八年级下册期末复习三角形的证明.docx

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八年级下册期末复习三角形的证明

八年级下册期末复习三角形的证明　　　　　　　　　　　　　　　

01　　各个击破

命题点1　全等三角形的性质和判定

【例1】　（南充中考）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.

（1）求证：

BD＝CE；

（2）求证：

∠M＝∠N.

【思路点拨】　

（1）要证BD＝CE，可通过转化证△ABD≌△ACE，根据题意由“SAS”得证；

（2）要证∠M＝∠N，可通过转化证△ACM≌△ABN，由

（1）可知∠C＝∠B.因为∠2＝∠1，所以∠CAM＝∠BAN.再结合AB＝AC，即可根据“ASA”得证．

【解答】　证明：

（1）在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

∴BD＝CE.

（2）∵∠1＝∠2，

∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，

即∠BAN＝∠CAM.

由

（1），得△ABD≌△ACE，

∴∠B＝∠C.

在△ACM和△ABN中，

∴△ACM≌△ABN（ASA）．

∴∠M＝∠N.

【方法归纳】　证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者这两个角所在的三角形全等．当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时，可通过添加辅助线的方法构造全等三角形．

1．已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高的长是6cm.

2．（衡阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：

△BED≌△CFD.

证明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED＝∠CFD＝90°.

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.

在△BED和△CFD中，

∴△BED≌△CFD（AAS）．

命题点2　等腰三角形的性质与判定

【例2】　（北京中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：

∠CBE＝∠BAD.

【思路点拨】　由AB＝AC想到∠ABC＝∠C，由AD是BC边上的中线想到等腰三角形“三线合一”的性质，进而得到AD⊥BC，AD平分∠BAC，再结合BE⊥AC，就可以建立角与角之间的数量关系，使问题得解．

【解答】　证明：

方法1：

∵AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形．

∵AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.

∴∠CAD＋∠C＝90°.

∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°.

∴∠CBE＝∠CAD.

∴∠CBE＝∠BAD.

方法2：

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.

又∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.

∴∠BAD＋∠ABC＝90°.

∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°.

∴∠CBE＝∠BAD.

【方法归纳】　本题是一道利用等腰三角形三线合一的性质的证明题，解题的关键是利用等腰三角形“三线合一”灵活推导各角之间的数量关系．

3．（滨州中考）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为（D）

A．50°

B．51°

C．51.5°

D．52.5°

4．已知：

如图，在△ABC中，∠ABC，∠BCA的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.写出图中相等的线段，并说明理由．

解：

BE＝OE，CF＝OF.

理由：

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB.

∵EF∥BC，

∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB.

∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO.

∴BE＝OE，CF＝OF.

命题点3　勾股定理及其逆定理的应用

【例3】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．

【思路点拨】　由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE.在Rt△BDE中运用勾股定理求出CD，进而得出AD即可．

【解答】　在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝10.

由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°，

∴BE＝AB－AE＝10－6＝4.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得

DE2＋BE2＝BD2，

即CD2＋42＝（8－CD）2，

解得CD＝3.

在Rt△ACD中，由勾股定理，得

AC2＋CD2＝AD2，

即62＋32＝AD2，

解得AD＝3

.

【方法归纳】　折叠的问题，一定存在相等的线段或角的等量关系，要充分挖掘由折叠所隐含的数量关系．利用勾股定理建立等量关系列方程是一种常用的方法．

5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（B）

A．3，4，4B．1，

，

C.

，

，

D．3，4，7

6．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A，B.接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？

解：

由题意，得

OB＝12×1.5＝18（海里），

OA＝16×1.5＝24（海里）．

又∵AB＝30海里，

∵182＋242＝302，即OB2＋OA2＝AB2，

∴∠AOB＝90°.

∵∠DOA＝40°，

∴∠BOD＝50°.

∴另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°.

命题点4　线段的垂直平分线的性质与判定

【例4】　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF.求证：

AE＝AF.

【思路点拨】　由AD∥BC及EF垂直平分AC，由AAS证明△AOE≌△COF，得AE＝FC.再由EF是AC的垂直平分线，可以证明AF＝FC，即可得AE＝AF.

【解答】　证明：

∵AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.

∵EF⊥AC，且O是AC的中点，

∴AO＝CO，AF＝CF.

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（AAS）．

∴AE＝CF.∴AE＝AF.

【方法归纳】　线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，可以得到等腰三角形，进一步得到角相等．数学知识间有很多联系与递进关系．很多时候，解决数学题目，只是将条件往前推一步，结论再往深处推一步．

7．（毕节中考）如图，等腰三角形ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为36°．

8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F.

（1）求证：

∠FAD＝∠FDA；

（2）若∠B＝50°，求∠CAF的度数．

解：

（1）证明：

∵EF是AD的垂直平分线，

∴AF＝DF.

∴∠FAD＝∠FDA.

（2）∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC.

∵∠FDA＝∠BAD＋∠B，∠FAD＝∠DAC＋∠CAF，

由

（1）知∠FAD＝∠FDA，

∴∠B＝∠CAF.

∵∠B＝50°，

∴∠CAF＝50°.

命题点5　角平分线的性质与判定

【例5】　（黄冈中考）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：

DE＝DF.

【思路点拨】　连接AD，利用SSS得到△ABD与△ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD＝∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线的性质定理即可得证．

【解答】　证明：

连接AD.

在△ACD和△ABD中，

∴△ACD≌△ABD（SSS）．

∴∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠EAF.

∵DE⊥AE，DF⊥AF，

∴DE＝DF.

【方法归纳】　本题考查全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的基本性质，构造出基本图形，运用角平分线的性质是解题的关键．

9．

（1）填空：

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，过点D作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC，CD，AB三条线段之间的数量关系为AB＝AC＋CD；

　图1　　　　　　　　图2

（2）如图2，若将

（1）中条件“在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°”改为“在△ABC中，∠C＝2∠B”请问

（1）中的结论是否仍然成立？

证明你的猜想．

解：

（1）中的结论仍然成立．

理由：

∵AD是∠CAB的平分线，

∴将△CAB沿AD折叠，点C落在AB边上的C′处．∴△ACD≌△AC′D.

∴AC＝AC′，CD＝C′D，∠C＝∠AC′D＝2∠B.

又∵∠AC′D＝∠C′DB＋∠B，

∴∠C′DB＝∠B.

∴C′D＝C′B.

∴AB＝AC′＋C′B＝AC＋CD.

02　　整合集训

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．（南宁中考）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（A）

A．35°B．40°C．45°D．50°

2．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知△PAB的周长为14，PA＝4，则线段AB的长度为（A）

A．6B．5C．4D．3

3．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（A）

A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．角平分线上的点到角两边距离相等

4．已知直角三角形中，30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（B）

A．2厘米B．4厘米C．6厘米D．8厘米

5．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（B）

A．12B．9C．8D．6

6．（宜昌中考）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（C）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（C）

A．5B．4C．3D．2

8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：

①EF＝BE＋CF；

②∠BOC＝90°＋

∠A；

③点O到△ABC各边的距离相等；

④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn.

其中正确的结论是（A）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①③④

二、填空题（每小题4分，共24分）

9．（无锡中考）写出命题“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命题如果3a＝3b，那么a＝b．

10．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，若∠B＝50°，则∠DAC的度数是40°．

11．如果三角形三边长分别为6cm，8cm，10cm，那么它最短边上的高为8cm.

12．如图，在锐角三角形ABC中，直线PL为BC的垂直平分线，射线BM为∠ABC的平分线，PL与BM相交于P点．若∠PBC＝30°，∠ACP＝20°，则∠A的度数为70°．

13．如图，正方体的棱长为a，沿着共一个顶点的三个正方形的对角线裁截掉一个几何体之后，截面△ABC的面积为

a2．

14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点E，F，若AE＝3，AC＝5，则线段EF的长为1或7．

三、解答题（共52分）

15．（8分）已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F.请找出一组相等的线段（AB＝AC除外）并加以证明．

解：

AD＝AF.证明如下：

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.

∵DE⊥BC，

∴∠BEF＝∠DEC＝90°.

∴∠BFE＝∠D.

∵∠BFE＝∠DFA，

∴∠DFA＝∠D.

∴AF＝AD.

16．（8分）如图：

已知等边三角形ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为点M，求证：

M是BE的中点．

证明：

连接BD.

∵三角形ABC为等边三角形，且D是AC的中点，

∴∠DBC＝

∠ABC＝

×60°＝30°，∠ACB＝60°.

∵CE＝CD，

∴∠CDE＝∠E.

∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，

∴∠E＝30°.

∴∠DBC＝∠E＝30°.

∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形．

又∵DM⊥BC，

∴M是BE的中点．

17．（10分）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．

（1）求证：

△ACE≌△BCD；

（2）若AD＝5，BD＝12，求DE的长．

解：

（1）证明：

∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，

∴EC＝DC，AC＝BC，∠ACB－∠ACD＝∠ECD－∠ACD.

∴∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）∵△ACE≌△BCD，

∴∠EAC＝∠B＝45°，AE＝BD＝12.

∴∠EAD＝∠EAC＋∠BAC＝90°.

在Rt△EAD中，DE2＝AE2＋AD2＝122＋52＝169.∴DE＝13.

18．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.

（1）求证：

△ABD是等腰三角形；

（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；

（3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

解：

（1）证明：

∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，

∴DB＝DA.

∴△ABD是等腰三角形．

（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，

∴∠ABD＝∠A＝40°，

∠ABC＝∠C＝（180°－40°）÷2＝70°.

∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.

（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，∴AB＝2AE＝12，BD＝AD.

∵△CBD的周长为20，

∴BD＋CD＋BC＝20.∴AC＋BC＝20.

∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝12＋20＝32.

19．（14分）已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.

（1）如图1，若点O在BC上，求证：

AB＝AC.

（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：

AB＝AC.

（3）猜想，若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？

请说明理由．

解：

（1）证明：

过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.

又∵OB＝OC，∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL）．

∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.

（2）证明：

过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.

易证Rt△BOD≌Rt△COE（HL）．

∴∠DBO＝∠ECO.

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.

（3）不一定成立．理由：

如图3，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°.

易证Rt△BOD≌Rt△COE（HL）．

∴∠DBO＝∠ECO.

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

∴∠DBC＝∠ECB.∴∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC.

如图4，可知AB≠AC.

∴若点O在△ABC的外部时，AB＝AC不一定成立．