解为：

x1=1，x2=

．

19．（2016春•宣城期末）计算：

x（x﹣2）=x﹣2．

【解答】解：

x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，

（x﹣2）（x﹣1）=0，

x﹣2=0或x﹣1=0，

所以x1=2，x2=1．

20．（2016春•赣县校级期中）解方程：

4x2=（x﹣3）2（用因式分解法）

【解答】解：

4x2﹣（x﹣3）2=0，

（2x+x﹣3）（2x﹣x+3）=0，

（3x﹣3）（x+3）=0，

3x﹣3=0或x+3=0，

解得x1=1，x2=﹣3．

21．（2014秋•青海校级月考）（3x+5）2﹣3（3x+5）+2=0．

【解答】解：

设3x+5=y，

∵（3x+5）2﹣3（3x+5）+2=0，

∴y2﹣3y+2=0，

∴y1=1，y2=2，

∴3x+5=1或3x+5=2，

∴x1=﹣

，x2=﹣1．

22．（2016•河南模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．

【解答】解：

（1）∵△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）由求根公式，得x=

，

∴x1=

=

，x2=

=1；

∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，

∴x1=

=1+

，必为正整数，

∴m﹣1=1或2，

∴m=2或m=3．

23．（2016•宝应县一模）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．

（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为　2.6（1+x）2　万元；

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．

【解答】解：

（1）由题意，得

第3年的可变成本为：

2.6（1+x）2，

故答案为：

2.6（1+x）2；

（2）由题意，得

4+2.6（1+x）2=7.146，

解得：

x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．

答：

可变成本平均每年增长的百分率为10%．

24．（2016•丹棱县模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利100元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x（x为偶数）元，据此规律，请回答：

（1）降价后，商场日销售量增加　x　件，每件商品盈利　100﹣x　元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商品日盈利可达到4200元？

【解答】解：

（1）降价2元，可多售出2件，降价x元，可多售出x件，每件商品盈利的钱数=（100﹣x）元，

故答案为：

x；100﹣x；

（2）由题意得：

（100﹣x）（30+x）=4200，

解得：

x1=30，x2=40，

∵该商场为了尽快减少库存，

∴降的越多，越吸引顾客，

∴x=40，

答：

每件商品降价40元，商场日盈利可达4200元．

25．（2016春•濉溪县校级月考）如图△ABC，∠B=90∘，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：

（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？

（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？

若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．

【解答】解：

（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．

∵AP=1•x=x，BQ=2x，

∴BP=AB﹣AP=6﹣x，

∴S△PBQ=

×BP×BQ=

×（6﹣x）×2x=8，

∴x2﹣6x+8=0，

解得：

x=2或4，

即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；

（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，

则S△PBQ=

×（6﹣y）×2y=10，

即y2﹣6y+10=0，

因为△=b2﹣4ac=36﹣4×10=﹣4＜0，

所以△PBQ的面积不会等于10cm2．

26．（2011秋•浦江县校级月考）中新网2010年8月23日电．中央气象台消息，今日8时，南海热带低压加强为今年第5号热带风暴“蒲公英”，逐渐向海南岛南部近海靠近．已知，如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心

海里的圆形区域内（包括边界）都属于台风区，当轮船到达A处时，测得台风中心移动到位于点A正南方的B处，且AB=100海里．

（1）若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会不会遇到台风？

若会，试求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．

（2）现轮船自A处立即提高速度，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去．为使轮船在台风到来之前到达D港，则船速至少应提高多少（提高的船速取整数，

）

【解答】解：

（1）若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会遇到台风．

设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到B点，如图所示：

则可知AC=20t，AB=100﹣40t，

根据勾股定理得：

BC=

=

=20

，

当BC=20

时，

整理得出：

t2﹣4t+3=0

t1=1，t2=3，

∵求最初遇台风时间，∴t=1，

即点C在台风影响的范围内，会受到影响，轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时时．

（2）如图过点D作垂线，D位于东偏北30°，且AD=60，

则可以得出AF=BE=30

，DF=30，

有BD=20

，

根据勾股定理得：

DE2=BD2﹣BE2，

代入数据得：

DE=10

，

∴AB=EF=DE﹣DF=10

，

∴B点运动的距离为100﹣（10

﹣30），

∴用时间为：

=2.35，

∴轮船的速度为：

=25.53，

∴船速至少应提高25.53﹣20≈6海里/时．