量子力学束缚态和散射态概念比较.docx
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量子力学束缚态和散射态概念比较
束缚态和散射态
量子力学的主要研究对象有两类：
束缚态散射态
束缚态：
在势阱中E由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。
散射态：
是能量连续的态，此时能量间隔趋于0,态函数是自由粒子平面波的叠加。
对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在
在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分
别处理的。
实际上二者有极其密切的联系。
下面将予以讨论
2、势阱中的束缚态
对势阱，有
V（x）=-；E（x），（0）
见右图。
在x=0处，V（x）=0。
.E0为游离态（自由态），E可取任何连续值。
E0时则可能存在束缚态，此时E取分立值。
以下讨论E■0的情况。
定态Schrodinger方程为,
积分limdx可得出势阱跃变条件,
-'（0）一；（0。
厂-（0）
与：
势垒跃变条件比较：
■-'（0）亠'（0-）=算口（0）
在x=0区域，Schrodinger方程可以写成为
‘-''（x）_一：
2=0
其中：
二、-2mE0，（E：
：
：
0）
解为e-x，可写为AexBe」，
利用边界条件可以知道以上两结论是一致的
考虑到V（—x）=V（x），要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是
一维），
（a）偶宇称态
或写成（x）=ce-x|
C为归一化因子。
现在根据跃变条件求解。
按厂的跃变条件，
-c-_c：
二-2m/2c
因此可得出粒子能量的本征值
qQ
由归一化条件p|2dx=|cf/」1，
可得出厂2刊/、丄，
L「2/m是势的特征长度。
这样归一化的束缚定态波函数可写为
■-（x）
g/L
属于能量e-f。
在Ix|_L中找到粒子的几率为
CO
2（x）|2dx=0.1353
L
（b）奇宇称态波函数可表为
由x=0点波函数连续性条件可得A=0,所以不可能存在奇宇称束
缚定态
从物理上考虑，奇宇称态在波函数x=0点必为0。
而5势阱又恰在点x=0起作用。
所以5势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见
P60思考题）。
2、势与方势的关系，'■'跃变的条件
5势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。
从5势求解更为方便。
''不连续，但粒子流密度jx连续。
乂
■:
0
在其内部，Schrodinger方程为
弓-2m（V0/E^=0
dx
考虑粒子能量E:
:
Vo情况，在势垒内部（|x|：
：
：
；）,波函数可表为
（x）=AexBe」x
其中■二..2m（Vo二E）/-。
显然'■（0^AB，而且；='••（Ae'x—Be"）。
zz
现在让V。
…•0,而对3势垒，V（x）dx=.、：
（x）dxh'（?
）
-Z-Z
若保持2V0V'（常数），则方势垒将趋于一个3势垒：
（x）禾I」用'（0=_（Ae'Be」；），：
'（_；）=二（Ae」；_Be；）得，
'■'（；）_'「'（一；）=i；A（e；-e」；）-汩（丁；-e'j
当二一；0',勺0-：
：
（保持2V0二）时，
讥J2mV0/住一0
但
'2：
r2mV0：
/2—；m/2
且当'-0时，e；1_■；
代入厂（；）丿'（-；）=叭@=-e」；）八B（e"-eV,
由'■'（；）」’（—；）=从®；-e」；）-汩（訂；-e；）得
lim；-：
'（；）」「'（-.）I-limbA（2';）亠伯（2';）I—2i'
2
二lim2，.2;（AB）
7'
即'■'（0）一'-'（0-）（0）
此恰为前述；的跃变条件。
2、束缚能级与透射振幅极点的关系
束缚能级与散射问题有着密切的关系。
下面以一维势阱为例进行分析
散射问题中我们取E0，而在势阱束缚态的E：
：
：
0。
对E>0的透射振幅，S=U+兽苹
如把E0的透射振幅解析延拓到E：
0时，我们来研究束缚能级与透射振幅极点的关系。
先讨论3函数势阱，
V（x）一和（x）,（0）
此时透射振幅由
其中kf；：
2mE/-,（E0）
（注意已将势垒透射振幅表达式中的■-）
・y
极点（一阶极点k二豊
由前可知，此恰为3势阱的唯一束缚能级。
对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关内容作业：
p8213
§3.5一维谐振子
经典物理的谐振子模型：
分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等
量子物理的谐振子模型：
黑体辐射场量子化等,
把场中的粒子看作谐振子
一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例一、势函数
选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能
点，则一维线性谐振子的势能为:
12122
V（x）kxm•x
22
m是粒子的质量
k是谐振子的劲度系数
k是谐振子的角频率
m
二、薛定谔方程及解
d-T2j?
[E-V（x）^=0dx
m'2x2]=0
理想的谐振子是一个无限深势阱。
因为|x|「:
时，V（x）「:
，'■（x）>0为束缚态。
为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数，
->x，：
-.mJ'，■-2E/-
上述方程可化为
刍X）（-牛（）"
d
这是个变系数常微分方程。
（1）先讨论>行为，求渐进解（此时■可略去）
对方程-4^'-（）-^（
d:
其解显然可以写为'■（）~e2，因为
屮'（匕）=±斛（匕），屮''（©）仝即（匕）土屮（©）^即心
根据束缚态边界条件，有■-（）~e
12
2
（2）求实际解
利用屮（E）=e±/2u（®，有,
d'-_2/2/\_2/2du
eu（）e
d©
du1_£/2
e
代入方程（4）得所满足的方程,
d2u—du
厂2d"（T）U（"°
这就是所谓的Hermite方程。
=0为方程的常点。
可在=0邻域用幕级数展开。
计算表明，一般情况下解为无穷级数。
当d时，屮^）~e-，不能满足有界条件。
为得到有界解，幕级数要求中断为一多项式。
可以证明，当=2n1时可以得出一多项式解
Un（HHn（）
11
E=En=（n）-（n）h、
2J,n=0,1,2,
卫>n岸d弹
Un（）=Hn（）=（-1）ed^e-
第二项称为n界厄米多项式，宇称为（-1）n（?
）
满足下列递推关系,
dHn（）
d
n1（）-2Hn（）2nHn」（）=0
Hn（）是的n次多项式。
'H°G）=1比内=2：
H2（）=42-2
l:
亠/2
归一化波函数为■-n（xHAe^'XHnCx）,
是一个实函数
1/2
在求归一化系数A时，要用到厄米多项式的正交关系,
oO
e‘Hn（）Hm（）d=2nn!
、「mn
所以归一化波函数为
j2nn!
駅丿
1/2
（-1）ne2
X2
/2厘^占
d（：
x）
最常用的几个态,
/、.1/2
基态,o（x）=「
122
■5：
-Xe
（偶宇称）
第一激发态，Ei
■
2
「（X）二
声J/21
-：
xe2
I历丿
X2
（奇宇称）
第二激发态，E2
=5''
'■2（X）=
/、1/2
°1/022—,=I（2gx_I2作丿
1
I-2X2
1）汀（偶
宇称）
线性谐振子波函数
线性谐振子位置概率密度
线性谐振子n=11时的概率密度分布
n=0,1,2;
道效应
虚线代表经典结果：
经典谐振子在原点速度最大，停留时间短
粒子出现的概率小；
讨论：
在两端速度为零，出现的概率最大。
①微观一维谐振子能量量子化
能量特点：
（1）量子化，等间距诈小.
⑵有零点能E^-'■
2
符合不确定关系
概率分布特点：
E②基态的性质
零点能E^1'■
2
这是束缚态的一个典型特征，是测不准原理的一个直接结果
基态位置概率分布
量子：
在x=0处概率最大
Wo（x）=|①o（x）2=_^Le£x
<■/n
在其它范围也能找到粒子
经典：
在x=0处的粒子速率最大，概率最小。
基态谐振子只允许在|x|_（||_1）的区域中运动，而|x|_-1为
经典禁区。
在|：
x^1处，势能
③跃迁有选择定则：
n=1
跃迁只能逐级进行
各跃迁发出的谱频率相同，只有一条谱线
例题：
设粒子处在一维无限深势阱中,
处于基态n=1，求粒子的动量分布。
解：
分析——由V（x）对称，解为偶宇称态，很容易求出此对称方
势阱当n=1时的波函数■-；（x）。
这是粒子按照位置的分布。
按照动量的
分布只要作Fourier变换即可
可以求得
-cosa
——I
la丿
IIa
|x|<-
2
|x|2
彳oQi
而（p）：
—1（x）^PXdx
<2^'
、i°°
或f（k）：
-一-\（x）eJ冷2_
其中
100f（kr^,
1/2
=
（2）
i二X
2eae
a2
21二ix（二」）
e
a2_,
.H
-4—xa
.ikx|
——edx
dx
a/2
-al2
ix（二_k）
ea
兀
i（——k）
a
Jx（_k）ea
n
i（—k）
a
（注意：
这里不能用3函数来表示上述积分）
-a兀
2isin—（——k）
2a
JI
」Lk）
kaco辽2-（ak）2
eV^）'
i（—+k）a一
a兀"I
2isin—（—+k）
2a
4a二
2“・
|f（k）|2r-（ak）2）2
2kaCOS-
作业：
P81-826,8,11
JI
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