21认识一元二次方程教学设计.docx
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21认识一元二次方程教学设计
第二章一元二次方程
1．认识一元二次方程
（一）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：
学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程；学生在八年级已学过二元一次方程组的概念，经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程；学生已理解了“元”和“次”的含义，具备了学习一元二次方程的基本技能。
学生活动经验基础：
在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生对方程认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：
1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2、会识别一元二次方程及各部分名称。
从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：
第一环节：
自主探究问题一；第二环节：
自主探究问题二；第三环节：
自主探究问题三；第四环节：
总结归纳；第五环节：
学以致用；第六环节：
反思；第七环节：
布置作业。
第一环节：
自主探究问题一
活动内容：
出示问题一：
幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？
你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？
活动目的：
提出了半开放性的问题：
根据这一情境，结合这些已知量，你想求哪些量？
旨在培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。
教学要求与效果：
教学中，为了帮助学生理解题意，可以首先提出问题：
你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？
并让一生指出对应的三部分；接着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图。
教学中教师可以一次完成下列任务：
（1）罗列学生提的问题；
（2）引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式；
（3）引导学生列出相应的方程并整理。
从实际效果来看，学生提出的问题多样有：
（1）花边的宽，
（2）中央长方形的长、宽等；学生列方程问题不大，所列方程也多样，依据的等量关系不同，得到的方程也不同；但是，整理方程时显得困难，这与课前没有复习整式的运算有直接的关系。
第二环节：
自主探究问题二
活动内容：
在学生的疑问处提出问题：
你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？
得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？
根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
在难以找到的情况下，归结为方程去解决。
活动目的：
上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。
学生得到的猜想是：
是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。
然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。
教学要求与效果：
找到等式102+112+122=132+142之后的猜想不同。
再找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。
有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决。
首先，“我”巡视那些无从下手的学生，问：
需要我的帮助吗？
然后给予必要的指导。
然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。
关注学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导。
从实际效果来看，学生的学习积极性很高，课上到这儿达到一个小高潮。
第三环节：
自主探究问题三
活动内容：
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？
活动目的：
通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程。
活动的实际效果：
先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面。
由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列出方程，问题解决得很顺畅。
第四环节：
总结归纳
活动内容：
归纳一元二次方程的概念：
结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。
活动目的：
关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解。
活动的实际效果：
学生基本能识别一元二次方程及各个部分。
第五环节：
学以致用
活动内容：
1、把方程（3x＋2）2＝4（x－3）2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？
请根据这一问题列出方程．
活动目的：
及时巩固一元二次方程的有关概念，巩固学生通过实际问题列出相应方程。
活动的实际效果：
问题
（1）中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时，部分学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的。
当然，教学中也可以在第4环节中设计一种反向的问题，如给出各项系数，请写出事故和条件的方程；也可以在第四环节中，直接和学生辨析到底各项系数是什么。
问题
（2），实际问题，可能有部分学生不能理解题意，部分学生不能很快列出相应的方程，教师要鼓励学生自己找到等量关系，然后将直角三角形的各边表示出来。
第六环节：
反思
活动内容：
让学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？
还有哪些困惑？
活动目的：
让学生学会自己梳理知识要点，提高归纳总结的能力。
活动的实际效果：
绝大多数学生能自己归纳出本节的知识要点，也清楚自己的困惑和存在的问题。
第七环节：
布置作业
作业：
P33习题2、1
第二章一元二次方程
1．认识一元二次方程
（二）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：
学生在七年级上学期学习的一元一次方程中，已经学习过方程的解的概念，此后又分别在二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程中多次学习了关于方程（或方程组）的求解的过程。
因此对本章中的“使一元二次方程的左右两边的值相等的未知数的值即为该一元二次方程的解”的概念不难理解；
学生活动经验基础：
在相关知识的学习过程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题。
同时通过上一节课的学习，学生发现，一元二次方程在生活中也有着广泛的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的。
在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估计近似解的过程，寻找方程的解。
同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生已有的估算意识和能力以及对方程的解的理解的基础之上，提出了本节课的具体学习任务：
经历一元二次方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。
而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课《认识一元二次方程》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：
“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此，本节课的教学目标是：
1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。
3、进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：
第一环节：
复习回顾；第二环节：
情境引入；第三环节：
做一做；第四环节：
练习提高；第五环节：
课堂小结；第六环节：
布置作业。
第一环节：
复习回顾
活动内容：
在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：
，即：
；
，即：
。
发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。
上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？
你能求出各方程中的x吗？
活动目的：
上述两个问题是承上一节课的现实问题，通过对这两个问题情境的回顾，学生自然会产生求解的欲望，符合学生的学习心理。
适当的回顾也是引导学生不仅要学会将现实问题转化为数学问题，而且还应该关注对该数学问题进行解答。
实际效果：
学生能够意识到上一节课只是找到了解决问题的途径，即列方程，但并没有将方程的解求出来，也就是说并没有最终找到问题的答案，因而产生了彻底解决这些问题的欲望，因而十分自然地引出了本节课的主要内容：
探索一元二次方程的解。
第二环节：
情境引入
活动内容：
1、有一根外带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？
与同伴进行交流。
2、在前一节课的问题中，我们若设所求的宽度为x（m），得到方程：
，即：
；
（1）根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？
?
说说你的理由．
（2）x可能小于0吗？
可能大于4吗?
可能大于2．5吗?
说说你的理由，并与同伴进行交流．
（3）完成下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2x2-13x+11
（4）你知道所求的宽度x（m）是多少吗?
还有其他求解方法吗?
与同伴进行交流．
活动目的：
设计问题1，目的在于激发学生的学习兴趣，同时让学生体会和理解“夹逼”的思想，为2的解决提供铺垫；
问题2，顺应第1环节，设法求出花边的宽度，这里引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的过程，为后续其他问题的解决提供了范本、样例。
实际效果：
通过对问题1提出的方法进行讨论，学生能够比较自然的得到“夹逼”思想解决一元二次方程的方法，并由学生概括得出用“夹逼”思想解一元二次方程的实质及步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值，②根据题意所列的具体情况再次进行排除；③列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。
然后用这种方法解决接下来的问题2。
问题2，第
（1）问，因为x表示的是所求的宽度，学生能意识到x不可能小于0；第
（2）问，学生大多数能够从实际情况出发，意识到当x大于4和当x大于2.5时，将分别使原矩形地面的长和宽小于0，不符合实际情况；第（3）问，学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x=1时，代数式2x2-13x+11的值等于0；所求的宽度为1m。
由于方程的解是整数解，学生都能通过列表计算直接找到方程的解，这就使学生从这种求解的方法中体验到了方便和巧妙，从而增强了学生学习的积极性，同时培养学生善于观察分析问题、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。
当然，解决第（4）问时，有的学生发现在方程
中，等式的左边是一个乘积，右边等于18，而3
6=18，所以令8-2x=6,5-2x=3,凑出x=1，这些学生的想法很巧妙，要及时肯定。
第三环节：
做一做
活动内容：
上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x（m）满足方程
，把这个方程化为一般形式为
（1）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗?
（2）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗?
为什么?
（3）底端滑动的距离可能是2m吗?
可能是3m吗?
为什么?
（4）x的整数部分是几?
十分位是几?
活动目的：
在本环节中，使学生充分体验探求方程解的过程，这既是对上一环节的一个练习巩固，更重要的是在列表求解的过程中，引导学生先确定解的范围，从而让学生建立两边“夹逼”的思想方法，进而体会无限逼近的思想，促进学生对方程解的理解，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。
同时，对于近似解的讨论，一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力，另一方面又为方程精确解的研究做铺垫。
需要指出的是，在这一环节的计算中，应提倡学生使用计算器。
实际效果：
由于在解决上一环节问题的过程中，学生对用估算的方法求解已经有了一个初步的认识。
本环节中，我将课本中的第三问直接提前到第一问，目的是让学生体会应首先从实际生活中找到x的取值范围，学生说理情况非常不错！
然后再将找到的0＜x＜4的范围通过以下的几问继续“夹逼”，使x的范围进一步缩小。
通过这两步的“夹逼”，让学生充分体会无限逼近的思想。
附学生对第
（1）问的说理过程如下：
在此题中，我认为x的取值范围是0＜x＜4。
首先，梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在下图中，求得BC=6m,而BD＜10m,因此CD＜4m。
所以x的取值范围是0＜x＜4。
学生完成下面的表格：
x
0
1
2
3
4
x2+12x-15
-15
-2
13
30
49
同时发现：
没能在这些整数取值中找到方程的解，但却通过表格分析发现，当x的取值是1和2时，所对应代数式的值是-2和13，而且随着x的取值越大，相应代数式的值也越大。
因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间。
从而确定x的整数部分是1。
教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解。
以下分了两种不同的做法：
甲同学的做法：
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x-15
-15
-8.75
-2
5.25
13
所以1＜x＜1.5
进一步计算：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以1.1＜x＜1.2
因此x的整数部分是1，十分位是1。
乙同学的做法：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
x2+12x-15
-0.59
0.84
2.29
3.76
5.25
6.76
8.29
所以1.1＜x＜1.2
因此x的整数部分是1，十分位是1。
对于这几种做法，教师要及时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较。
通过这一练习，可要求学生整理用“夹逼”思想解一元二次方程的做题思路，并可展示课本中小亮的求解过程。
第四环节：
练习与提高
活动内容：
五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。
您能求出这五个整数分别是多少吗？
活动目的：
为了检测学生对本课教学目标的达到的情况，进一步加强知识的应用训练，我给出了课本上的这道题目，这也是上一节课中的一个数学问题的延续。
引导学生从知识获得途径、结论、应用、数学思想方法等几个方面展开，引导学生自主归纳完成，这有利于强化学生对知识的理解和记忆，提高分析和小结能力。
教学中应关注学生对五个连续整数的不同表示方法，让学生比较异同，并在比较中找出最好的表示方法。
同时这一题目也是对本节知识进行的巩固练习。
实际效果：
此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习学生基本都能准确表示出五个连续整数，但因设法的不同，所列方程各不相同。
在计算该方程的解时，很难确定x的取值范围，而且在列表的过程中，符合条件的解共有两个，教师可在学生练习中给与适当的引导和提示。
第五环节：
课堂小结
活动内容：
师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键，以及在求解（或近似解）时应注意的问题。
活动目的：
鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）
实际效果：
学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了本节课的基本思路和过程。
第六环节：
布置作业
课本37页习题2.2第1题、第2题、第3题.
第二章一元二次方程
２．用配方法求解一元二次方程
（一）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：
学生在初二上学期已经学习过开平方，知道一个正数有两个平方根，会利用开方求一个正数的两个平方根，并且也学习了完全平方公式。
在本章前面几节课中，又学习了一元二次方程的概念，并经历了用估算法求一元二次方程的根的过程，初步理解了一元二次方程解的意义；
学生活动经验基础：
在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用计算器估算一元二次方程解的过程，解决了一些简单的现实问题，感受到解一元二次方程的必要性和作用，基于学生的学习心理规律，在学习了估算法求解一元二次方程的基础上，学生自然会产生用简单方法求其解的欲望；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生用估算的方法求解一元二次方程的基础之上，提出了本课的具体学习任务：
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。
而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课《用配方法求解一元二次方程》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：
“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此，本节课的教学目标是：
１、会用开方法解形如
的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；
２、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；
３、体会转化的数学思想方法；
４、能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性。
三、教学过程分析
本节课设计了五个教学环节：
第一环节：
复习回顾；第二环节：
自主探究；第三环节：
讲授新课；第四环节：
练习提高；第五环节：
课堂小结；第六环节：
布置作业。
第一环节：
复习回顾
活动内容：
1、如果一个数的平方等于
，则这个数是，若一个数的平方等于7，则这个数是。
一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
2、用字母表示因式分解的完全平方公式。
活动目的：
通过前两个问题，引导学生复习开平方和完全平方公式，为学生后面配方法的学习作好铺垫。
实际效果：
第1和第2问选两三个学生口答，由于问题较简单，学生很快回答出来。
第二环节：
自主探究
（1）你能解哪些一元二次方程？
（2）你会解下列一元二次方程吗？
你是怎么做的？
；
；
；
。
（3）上节课，我们研究梯子底端滑动的距离
满足方程
你能仿照上面几个方程的解题过程,求出
的精确解吗?
你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里?
（合作交流）
活动目的：
利用实际问题，让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。
实际效果：
在复习了开方的基础上，学生很快口答出了第1问，为解决第二问做好了准备。
第2问让学生合作解决，学生在交流如何求原来正方形的边长时，产生了不同的方法，有的学生直接开方先求出了新正方形的边，再减增加的边长，求出原来的正方形的边长；有的同学用了方程，设原正方形的边长为
，根据题意列出了一元二次方程
然后两边开方，根据实际情况求出了原来正方形的边长，这样，再一次经历了用一元二次方程解决实际问题的过程，并初步了解了开方法在一元二次方程中的简单应用。
在第2问的基础上，学生很快解决了第3问。
但学生在解决第4问时遇到了困难，他们发现等号的左端不是完全平方式，不能直接化成
的形式，因此大部分同学认为这个方程不能用开方法解，那么如何解决这样的方程问题呢？
这就是我们本节课要来研究的问题（自然引出课题），为后面探索配方法埋好了伏笔。
第三环节：
讲授新课
活动内容1：
做一做：
（填空配成完全平方式，体会如何配方）
填上适当的数，使下列等式成立。
（选4个学生口答）
问题：
上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？
对于形如
的式子如何配成完全平方式？
（小组合作交流）
活动目的：
配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。
实际效果：
由于在复习回顾时已经复习过完全平方式，所以大部分学生很快解决四个小填空题。
通过小组的合作交流，学生发现要把形如
的式子如何配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方即加上
即可。
而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使如何配成完全平方式的方法更加透彻。
事实上，通过对配方的感知的过程，学生都能用自己的语言归纳总结出配成完全平方式的方法，这就为下一环节“用配方法解一元二次方程”打好基础。
由此也反映出学生善于观察分析的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价值观。
活动内容2：
解决例题
（1）解方程：
x2+8x-9=0.（师生共同解决）
解:
可以把常数项移到方程的右边，得
x2+8x＝9
两边都加上（一次项系数8的一半的平方），得
x2+8x＋42=9＋42.
（x+4）2=25
开平方，得x+4=±5,
即x+4=5,或x+4=-5.
所以x1=1,x2=-9.
（2）解决梯子底部滑动问题：
（仿照例1，学生独立解决）
解：
移项得x2+12x=15，
两边同时加上62得，x2+12x+62=15+36，即（x+6）2=51
两边开平方，得x+6=±
所以：
，但因为
表示梯子底部滑动的距离所以
不合题意舍去。
答：
梯子底部滑动了
米。
活动内容3：
及时小结、整理思路
用这种方法解一元二次方程的思路是什么？
其关键又是什么？
（小组合作交流）
活动目的：
通过对例1和例2的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成
形式，同时通过例2提醒学生注意：
有的方程虽然有两个不同的解，但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性，对结果进行取舍。
由于此问题在情境引入时出现过，因此也达到前后呼应的目的。
最后由问题“用这种方法解一元二次方程的思路是什么？
”引出配方法的定义。
实际效果：
学生经过前一环节对配方法的特点有了初步的认识，通过两个例题的处理，进一步完善对配方法基本思路的把握，是对配方法的学习由探求迈向实际应用的第一步。
最后利用两个问题，通过小组的合作交流得出配方法的基本思路和解决问题的关键，结论的得出来源于学生在实例分析中的亲身感受，体现学生学习的主动性。
讨论，学生发现这三种方法都正确，并且指出第一种方法可以利用平移水渠，把分割成的四部分拼在一起，构成了一个较大的矩形（如下图），然后再利用矩形的面积公式列出方程，此种方法在解决此类问题时最简单。
这样通过学生之间的争论、辩论提高了课堂效率，激发了学生学习数学的热情，达到了资源共享。
第四环节：
练习与提高
活动内容：
解下列方程
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