南邮 专业英语课程 期末论文docx.docx

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专业英语（自学）

学院：

通信与信息工程学院专业：

电子信息工程

班级：

B090110班

学号：

B09011027

姓名：

颜泽鑫

2011年12月26日

译文部分

S.J.Orfanidis,IntroductiontoSignalProcessing.PrenticeHallInternational,Inc.,

2003

清华大学出版社有影印版，2003.7,屮文书名：

《信号处理导论》

第三章离散系统

本章和下一章的讨论重点是离散系统，尤其是离散线性时不变系统。

线性时不变系统的输入输出（I/O）方程可以用输入信号与系统冲激响应的离散卷积来表不。

根据系统的冲激响应是否是有限延吋还是无限延时可以分为有限冲激响应（FIR）和无限冲激响应（IIR）两种。

本章的主要目的是为FIR滤波器设计算法。

FIR滤波算法可以分为按块（BlocktoBlock）和样值处理（SampletoSample）算法两种。

分批处理算法屮，输入信号视为一次抽样的块。

将这块信号与滤波器冲激响应卷积得到一个输出块。

如果输入序列吋限非常长或者是无限延吋，这种方法需要做些改进，比如说可以将输入信号分成多个块，每一•块的长度都可以分别处理，可以一次滤波一块,然后再把输出拼凑在一起。

样值处理算法屮，一次只处理一个抽样。

滤波器可以看作是一台状态机器，也就是说，把输入抽样与滤波器当前的状态结合起来计算当前的输岀抽样，同吋也更新滤波器的内部状态为下一次处理作准备。

当输入信号特别长的吋候，这种方法对于实时运算特别有效。

滤波器自身特性变化的自适应滤波就适合于使用这种算法。

H前的DSP芯片对这种算法也很有效。

3.1输入输出规则

离散系统所实现的就是将输入的离散抽样序列x（n）,根据一定的输入/输出（I/O）规则转换成输出序列的运算。

I/O规定了怎样由已知的输入计算输出。

样值处理方法，我们可以认为其I/O规则就是一次处理一个输入抽样。

{xq,Xj,X2»••««Xu,•••}{y（）,y】，.・•、}

按块处理的方法，输入序列划分成块，每次处理一块。

■■Xo

■yo'

Xi

H

X=

—

X2

■

■

■

•■

L1J

因此其I/O规则也就是将输入向量根据某种函数映射成输岀向量。

y=H[x]

对于线性系统，这种映射就是用矩阵H作线性变换。

线性定常系统，其变换矩阵H根据系统的冲激响应有特定的结构。

下而给出一些例子。

Fig.3.1.1Discrete-timeAystem.

例3.1.2y（n）=2x（n）+3x（n-l）+4x（n-2）

任何吋刻的输出是此前连续三个输入抽样的加权和。

在任何n时刻，线性系统必须记住前两个吋刻的抽样x（n-l）.x（n-2）,然后使用他们。

例3.1.3将长度为L=4的输入抽样｛X。

如X2M｝视为一块，例3.1.2所示的线

性系统将其转换成长度为6的输出序列。

输出序列的长度比输入序列长度大2,因为系统必须保存两个抽样，最后的两个输出可以认为是输入消失后（input-off）的过渡状态。

如果输入的抽样为L=5,那么，输出的序列为：

例3.1.4:

例3.1.2的输入输出方程也可以用下列样值处理的算法来实现:

y（n）=2x（n）+3wi（n）+4w2（n）

W2（n+l）=Wi（n）Wi（n+l）=x（n）

附加的信号wdn）、W2（n）可以视为系统的内部状态。

半前的输入结合半前的内部状态足以计算当前的输出。

由有下一个输入x（n+l）所产生的输出y（n+l）要求我们知道己经更新的内部状态。

而此时的内部状态（n+1时刻的内部状态）己经更新。

也就是说，n+1时刻,我们有：

y（n+l）=2x（n+l）+3wi（n+l）+4w2（n+l）w2（n+2）=W!

（n+l）

Wi（n+2）=x（n+l）

这样的计算是从某个时刻开始并且不断重复，我们可以归结为以下算法：

foreachnewinputxdo:

y：

二2x+3wi+4w2

w2：

=Wi

Wi：

=x

一旦内部状态的当前值在计算输出y的时候使用过以后，他们就被后两个赋值的方程更新，用来计算下一个输入的抽样。

因此｛ML、w2｝必须在一次调用到下一次调用的过程屮保存。

｛wl.W2｝更新的次序非常重要，也就是首先更新W2,接下来更新ML,以避免把正确的值覆盖。

这个和前面两个例子是同一个离散系统的等效描述方式。

究竟是采用哪-种形式取决于应用的场所，也就是要看输入序列是有限长还是无限长、输入抽样是否在接收到以后应该立刻处理还是可以延缓处理。

上面的例子实际上是用下述I/O方程描述的、具有更-•般形式的状态空间的特例：

V（n）=g（x（n）,s（n））输出方程

s（n+l）=f（x（n）,s（n））状态更新方程。

其屮s（n）是维数一定的状态方程矢量。

比如说前面的例子屮，咻）=[:

鹉]。

I/O算法根据当前已知的输入x（n）和当前的状态s（n）计算出当前的输出y（n）和下一吋刻的状态s（n+l）o也可以将它表述成下而的重复演算形式：

foreachnewinputxdo:

y：

=g（x,s）

s•二f（xs）

线性吋不变系统的状态空间实现是侖函数f和g來表述的，而f和g又是其变量的线性函数，即：

f（x/s）=As+Bx

g（x,s）=Cs+Dx

ABCD维数各不相同。

对于上例，我们有：

例3.1.5y（n）=0.5y（n-2）+2x（n）+3x（n-l）

输出由常系数差分方程递归计算得到。

任意时刻n,系统必须记住前一•个输入x（n・l）和前一个时刻的输出y（n-l）o

例3.1.6例3.1.5也可以将I/O方程表述为样值运算算法：

foreachnewinputxdo:

y:

=0.5wi+2x+3vi

Wi：

=y

Vi：

=X

它对应于所谓差分方程的直接实现形式，要求计算并且更新附加量{W1/V1}o例3.1.5所示的I/O计算规则也可与下列所谓的规范形式相对应：

foreachnewinputxdo:

wo:

=x+O.5wiy:

=2w0+3wiWi：

=W0

3.2线性与时不变性

一个系统是线性系统，则半输入是由两个抽样序列xdn）、X2（n）的线性组合时,其输出序列也是其相应输出序列的线性组合。

即：

x（n）=aiXi（n）+a2X2（n）（3.2.1）

吋，其输出为

y（n）=aiyi（n）+a2y2（n）（3.2.2）

为了验证一个系统是否是线性系统，必须分别验证三个输出序列，y（n）、yl（n）、y2何满足（3.2.2）式。

例3.2.1

y（n）=2x（n）+3和y（n）=x2（n）

若

x（n）=aiXi（n）+a2X2（n）o

则

y（n）=2[aiXi（n）+a2x2（n）]+3

而

[aiyi（n）+a2y2（n）]=ai[2xx（n）+3]+a2[2x2（n）+3]

显然输入为两个信号的线性叠加时，输出并不是两个信号单独作用时输出的线性叠加，既：

[aiXi2（n）+a2X22（n）]^[aiXi（n）+a2X2（n）]2

所以为非线性系统。

时不变系统是指系统不随时间变化血改变。

相同的输入序列，无论在何吋施加到系统上，将产生相同的输出。

输入信号延吋（右移）或提前（左移）D单位吋间，输出序列也将相应延吋（右移）或提前（左移）D单位吋间。

Fig.3-2-2TimedelaybyDsamples・

输入信号经系统先延吋后变换和输入信号先经过系统变换后的输出再延时得到的输出序列应该是一样的。

设yD（n）为先延时，后变换得到的输出。

y（n-D）为先变换，后延时得到的输出。

若yD（n）=y（n-D）,那么，该系统是时不变系统。

例3.2.2

y（n）=nx（n）

yD（n）二nxD（n）=nx（n-D）

而

y（n-D）=（n-D）x（n-D）Hnx（n-D）=yD（n）

为吋变系统。

同理，若：

YD（n）=xD（2n）=x（2n-D）

y（n-D）=x（2（n-D））=x（2n-2D）Hx（2n-D）=yD（n）

所以是吋变系统。

这是一个下采样器。

我们可以从原信号的输出和延吋信号的输出更直观的看出：

H

[Xo,Xi,x2/x3/x4/x5/X6,…]*[x0,X2/x4/x®…]

[O,xo,Xi,x2/x3,x4/x5/x&…]*[x0,Xbx3,X5,…]

第一种情况下，输入经系统变换后每两个输入丢掉丢掉一个。

下面一•种情况下，输入延时一个单位，输出同样每两个输入被丢掉一个，得到的输出并不是上而的输出延吋一个单位。

所以为吋变系统。

3.3冲激响应

（离散）线性时不变系统可以用其冲激响应序列h（n）来唯一•表征。

血冲激响应h（n）就是系统对于单位冲激输入6（n）的响应。

因此，我们有:

6（n）=>h（n）

或者说:

{1QOQ・・・}=>60小」2厂・}

若系统是时不变系统，就意味单位冲激输入延时一•段吋间，（比如说，D单位吋间），其冲激响应输出将会是大小一样，但延吋为D的输出h（n・D）。

6（r）-D）=>h（n-D）

其屮D可以正，也可以负。

0I2

Fig.3.X2DehytdtmpulscofanLT1

线性性就意味任意输入的线性组合将会产生同样的线性组合输出。

6（n）+6（n-l）+6（n-2）h（n）+h（n-l）+h（n-2）

更一般性，三个输入的加权线性组合：

x（0）6（n）+x（l）6（n-l）+x

（2）6（n-2）

将会产生同样三个输出的加权线性组合：

x（0）h（n）+x（l）h（n-l）+x

（2）h（n-2）

任意输入序列，＜x（0）,x（l）,x

（2）,…｝可以看作是延吋并且权重为单位冲激函数的线性组合。

x（n）=x（0）6（n）+x（l）6（n-l）+x

（2）6（n-2）+••-

上式屮，0则只有第一项不为零，其余各项为零。

nJ则只有第二项不为零，其余各项为零等等。

因而得到。

y（n）=x（0）h（n）+x（l）h（n-l）+x

（2）h（n-2）+••-

或写作:

（LTIForm）（3.3.2）

r（w）=Zmx（m）k（n一m）

上式又称为输出函数的LTI形式。

其实就是输入序列x（n）与滤波器冲激响应序列h（n）的离散时间卷积。

也可以说，LTI（线性时不变系统）就是一个卷积器。

一般说来，丄式中的求和m值可以扩展到负数，主要取决于输入信号。

改变求和式当屮求和项的次序，也可以写成另一种形式：

3.4FIR和IIR滤波器

离散吋不变系统根据其冲激响应是否是有限延吋还是无限延时可以分成FIR（有限冲激响应）和IIR（无限冲激响应）两类。

FIR滤波器的冲激响应仅仅延续有限长时间，也就是说，OWnWM，其余均为零。

{h0,hX/h2/—,hM,0,0,0/-}

M称为滤波器的阶数。

FIR滤波器冲激响应矢量h的长度为：

Lh=M+l

冲激响应的系数{h0,hbh2,…,hM}在不同的教科书上有不同的名称，比方说，滤波器系数、滤波器的权‘filterstaps（滤波器的节拍）。

式3.3.3乂成为卷积的直接形式。

当m>M和m<0吋，h（m）都不存在，只有0

所以3.3.3式又可以写成为：

X”）=》一m）

FIR卷积方程3.4.1

或者写成显式表达式：

y（n）=h（0）x（n）+h（l）x（n-l）+h

（2）x（n-2）+--+h（M）x（n-M）3.4.2

因此，1/0方程可以由当前的输入抽样x（n）与过去的M个抽样x（n・l）,x（n・2）,・：

x（n・M）的加权和得到。

例3.4.1

y（n）=2x（n）+3x（n-l）+4x（n-2）

可以视为二阶滤波器，滤波器的系数h=[h0,h1/h2]=[2/3,4]y（n）=h0x（n）-hiX（n-l）+h3x（n-2）

例3.4.3求下列FIR滤波器的冲激响应系数ho

y（n）=2x（n）+3x（n-l）+5x（n-2）+2x（n-3）

滤波器系数:

h=[h0/hi/h2/h3]=[2/3,5,2]为一个三阶滤波器y（n）=x（n）-x（n-4）

滤波器系数：

h=[l,0,0,0rl]为一-个四阶滤波器

半输入为冲激序列时x（n）=6（n）,输出也是冲激响应序列：

h（n）=26（n）+36（n-l）+56（n-2）+26（n-3）

和

h（n）=6（n）-6（n-4）

另一方面，IIR滤波器冲激响应h（n）吋限无限延长，（3.3.3）式的求和项无限多。

旳0=》fi（m）x（n—m）

IIR滤波方程3.4.3

I/O方程计算不可行，因为我们无法实现无限项求和。

我们只能局限于一类HR滤波器，这类滤波器系数不是任意的，而是相互之间有藕合。

这种系数与系数Z间的耦合关系又称为常系数线性差分方程。

对于这一类IIR滤波器，（3.4.3）式（IIR滤波方程）乂可以重新排列为差分方程，差分方程允许我们以递归方式计算y（n）o

专业名词部分

1.cutofffrequency截止频率

2.transitionbandwidth过渡带宽

3.symmetric对称

4.antisymmetrie反对称

5.Bilineartransformation双线性变换

6.mapping映射

7.nonlinear非线性

8.first-orderlowpass/highpassfi1ter一阶低通/高通滤波器

9.high-orderfi1ter高阶滤波器

10.magnituderesponse幅度响应

11.prototype原型

12.inversediscreteFouriertransform序列傅氏反变换

13.inversefastFouriertransform快速彳母立口十反变换

14.windowmethod窗口法

15.linearphase线性相位

16.guaranteesab订ity保证稳定性

17.lowpass低通

18.highpass高通

19.bandpass带通

20.bandstop带阻

21.transitionband过渡带

22.passband通带

23.stopband阻带

24.differentiator微分器

25.double-sided双边

26.real实部

27.imaginary虚部

28.even偶

29.odd奇

30.zeropadding补零

31.biasingerror偏移误差

32.roundingerror舍入误差

33.matrixform矩阵形式

34.twiddlefactor旋转因子

35.modulo-N模N

36.periodicextention周期延拓

putationalcost计算代价

38.merging组合

39.FFT（fastFouriertransform）快速傅立叶变换

40.shuffling重排

41.bitreversal码位倒置

42.fastconvolution快速卷积

43.zero-meanwhiteGaussiannoise零均值高斯白噪声

44.minimizing最小化

45.maximizing最大化

46.piece-wiselinear分段线性

47.time-windowing时域加窗

48.finite-duration有限长

49.samplingrate采样率

50.samplingtimeinterval采样间隔

51.rectanguldTwindow矩形窗

52.hammingwindow汉明窗

53.

windowfunction窗函数

主瓣旁瓣width主瓣宽度

sidelobelevel相对旁瓣水平frequencyresolution物理频率分辨率

putationalfrequencyresolution计算频率分辨率

61.resolvabilitycondition可分辨条件

62.initialize初始化

63.cascadeform级联型

64.register寄存器

65.canonicalform（directformll）正准型（直接二型）

66.second-order-section（SOS）二阶基本节

plexconjugatepairs复共轨对

68.quantizationeffectsindigital"Iters数字滤波器中的量化效应

69.roundofferror舍入误差

70.sample-by-sampleprocessingalgorithm逐个样木处理算法

71.digitalwaveformgenerator数字波形产生器

12.periodicsquarewave周期方波

73.sinusoidalgenerator正弦波产生器

putationaloverhead额外的计算开销

75.exponentiallydecayingsinusoid包络按指数衰减的正弦波

76.wavetablesynthesis波表合成

77.periodicsequence周期序列

78.periodicwaveformgenerator周期波形产生器

bfilter梳状滤波器

80.reverberator混响器

81・noisereduction|绦噪

82.additivenoise加性噪声

promise折衷

84.directform直接型

85.differeneeequation差分方程

86.adder加法器

multiplier乘法器feedingforward前馈feedingbacknumeratordenominatorpolynomialcoefficient

94.recursiveterm递归项

95.non-recursiveterm非递归项

96.negative负的

97.order滤波器的阶

98.internalstate内部状态

99.stateupdating状态更新

100.transferfunction传递函数