《22用配方法解一元二次方程》同步练习含答案解析.docx

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《22用配方法解一元二次方程》同步练习含答案解析

《2.2用配方法解一元二次方程》

一、选择题

1．用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（　　）

A．（x﹣2）2=11B．（x+2）2=11C．（x﹣4）2=23D．（x+4）2=23

2．将代数式x2+6x﹣3化为（x+p）2+q的形式，正确的是（　　）

A．（x+3）2+6B．（x﹣3）2+6C．（x+3）2﹣12D．（x﹣3）2﹣12

3．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（　　）

A．（x﹣2）2=3B．（x+2）2=3C．（x﹣2）2=1D．（x﹣2）2=﹣1

4．用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　）

A．（x﹣2）2=3B．2（x﹣2）2=3C．2（x﹣1）2=1D．

5．已知M=

a﹣1，N=a2﹣

a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　）

A．M＜NB．M=NC．M＞ND．不能确定

6．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　）

A．﹣30B．﹣20C．﹣5D．0

7．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（　　）

A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=1

8．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　）

A．（x﹣3）2=14B．（x﹣3）2=4C．（x+3）2=14D．（x+3）2=4

9．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（　　）

A．（x+2）2=1B．（x+2）2=7C．（x+2）2=13D．（x+2）2=19

10．对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（　　）

A．非正数B．非负数C．正数D．负数

二、填空题

11．将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为　　．

12．若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=　　．

13．若a为实数，则代数式

的最小值为　　．

14．用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣　　）2=　　．

15．已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016=　　．

16．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为　　．

17．若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是　　．

18．将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为　　．

19．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=　　．

20．若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2﹣3，则b﹣a=　　．

三、解答题

21．解方程：

（1）x2+4x﹣1=0．

（2）x2﹣2x=4．

22．“a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：

x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：

（1）填空：

因为x2﹣4x+6=（x　　）2+　　；所以当x=　　时，代数式x2﹣4x+6有最　　（填“大”或“小”）值，这个最值为　　．

（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．

23．阅读材料：

若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：

∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0

∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；

（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．

24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：

求代数式y2+4y+8的最小值．

解：

y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4

∵（y+2）2≥0

∴（y+2）2+4≥4

∴y2+4y+8的最小值是4．

（1）求代数式m2+m+4的最小值；

（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；

（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：

当x取何值时，花园的面积最大？

最大面积是多少？

《2.2用配方法解一元二次方程》

参考答案与试题解析

一、选择题

1．用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（　　）

A．（x﹣2）2=11B．（x+2）2=11C．（x﹣4）2=23D．（x+4）2=23

【考点】解一元二次方程-配方法．

【专题】计算题．

【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可．

【解答】解：

方程x2﹣4x﹣7=0，变形得：

x2﹣4x=7，

配方得：

x2﹣4x+4=11，即（x﹣2）2=11，

故选A

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

2．将代数式x2+6x﹣3化为（x+p）2+q的形式，正确的是（　　）

A．（x+3）2+6B．（x﹣3）2+6C．（x+3）2﹣12D．（x﹣3）2﹣12

【考点】配方法的应用．

【分析】利用配方法的一般步骤把原式变形即可．

【解答】解：

x2+6x﹣3

=x2+6x+9﹣12

=（x+3）2﹣12，

故选：

C．

【点评】本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2，配方法的关键是：

先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

3．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（　　）

A．（x﹣2）2=3B．（x+2）2=3C．（x﹣2）2=1D．（x﹣2）2=﹣1

【考点】解一元二次方程-配方法．

【专题】计算题．

【分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断．

【解答】解：

方程x2﹣4x+1=0，

变形得：

x2﹣4x=﹣1，

配方得：

x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，

故选A．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

4．用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　）

A．（x﹣2）2=3B．2（x﹣2）2=3C．2（x﹣1）2=1D．

【考点】解一元二次方程-配方法．

【专题】计算题．

【分析】利用配方法得到（x﹣1）2=

，然后对各选项进行判断．

【解答】解：

x2﹣2x=﹣

，

x2﹣2x+1=﹣

+1，

所以（x﹣1）2=

．

故选C．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：

将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

5．已知M=

a﹣1，N=a2﹣

a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　）

A．M＜NB．M=NC．M＞ND．不能确定

【考点】配方法的应用；非负数的性质：

偶次方．

【分析】将M与N代入N﹣M中，利用完全平方公式变形后，根据完全平方式恒大于等于0得到差为正数，即可判断出大小．

【解答】解：

∵M=

a﹣1，N=a2﹣

a（a为任意实数），

∴

，

∴N＞M，即M＜N．

故选A

【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

6．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　）

A．﹣30B．﹣20C．﹣5D．0

【考点】解一元二次方程-配方法．

【专题】计算题；一次方程（组）及应用．

【分析】原式利用完全平方公式配方后，确定出最小值即可．

【解答】解：

x2﹣10x+5=x2﹣10x+25﹣20=（x﹣5）2﹣20，

当x=5时，代数式的最小值为﹣20，

故选B

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

7．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（　　）

A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=1

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．

【解答】解：

x2+4x﹣5=0，

x2+4x=5，

x2+4x+22=5+22，

（x+2）2=9，

故选：

A．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．

8．一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　）

A．（x﹣3）2=14B．（x﹣3）2=4C．（x+3）2=14D．（x+3）2=4

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．

【解答】解：

x2﹣6x﹣5=0，

x2﹣6x=5，

x2﹣6x+9=5+9，

（x﹣3）2=14，

故选：

A．

【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：

先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．

9．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（　　）

A．（x+2）2=1B．（x+2）2=7C．（x+2）2=13D．（x+2）2=19

【考点】解一元二次方程-配方法．

【专题】计算题．

【分析】把方程两边加上7，然后把方程左边写成完全平方式即可．

【解答】解：

x2+4x=3，

x2+4x+4=7，

（x+2）2=7．

故选B．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：

将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

10．对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（　　）

A．非正数B．非负数C．正数D．负数

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用偶次方的性质得出答案．

【解答】解：

﹣x2+4x﹣5

=﹣（x2﹣4x）﹣5

=﹣（x﹣2）2﹣1，

∵﹣（x﹣2）2≤0，

∴﹣（x﹣2）2﹣1＜0，

故选：

D．

【点评】此题主要考查了配方法的应用，正确应用配方法是解题关键．

二、填空题

11．（2016•荆州）将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为　（x+2）2+1　．

【考点】配方法的应用．

【分析】直接利用完全平方公式将原式进行配方得出答案．

【解答】解：

x2+4x+5

=x2+4x+4+1

=（x+2）2+1．

故答案为：

（x+2）2+1．

【点评】此题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．

12．若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=　1　．

【考点】配方法的应用．

【专题】计算题；整式．

【分析】已知等式左边配方得到结果，即可确定出m的值．

【解答】解：

已知等式变形得：

x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=（x﹣2）2+1=（x﹣2）2+m，

则m=1，

故答案为：

1

【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

13．若a为实数，则代数式

的最小值为　3　．

【考点】配方法的应用；非负数的性质：

偶次方；二次根式的性质与化简．

【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．

【解答】解：

∵

=

=

≥3，

∴代数式

的最小值为3，

故答案为：

3．

【点评】本题考查二次函数的性质的应用，配方求代数式最值的方法．

14．用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣　1　）2=　

　．

【考点】解一元二次方程-配方法．

【专题】计算题；一次方程（组）及应用．

【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，配方得到结果，即可作出判断．

【解答】解：

方程整理得：

x2﹣2x=﹣

，

配方得：

x2﹣2x+1=

，即（x﹣1）2=

，

故答案为：

1；

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

15．已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016=　1　．

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．

【解答】解：

由（x+m）2=3，得：

x2+2mx+m2﹣3=0，

∴2m=4，m2﹣3=n，

∴m=2，n=1，

∴（m﹣n）2016=1，

故答案为1．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

16．设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为　3　．

【考点】配方法的应用；代数式求值．

【专题】配方法．

【分析】题中有﹣8xy，2x应为完全平方式子的第二项，把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数．

【解答】解：

原式=（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）=4（x﹣y）2+（x+1）2+3，

∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，

即原式=0+0+3=3，

∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．

故答案为：

3．

【点评】考查配方法的应用；根据﹣8xy，2x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．

17．若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是　

　．

【考点】配方法的应用；非负数的性质：

偶次方．

【分析】由a+b2=1，得出b2=1﹣a，代入得到a2+b2=a2+1﹣a，利用配方法即可求解．

【解答】解：

∵a+b2=1，

∴b2=1﹣a，

∴a2+b2=a2+1﹣a=（a﹣

）2+

≥

，

∴当a=

时，a2+b2有最小值

．

故答案为

．

【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，将b2=1﹣a代入得到a2+b2=a2+1﹣a是解题的关键．

18．（2016春•石景山区期末）将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为　﹣5　．

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】将x2+6x+4利用配方法转化为（x+3）2﹣5，然后根据（x+3）2≥0可得多项式x2+6x+4的最小值．

【解答】解：

∵x2+6x+4=（x+3）2﹣5，

∴当x=﹣3时，多项式x2+6x+4取得最小值﹣5；

故答案为﹣5．

【点评】本题考查了配方法的应用．解答该题时，利用了配方法求多项式或二次函数的最值是常用方法．

19．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=　12　．

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】先移项，再配方，变形后求出a、b的值，即可得出答案．

【解答】解：

x2﹣6x+5=0，

x2﹣6x=﹣5，

x2﹣6x+9=﹣5+9，

（x﹣3）2=4，

所以a=3，b=4，

ab=12，

故答案为：

12．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．

20．若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2﹣3，则b﹣a=　3　．

【考点】配方法的应用．

【专题】计算题．

【分析】代数式配方得到结果，确定出a与b的值，即可求出b﹣a的值．

【解答】解：

根据题意得：

x2﹣6x+b=（x2﹣6x+9）+b﹣9=（x﹣3）2+b﹣9=（x﹣a）2﹣3，

可得a=3，b﹣9=﹣3，

解得：

a=3，b=6，

则b﹣a=3．

故答案为：

3．

【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

三、解答题

21．解方程：

（1）x2+4x﹣1=0．

（2）x2﹣2x=4．

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】

（1）利用配方法即可解决．

（2）利用配方法即可解决．

【解答】解：

（1）∵x2+4x﹣1=0

∴x2+4x=1

∴x2+4x+4=1+4

∴（x+2）2=5

∴x=﹣2±

∴x1=﹣2+

，x2=﹣2﹣

．

（2）配方x2﹣2x+1=4+1

∴（x﹣1）2=5

∴x=1±

∴x1=1+

，x2=1﹣

．

【点评】本题考查一元二次方程的解法，记住配方法的解题步骤是解题的关键，属于中考常考题型．

22．“a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：

x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：

（1）填空：

因为x2﹣4x+6=（x　﹣2　）2+　2　；所以当x=　2　时，代数式x2﹣4x+6有最　小　（填“大”或“小”）值，这个最值为　2　．

（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．

【考点】配方法的应用；解一元二次方程-配方法．

【分析】

（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；

（2）利用求差法和配方法解答即可．

【解答】解：

（1）x2﹣4x+6=（x﹣2）2+2，

所以当x=2时，代数式x2﹣4x+6有最小值，这个最值为2，

故答案为：

﹣2；2；2；小；2；

（2）x2﹣1﹣（2x﹣3）

=x2﹣2x+2；

=（x﹣1）2+1＞0，

则x2﹣1＞2x﹣3．

【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意偶次方的非负性的应用．

23．阅读材料：

若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．

解：

∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0

∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；

（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；

（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．

【考点】配方法的应用；非负数的性质：

偶次方．

【分析】

（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；

（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；

（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．

【解答】解：

（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，

∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，

∴（a+3b）2+（b+1）2=0，

∴a+3b=0，b+1=0，

解得b=﹣1，a=3，

则a﹣b=4；

（2）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，

∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，

∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，

则a﹣1=0，b﹣3=0，

解得，a=1，b=3，

由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，

∴△ABC的周长为1+3+3=7；

（2）∵x+y=2，

∴y=2﹣x，

则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，

∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，

∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，

则x﹣1=0，z+2=0，

解得x=1，y=1，z=﹣2，

∴xyz=2．

【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．

24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：

求代数式y2+4y+8的最小值．

解：

y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4

∵（y+2）2≥0

∴（y+2）2+4≥4

∴y2+4y+8的最小值是4．

（1）求代数式m2+m+4的最小值；

（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；

（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：

当x取何值时，花园的面积最大？

最大面积是多少？

【考点】配方法的应用；非负数的性质：

偶次方．

【专题】计算题．

【分析】

（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；

（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；

（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．

【解答】解：

（1）m2+m+4=（m+

）2+

，

∵（m+

）2≥0，

∴（m+

）2+

≥

，

则m2+m+4的最小值是

；

（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，

∵﹣（x﹣1）2≤0，

∴﹣（x﹣1）2+5≤5，

则4﹣x2+2x的最大值为5；

（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，

∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，

∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，

∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，

则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．

【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．