微积分科学出版社答案.docx
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微积分科学出版社答案
微积分科学出版社答案
【篇一：
物理微积分】
雨雾整理试用稿。
（所有信息来自互联网。
）
微积分知识自从2001年引入高中数学教材，并把它作为高考数学必考内容以来，一直到今天，高中物理教材编纂者、高考物理命题者、高中物理知识传授者对微积分知识采取的不是把它作为一种处理物理问题的方法传授给学生，而采取的是回避态度。
这一方面说明了高中物理编纂者、高考物理命题者、高中物理知识传授者思想的严重滞后，另一方面也不能真正体现数学这一学科的工具性。
一．教材编写者不要回避微积分：
在现行高中物理教材中，教材编写者在解释某些概念和推导某些公式时，为了避开微积分，致使概念含混不清，给高中学生的正常学习带来了误解。
例如：
在人民教育出版社物理室编著的全日制普通高级中学教科书（必修加选修）2002年审查通过的版本中，关于变压器原、副线圈电压关系的推导过程是这样的：
推导：
设原线圈的匝数为n1，副线圈的匝数为n2，穿过闭合铁心的磁通量为?
，原、副线圈中产生的感应电动势分别为e1、e2（如图1所示）。
e1?
n1
e2?
n2?
?
………………………⑴?
t?
?
………………………⑵?
t
图1由于是理想变压器，原、副线圈的电阻可忽略不计，故：
u1?
e1……………………………⑶
u2?
e2……………………………⑷
由以上四式得u1n1，此即为理想变压器原副线圈的电压与线圈匝数的关系?
u2n2
式。
这种方法的推导，笔者认为存在不足：
由⑴⑵两式求得的感应电动势是平均值，变压器的输入、输出电压是交流电的有效值，平均值等于有效值存在知识性错误。
笔者认为正确的方法应引入微积分，推导如下：
推导：
如上图所示，因为变压器输入的是正弦交流电，所以穿过原、副线圈的磁通量随时间按下列规律变化：
对⑸求导得?
?
?
t?
bs?
cos?
t?
?
bssin?
t………………⑸……………………⑹
由⑴⑵⑹得：
e1?
n1bs?
cos?
t…………………⑺
e2?
n2bs?
cos?
t…………………⑻
由此可知，变压器输入、输出均为正弦交流电。
又由正弦交流电有效值u和
n1bs?
?
m可知：
最大值?
的关系……………………⑼mu?
2u1?
2
u2?
n2bs?
2……………………⑽
由⑶⑷⑼⑽得u1n1?
u2n2
当然，编者可能认为在利用⑴⑵两式时，取?
t?
0，笔者认为也不妥，因为这样求得的是感应电动势的瞬时值，有效值跟瞬时值也不是一个概念。
二．高考命题者不要回避微积分：
高考命题者在高考命题时，故意避开微积分，命的题实在避不开微积分，设计的答案也是取的一些中间过程或一些特殊情况，对高中学生的正常学习是一种错误引导。
例如：
（2003年高考物理江苏卷）如图2所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0?
0.1?
?
m，导轨的端
点p、q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离
l?
0.20m。
有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁
感应强度b与时间t的关系为b?
kt，比例系数
k?
0.020t/s，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑图2
动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在t?
0时刻，金属杆紧靠在p、q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t?
6.0s时金属杆所受的安培力。
命题者设计的答案：
此题的关键是解出t时刻感应电动势的表达式。
以a表示
1金属杆运动的加速度，在t时刻，金属杆与初始位置的距离l?
at2①，此时杆2
的速度v?
at②，这时，杆与导轨构成的回路面积s?
ll③，回路中的感应电动?
b?
bk（t?
?
t）?
kts?
blv④，其中?
?
k⑤，将①②③⑤式代入④式得势e?
?
t?
t?
t
3e?
klat2。
2
?
bs?
blv；这样的解法，存在两点误区：
⑴为什么感应电动势可以写成e?
?
t
?
bs解出的应该是感应电动势的平均值，而题目中要求的是t时刻的瞬时值。
⑵?
t
再解：
由感应电动势的导数形式可得d?
d（bs）dbdsdbe?
?
?
s?
b?
s?
b⑥l。
v将①②③⑤式代入⑥式可得dtdtdtdtdt
3e?
klat2。
2
?
bdbs解出是定值，?
tdt
的感应电动势的平均值与瞬时值相等，命题者设计的答案利用了这一特殊性。
可这样的处理对高中物理教学起不到好的指导作用，如高考命题者设计答案时，利用微积分处理，一方面显得更简单明了，另一方面对高中物理教学能起到更好的引导作用。
三．高中物理教师课堂不能回避微积分：
直到今天，绝大多数的高中物理教师在课堂上碰到微积分知识处理物理问题时，采取的不是把它作为一种解决物理问题的方法教授给学生，而是采取了回避态度，这直接影响了学生理解物理问题的深度和广度。
例如：
（2000广东高考）面积很大的水池，水深为h，水面上浮
着一正方体木块。
木块边长为a，密度为水的1/2，质量为m。
开始
时，木块静止，有一半没入水中，如图所示。
现用力f将木块缓慢
地压到池底。
不计摩擦。
求
⑴从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的该图3变量。
⑵从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力f所做的功。
教师在给学生讲解此高考题时，只给学生讲解该题提供的标准答案，殊不知，这严重地束缚了学生知识面的拓展，不利于素质教育的推行。
笔者以第⑵问为例采用另一种更具有普遍意义的方
法分析：
从开始到木块刚好没入水的过程中，对木块运用动能定理得：
awf?
mg?
?
w0①，只需求出浮力做的功即可，浮?
2由于磁感应强度b随时间均匀变化（b?
kt），所以
w浮?
?
f浮ds?
a?
水ga2sds?
2a113?
水ga4?
?
水ga4?
mga②，将②代入①得力f所284
1mga。
4
在国家推行素质教育的今天，大力推广新课标，作为一名物理教育工作者，应紧跟时代步伐，充分调动学生的积极性和主观能动性。
这就要求高中物理教材编纂者、高考物理命题者把好航标，高中物理知识传授者紧紧把握航标，充分应用数学这一工具，进一步拓展学生理解问题的深度和广度。
伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：
牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。
微积分（calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
微积分最重要的思想就是用微元与无限逼近，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。
做的功wf?
1、解决变速直线运动位移问题
匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？
例1、汽车以10m/s的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？
【解析】现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式v?
v0?
at
12at就可以求得汽车走了0.025公里。
2
但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：
把物体运动的时间无限细分。
在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即?
无限求和?
，则总的位移就可以知道。
现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与
1时间轴所围图形的?
面积?
，即x?
v0t?
at2。
2
【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系x?
v0t?
v?
v0?
at?
10?
2t，从开始刹车到停车的时间t=5s，所以汽车由刹车到停车行驶的位移5ax?
?
v（t）dt?
?
（v0?
at）dt?
（v0t?
t2）?
（10t?
t2）?
0.025km00020555
小结：
此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。
对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像，找?
面积?
就可以。
或者，利用定积分就可解决.
2、解决变力做功问题
恒力做功，我们可以利用公式直接求出w?
fs；但对于变力
做功，我们如何求解呢？
例2：
如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为r的竖直
圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为?
，求物体从
轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
擦力所做的功之和可表示为：
?
wf?
?
?
nar?
?
?
（?
?
nbr?
?
）
又因为车在a、b两点以速率v作圆周运动，所以：
mv2
na?
mgsin?
?
r
mv2
nb?
mgsin?
?
r
综合以上各式得：
?
wf?
?
2?
mv2?
?
故摩擦力对车所做的功：
wf?
?
?
wf?
?
?
2?
mv2?
?
?
?
2?
mv2?
?
?
?
?
?
?
mv2
【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力ff?
?
n，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为
?
wf?
?
（?
?
nar?
?
nbr）d?
?
?
2?
2?
mv2d?
?
?
?
?
mv20
小结：
这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到的。
利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即?
无限求和?
，则总的功就可以知道。
在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。
作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。
?
微积分思想?
丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。
我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。
求解在立体斜面上滑动的物体的速度
一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数?
恰好满足?
?
tg?
，?
为斜面的倾角。
今使物体获得一水平速度v0而
滑动，如图一，求：
物体在轨道上任意一点的速度v与?
的关系，设?
为速度与水平线的夹角。
解：
物体在某一位置所受的力有：
重
?
?
?
?
力g，弹力n以及摩擦力f。
摩擦力f总是与运动速度v的方向相反，其数值
f?
?
n?
?
mgcos?
?
tg?
mgcos?
?
mgsin?
【篇二：
《高等数学
（一）微积分》通关秘籍】
《高等数学
（一）微积分》是经济管理类各专业高等专科自学考试计划中的一门重要的基础理论课程，共6学分。
本课程不仅为多门后继课程提供必要的数学基础，而且有利于数学思维的培养和科学素养的提高。
学习本课程需要具备扎实的初等数学功底和很强的逻辑推理能力。
由于很多参加自学考试的人都是业余学习，学习重点不够明确，学习方法不够科学，遇到问题无法得到及时解决，应试成绩总是差强人意，所以需要寻求助学。
而网络学习具有信息传输快速、学习资源丰富、师资阵容强大、学习成本低廉等优势，受到广大自学者的青睐。
在众多网络教育机构中，华夏大地教育网是远程学习市场的领导者，是中国成人继续教育的旗舰网站，是全国高等教育自学考试指导委员会办公室的重要合作伙伴。
华夏大地教育网拥有以教材主编为核心、学科专家为骨干、一线教师为主体的优秀师资团队；拥有先进的网络教学技术和开阔自由的网络交流平台，可为广大自学者提供自学考试、职业资格证书、计算机等级考试、管理、英语等多学科优质学习资源和学习支持服务。
得到了广大学员的普遍赞誉，连年被评为全国十佳网络教育机构。
为了帮助大家顺利通过《高等数学
（一）微积分》的考试，我结合多年的自考教学经验和华夏大地教育网教学服务实际情况，介绍一些学习经验和学习方法，供大家参考。
一、选定教材，概览目录
章学诚主编的《高等数学
（一）微积分》（武汉大学出版社出版2004年版）是全国自考办的指定教材。
该教材内容总共包括六章45节，各部分内容与试题分数的分布大致如下：
════════════════════════════════════════════════════════════════════
依据分值，教材各章排序为5、3、6、2、4、1。
二、分析大纲，熟悉样卷
考试大纲（教材431-456页）是我们教学和应试的指导性纲领。
认真分析大纲有利于我们明确各章考核的知识点和各章的重点、难点。
有利于我们在学习过程中，抓住重点，突破难点，取得事半功倍的效果。
考试样卷（教材457-460页）明确了试卷的结构即题型和分值分布。
熟悉样卷有利于我们在备考过程中熟悉考试题型和解题方法，帮助我们在考场上得心应手地发挥。
各类题型及分值分布情况详见下表：
通过对教学大纲和样卷的分析掌握，我们就可以从总体上把握课程的内容及考试要求，使我们的学习做到有的放失、事半功倍。
三、制定计划，严格实施
学习计划分为以下四个阶段：
1、基础阶段：
大部分同学多年没接触过数学，数学基础薄弱，要学习高等数学就应掌握必要的初等数学基础知识,主要包括:
三角函数、一元二次函数和方程及不等式、因式分解与乘法公式、等差数列和等比数列、常用几何公式。
其中三角函数既是重点又是难点，但同学们切忌初等数学不是考试的重点，除非你时间比较充足，否则不建议将初等数学书全部学习一遍。
重点班服务区有高等数学需要的初等数学基础知识和音视频讲解，跟着学习即可。
华夏大地教育网1s?
?
^-mp?
?
w?
?
q
2、精讲阶段：
同步学习华夏大地教育网的精讲课程和教材，完成教材例题、习题、阶段测评题。
精讲课程采取视频、音频、文字三位一体的形式，对知识点逐章逐节详细讲解，可以帮助同学们吃透考点，突破难点。
建议大家至少听两遍。
每学完一节后独立完成教材例题、教材习题和华夏大地教育网的阶段测评题。
对于教材中例题，大家不仅要理解，而且一定要亲自动手去做；教材习题带*号的可以不做为重点，待有余力时再加思考。
重点班服务区有教材习题范围和教材习题详解；阶段测评题可以在网上反复练习，附有答案。
3.串讲阶段：
学习华夏大地教育网的串讲课程，完成教材总复习题和2005年4月之后的所有真题。
串讲课程形式同精讲课程，在考前帮同学们梳理考点、提炼重点、直击难点，建议反复听讲。
真题演练一定要按照考试的要求去做，完成后进行自评，总结教训，积累经验，提高应考能力。
4.模考阶段：
听华夏大地教育网的真题解析，完成在线模拟试题。
真题解析形式也同精讲课程，是历年考题的权威讲解，剖析考点、传授答题技巧和解题思路，总结历年命题规律，预测考试风向。
通过真题解析，巩固考点，注意着重听自己做错的题目。
按照考试的要求在网上反复练习模拟试题，并根据每次模拟结果拾遗补漏，找出自己未能熟练掌握的知识点，同时也可以增加自己的实战经验，做到在实际考试时不怯场。
════════════════════════════════════════════════════════════════════
以上只是一个总体计划，大家可以结合自己的实际情况进行调整，并具体到每天的安排，这样更具有可操作性。
切记计划制定好以后一定要严格实施；
四、视频互动，伴随始终
重点班同学最期待的每周一次的视频互动，始终伴随着同学们的学习历程。
在这个虚拟的课堂里，老师为大家剖析考点，讲解重点，答疑解惑，实现师生之间、生生之间的即时音视频互动交流，形成浓厚的集体学习氛围，网学从此告别孤独！
五、应试能力，逐步提高
考前一周做题的意义已经不大，建议听串讲，全面浏览教材，熟悉基本概念，掌握主要定理，记忆重要公式，复习自己平常做错的题目。
并且注意休息，调整好心态，信心十足地迎接考试。
考试时先浏览整张试卷，注意考试时间的安排，先将自己会做的题目保证正确解出，再去解决那些比较困难的题目，考试时要有一种锲而不舍的精神，不要轻易地放弃。
同时要注意草稿纸的整洁有序，保证试卷整洁，既避免出错，又便于检查。
做完整张试卷后，全面检查一遍，例如方程根代入原方程检验、不定积分结果求导等于被积函数检验等。
同时，同学们在学习中还要注意以下问题
一、归纳总结，掌握方法
要对所学知识进行归纳整理，纵向要明确知识的前后联系，横向要了解知识的扩展。
熟练掌握解题的思路和方法，注意易混淆概念的区别和联系。
二、重视基础，触类旁通
试题的难度和分值分布为:
易20分,中等偏易40分,中等偏难30分,难10分。
考试是对大家基本概念、基本理论和基本技能的测试，故一定要注重基础，不要一味追求难题，犯方向性的错误；即优先掌握基本题型，并在此基础上力争掌握一些灵活性和综合性较强的习题，尝试一题多解，一题多变，这样就能举一反三，触类旁通。
三、遇到问题，及时解决
数学不同于其他学科，各个内容和知识点之间联系非常紧密，所以学习中遇到问题一定要及时解决，否则影响后面的学习。
遇到问题可以通过以下方式解决：
在华夏大地教育网答疑室提问，会在24小时内得到满意的答复；在重点班qq群和同学讨论；在重点班视频互动教室老师语音视频答疑。
老师喜欢提问多的同学，提出问题、解决问题就是取得进步的过程。
════════════════════════════════════════════════════════════════════
四、教辅资料，正确选择
目前针对自考的教辅资料鱼龙混杂、良莠不齐。
有些资料胡乱拼凑，远离大纲或者抄袭教材，同学们盲目使用这类资料，不仅浪费钱财更浪费时间。
我建议大家牢牢抓住教材习题、例题，历年真题和有针对性模拟试题反复练习，吃清吃透，举一反三即可。
五、及时复习，温故知新
学习中大家一定有这样的体会，学了后面的，忘了前面的。
所以建议同学们在学习新知识的同时不断的回头复习，别放到最后再复习前面的，到时无异于重新学习。
这样温习旧知识的同时，对新知识会有更深的理解和体会。
总之，高等数学
（一）是比较抽象的一门课程，各个内容和知识点之间联系紧密，纵横交错，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，所以不要押题猜题，而要全面复习。
复习时应当常问自己做得对不对？
再问做得好不好？
只有不断地归纳总结，努力搞清所学知识的内在联系，使其融会贯通，思路自然就开阔了。
最后，用我一名学生的话来结束：
选择了华夏大地你就成功了四分之一，选择了重点班你就成功了一半，另外一半就只有通过你去努力了。
相信在华夏这个享受网络享受学习的平台上，大家一定能够掌握学习方法、提高学习效率，在最短的时间里顺利通过考试。
════════════════════════════════════════════════════════════════════
【篇三：
微积分教学案例选编-金川集团有限公司】
>数学教研组
序
在多年的教学实践中，作为数学教师，我们比较苦恼的是找不到足够多的、合适的、紧密联系生活且引人入胜的教学案例。
如何让学生对数学感兴趣，让学生觉得学了数学有用，一直是数学教师的最大困扰。
回顾培训中心二十多年来采用过的高等数学教材，其中能引起学生兴趣的教学案例很少。
职大统考时期一直选用同济大学编的本科教材一至四版，2000年后则选用了几种不同版本的高职高专教材。
这些教材大多受传统微积分教材编排的影响，过于注重理论、运算技巧之类的知识，对微积分的应用介绍也仅限于在数学和物理学科问题方面，现实生活中的应用几乎没有。
学生通过教材看到的是一大堆的数学符号，看不到实际应用的案例，自然会感到学了数学没用，渐渐对数学的学习失去了动力。
在一次为朋友的孩子做辅导时，我惊喜地发现他们大学的自编教材中有许多真实、新颖的案例。
此后我又多方搜集，发现不少大学的自编教材都有些生动的、简单适用的案例。
这次选编的案例主要来自科学出版社出版的中南大学韩旭里、刘碧玉、李军英主编的《大学数学教程》第一册，湖南大学黄立宏、孟益民主编的《一元微积分》，以及高教出版社出版的吴云宗、张继开凯主编的《实用高等数学》等几个不同版本的大学教材。
此外，笔者的大学同学、安徽工业大学教授陈文波也提供了部分案例。
事实上我国从上世纪末就在大学中开展了大学生数学建模比赛，这些应该是近几年大学生数学建模的新成
果。
所选的案例真实生动，实用性强。
所用数学模型涵盖函数、极限、连续、微分、定积分、微分方程等各方面知识，教师可以根据需要选用。
既可以作为开篇故事用，也可以作为例题或思考题用。
该项目用时近两个月。
在资料整理和文字录入工作中，周立菁、王爱莲、马生章等教师均施予援手。
数学组教师共同审阅文稿并提供了部分问题的参考答案。
该项工作得以按时完成，也是学历部领导策划和督促的结果。
在此一并致谢。
学历教育部数学组何永红
2010年5月
微积分教学案例
一、函数、极限、连续部分
案例1、学生实习中遇到的困难——超市搭配销售问题市场营销专业张同学去商场实习。
经理让其推销甲、乙两种互补型产品各300个，甲10元3个，乙10元2个。
同学张将其捆绑销售，以20元5个的价格很快把商品售磬。
但经理不但没表扬反而让他赔上100元。
请你们帮助他算算帐，问题出在哪里？
若甲产品价格为20元3个，乙产品10元2个，销售任务也是各300个，按分开卖与搭配卖两种情况重新计算，结果与前面有何不同？
如果你是商场经理，你能制定一种有利于商场的搭配销售策略吗？
如果你是消费者，你能看出是否对消费者有利吗？
参考解答：
一般地讨论，设甲m个a元，乙n个b元，各有k个，且
kam
m?
k
、
bn?
n
整除
2k
k
，
m?
n
整除
2k
。
不妨设
m?
n
考查
m?
n
（a?
b）?
0
的解的情况，即可得出结论。
案例2、怎样合理避税——10万元收入分月兑现与一次性兑现一样吗？
王先生年收入不低于10万元，但老板每月仅支付其生活费3000元，其余年底根据工作考核情况一次补足。
结果造成王先生12月份纳税额急剧升高。
王先生要求单位每月先支付7000元，其余2万3
年底补足。
老板认为先发后发一样。
果真如此吗？
请你给他们计算以下。
附：
个人所得税税率表
案例3、蛛网模型
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