高中数学 空间几何体案例分析教案 新人教A版必修2.docx
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高中数学空间几何体案例分析教案新人教A版必修2
案例：
柱、锥、台、球的结构特征
第一步：
出示案例
教学目标
1知识目标：
由学生对棱柱、棱锥、棱台的图片及实物进行观察、比较、分析，使学生理解并能归纳出棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
2能力目标：
在棱柱、棱锥、棱台的概念形成过程中，培养学生的观察、分析、抽象、概括能力，立体直观能力，合情推理能力及类比的思想方法，逐步培养探索问题的精神，善于思考的习惯。
3情感目标：
通过创造情境激发学生学习数学的兴趣和热情，鼓励合作交流、互助交流，培养创新意识。
重点难点
1教学重点：
感受大量空间实物及模型，概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
2教学难点：
怎样让学生概括棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
教学方法与手段
1教学方法：
启发式教学法、对话式教学法。
2教学手段：
多媒体，实物模型。
课前准备
1学生的学习准备：
课前学生预习过本节课的内容，自制柱、锥、台的几何模型教具。
2教师的教学准备：
较多的物体模型，本节课的教学课件。
教学过程
1创设情境，激情入题
（1）利用多媒体出示大量的世界经典建筑物的图片（包括章头图），引导学生领悟章头图和章引言的重要性，并明确几何学研究的内容，几何学在数学研究和数学应用中的地位和作用，本章学习的内容，及如何去学习本章的内容。
（2）给出大量的生活中常见的物体的图片，结合这些幻灯片给出空间几何体的概念：
如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
并指出：
本节课主要从结构特征方面认识一些最基本的空间几何体。
设计意图：
作为一章的起始课，重视编者精心打造的章头图和章引言，充分发挥它的价值，荷兰数学教育家弗莱登塔尔曾经说过：
“数学是现实的，学生从现实生活中学数学，再把学到的数学用到现实生活中去。
”希望通过这一环节的设计，让学生有一种放眼世界的胸怀，体会到数学与生活是密不可分的，并能激起学习的兴趣和热情。
2提出问题，探索新知
问题1：
同学们能否将图1中的16个物体进行分类？
（要求从物体的结构特征方面考）
图1（教材上的原图，充分利用教材）
考虑到学生对结构和特征的概念比较模糊，教师给出汉语词典中结构与特征的描述，并结合图片中的图
（1）和图
（2）进行解释，学生经过提示后，较快、较好地解决了问题。
在此基础上引领学生概括出共性的结论，从而得出多面体和旋转体的定义，并一起得出相关的概念。
其中对于旋转体的分析，借助于多媒体，进行动画演示，以使学生对概念理解得更为透彻。
设计意图：
借助具体的实物图及实物，引导学生主动地对图形及实物进行观察、分析、比较，并由图形的特点进行分类，根据不同类别图形的特点，抽象概括出多面体和旋转体的定义，培养学生的观察、分类、概括的能力。
上图中的物体大体可分为两大类.其中
（2）,（5）,（7）,（9）,（13）,（14）,（15）,（16）具有相同的特点:
组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形；
（1）,（3）,（4）,（6）,（8）,（10）,（11）,（12）具有相同的特点:
组成它们的面不全是平面图形.
多面体:
把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体
简单几何体的分类：
旋转体:
把由一个平面图形绕它所在平面内的一条直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴.
教师：
通过分类同学们认识了多面体和旋转体的概念，为了加深对概念的理解，同学们可以想象一下多面体和旋转体各自有哪些要素组成？
请同学们自己总结归纳。
接下来我们对刚才图片中总结出的多面体进行研究，探索，分类。
问题2：
请同学们观察图1中的四个多面体
（2）、（5）、（7）、（9），再结合你们自制的模型，发现它们有何特征？
经过学生的观察、讨论，得出它们具有三个特征：
①有两个面互相平行，②其余各面都是四边形，③每相邻两个四边形的公共边都互相平行，教师指出具有这三个特征的多面体叫做棱柱。
得出定义后，师生共同研究棱柱的相关定义：
棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点，棱柱的表示，棱柱的分类。
（这一部分在ppt中演示）。
底面
侧棱
3设计问题，深化概念
问题1：
如图2，一个长方体，你能说出它的底面吗？
教师：
同一个几何体由于所选平行平面的不同，得出的结论也不同。
定义中有两个面平行中的“有”的含义是：
存在，不一定唯一。
图2
问题2：
如图3，长方体ABCD—A′B′C′D′中被截去一部分，其中FG∥A′D′，剩下的几何体是什么？
截去的几何体是什么?
你能说出它们的名称吗？
一部分学生的回答不是棱柱，但在另一部分学生的提示下，得出了正确答案：
分别是五棱柱和三棱柱。
教师：
判定一个几何体是否为棱柱的思路：
选定一组平行平面后，按定义考查其他条件。
若条件满足，可下肯定结论；若不满足，不要急于否定结论，可再选另一组平行平面，按定义再次验证。
总之，观察问题一定要周到、仔细、全面。
问题3：
有两个互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？
此题较难，学生不易想到，在他们思索一会儿，举不出反例的情况下，教师给出图4的反例，让学生讨论。
设计意图：
考虑到学生的基础较好，设计了三个问题让学生深入理解棱柱的概念，在撇杨合情推理能力的同时，适当进行思辨论证。
图4
4类比学法，合作交流
在对棱柱的定义有了较为深刻的认识后，教师提供图片和实物，将棱锥、棱台的结构特征这部分的内容放手给学生自行完成，让学生类比棱柱结构特征的研究，通过合作学习，自主探索出棱锥和棱台的结构名称、分类标准及表示方法，培养学生自主学习、合作交流的能力。
经过一定时间的观察、分析、讨论、交流，学生作探讨后的汇报，教师及时点评，得出棱锥和棱台的结构名称、分类标准及表示方法，并将内容进行板演。
教师给出以下两名人对类比的描述，强调类比思想的重要性。
开普勒说：
“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。
”
波利亚曾经指出：
“类比是一个伟人的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。
”
设计意图：
通过学生对图片与实物的观察、分析、比较，类比棱柱的联系与区别，得出棱锥和棱台的结构特征，培养学生的自主学习能力，独立思考的习惯，通过比较学习，便于知识的建构。
借助名人名言，适当渗透人文主义精神。
5应用整合，强化新知
例1下面图形中，为棱锥的是（）
（1）
（2）（3）
教师：
判断的标准是定义。
例2判断下列几何体是不是棱台，并说明为什么？
（参考p9的第二题）
教师：
由棱台的定义我们可以得到：
①棱台的下底面＞上底面；②棱台的所有侧棱延长后交于一点。
③树立“还台为锥”意识。
设计意图：
深化棱锥、棱台的概念。
6设置探究，感悟哲学
探究:
棱台与棱柱、棱锥都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？
三者的关系如何？
当底面发生变化时，它们能否相互转化？
经过学生的讨论，得结论：
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，从相互联系的观点看：
棱台的上底面扩大，使上下底面全等，就得到棱柱：
棱台的上底面缩小为一个点，就得到棱锥。
上底缩小
上底扩大
教师在学生分析过程中，借助几何画板动画演示，并指出：
这三者之间的关系，也渗透了哲学思想：
量变到质变。
棱锥的上底面慢慢变大，量慢慢在增加，增到一定程度，变成台、柱，质也发生了变化，而我们人的学习就是和一个量变到质变的过程，从幼儿园、小学、初中、高中，我们个人的素质随着不断学习在发生变化，数学的学习又何尝不是如此。
现在有的同学觉得自己学数学没有信心，要树立信心，要努力学习，不断思考，增加自己数学学习的经验，慢慢的你的成绩会上来，最关键的是你的数学素养会提升，你的思维能力会提高。
设计意图：
一是引导学生用运动、变化、联系的观点看待我们所研究的柱体、椎体、台体；二是通过在直观感知方式的基础上，适当进行一些合情推理、思辨论证，通过对空间图形的认识，培养和发展学生的空间想象能力；三是渗透人文主义精神。
7谈谈感受，归纳整理
让学生充分讨论并发表自己的意见，师生共同交流、总结。
1知识方面：
①多面体和旋转体的定义②棱柱、棱锥和棱台的结构特征③棱柱、棱锥和棱台三者的联系
2能力方面：
几何直观能力的培养，口头表达能力的培养；合情推理能力是培养；思辨论证能力的培养
3思维：
我们从图形的逐次分类中，感受了怎样去处理问题，更清晰的形成了处理问题的方法，怎么去分类，明确了事物分得越细，它们所具有的共性更一致，而且在这个过程中我们的思维经历了几个层次的变化：
从整体到局部，从具体到抽象，从形象思维到逻辑思维。
教师：
数学家迪摩根说过：
“数学发明创造的动力不是推理，二是想象力的发挥。
”而想象力在几何上的一个表现就是直观能力，是归纳、类比的合情推理能力。
这节课我们一直沉静在这些能力培养的氛围中，希望同学们在今后的学习中注重这些能力的培养。
设计意图：
通过对本节课的小结，让学生构建自己知识结构。
作业设计
（1）习题1.1A组第一题
（2）预习下节课内容
第二步：
案例分析前的工作单
1维果茨基的社会建构主义是怎样的？
2什么是问题解决？
问题解决的一般模式是什么？
3数学概念的学习方式有哪些？
概念有几种定义？
4概念的理解包括哪些内容？
5在概念的教学过程中，重要的一个部分是“将概念纳入它所处的概念体系中去”，你做何理解？
请举例说明。
6多面体（柱、锥、台）概念的概念体系？
第三步：
案例分析
1新课程理念指导下的课堂教学
（1）基于维果茨基的社会建构主义（《数学教育展望》，徐斌艳，华东师范大学出版社）
维果茨基的社会建构主义侧重文化和语言等知识工具的传播数学的学习被看做是知识的社会建构过程，他们从以下几方面加以论证：
1知识的基础是语言知识、约定和规则，而语言则是一种社会的建构。
2人类知识、规则和约定对某一领域知识真理的确定和判定起着关键作用。
3个人主观知识经发表而转化为使他人有可能接受的客观知识。
4发表的知识需经他人的审视和评判，才有可能重新形成并成为人们接受的客观知识。
5无论是在主观知识的建构和创造过程中，还是参与对他人发表的知识进行评判并使之再形成的过程中，个人均能发挥自己的积极作用。
针对以上论证勾画出下图关于知识的社会构建的循环过程：
知识的社会建构
在这一循环过程中，新知识的形成首先源于个人对新知识的主观建构，即个人通过自身的创造过程，在其主观知识的基础上，对客观知识的积累发挥潜在的作用。
这一理念告诉我们发挥学生主观能动性的重要，强调数学学习中学生的主动建构性，要让学生有机会利用自己已有的经验去建构新的数学概念。
与传统的课堂教学相比有质的区别，它突显了学生的主体地位。
（2）问题解决及一般模式（《数学教育展望》，徐斌艳，华东师范大学出版社）
不同人对问题解决的定义是不同的。
在这里我们引用纽厄尔与西蒙的定义：
问题解决是为寻求某一问题的既定状态与目标状态之间的路径。
我国著名的教学论专家高文教授将问题解决过程归纳为5个阶段：
问题识别与定义、问题表征、策略选择与应用、资源配置、监控与评估。
如下图
问题解决的一般模式
①所谓问题识别或问题确认是指必须意识到自己正面临着一个问题。
在确认问题的存在后，还必须正确地定义问题，因为只有意识到问题的存在并正确地定义问题后，才有可能解决问题。
②问题表征的形式是多样化的，既可以是语义的，也可以是表象的；既可以在头脑中编码，也可以利用纸、笔等其他工具编码。
③问题解决的策略是多种多样的，同一问题可采用不同策略了解决。
策略的选择主要依据问题的性质和内容以及问题解决者的知识与经验。
④合理分配资源是有效解决问题的关键。
⑤监控可以理解为问题解决者对问题解决全过程的把握和关注，而评估则是问题者对问
题解决进程及其结果的质量做出评定。
学习数学不仅要在理解的基础上掌握知识，更要掌握探索和解决所认知问题的方法。
数学解决问题能力的发展是数学学习的主要任务。
有效地进行问题解决的学习，有助于增进数学思维能力，培养创造性精神。
数学教育领域非常强调问题取向的教学模式，也就是在教学改革中必须将学生的概念表象与原有经验联系起来，在问题解决中给学生更多的独立空间。
2分析“柱、锥、台、球的结构特征”的教学设计
（1）教学目标的确定
从知识、能力、情感三个维度分析，让学生得到了全面发展的可能，并且在强调“双基”的同时，也培养了学生探索问题的精神和合作交流的意识。
（2）教学方法的选择
充分利用现代多媒体，在讲练结合的同时，以动态直观的图片展示给学生，增强了学生的几何直观能力。
（3）教学过程的分析
①关于概念教学
问题1什么是概念教学？
事物在数量关系和空间形式方面的共同本质属性
问题2数学概念的基本成分是什么？
概念有几种定义？
名称、定义、示例（正例、反例）、属性（内涵）、外延、概念的表现形式。
外延：
是概念对象的全体，这个全体就是包含概念的全体范围。
如：
有理数和无理数统称为实数。
概念的定义有：
属种定义、发生式定义、关系定义、外延定义。
问题3数学概念的学习方式有几种？
概念的形成与概念的同化
概念的形成过程：
观察实例→分析其共同本质属性→抽象本质属性→确认本质属性→概括定义→符号表示→具体应用
概念同化的过程：
揭示本质属性→讨论特例→新旧概念的联系→实例辨认→具体运用
问题4概念的形成与同化在概念教学中有怎样的联系？
二者的关系体现在概念教学中的综合应用
问题5概念的理解包括哪些内容？
结合“柱、锥、台、球的结构特征”中的棱柱为例进行分析
Ⅰ字面理解：
①有两个面互相平行，②其余各面都是四边形，③每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
Ⅱ实质理解：
定义中有两个面平行中的“有”的含义是：
存在，不一定唯一。
Ⅲ反面理解：
举反例（如图4）
Ⅳ分类理解：
概念将棱柱分为两类，直棱柱和斜棱柱等，外延清晰
Ⅴ直观理解：
图形结合
问题6在概念教学的过程中，重要的一个部分是“将概念纳入它所处的概念体系中去”，你做何理解？
请举例说明。
指明概念的内涵及外延后，及时建立相关概念间的联系，明确概念间的关系，将新概念纳入到概念体系中去。
我们用多面体棱柱、棱锥和棱台的关系来说明：
如下图
上底缩小
上底扩大
通过上图我们可以得出关系：
棱台的上底面扩大，使上下底面全等，就得到棱柱：
棱台的上底面缩小为一个点，就得到棱锥。
由此知概念形成过程中，概念之间是有本质联系的，通过概念之间渗透加深对概念的理解。
问题7概念教学的一般过程
对感性材料的抽象概括（如本案例教学中图片的呈现）
↓
给出概念的定义（教师给出关键词让学生通过合情推理得出定义）
↓
揭示概念的本质属性（教师针对学生给出的定义进一步引导概括）
↓
辨认概念的正例与反例（第三环节图2和图4从正反例辨认加深概念的理解）
↓
实际应用强化概念（课后习题的练习使得概念加以强化）
↓
建立新旧概念的联系形成概念体系（把平面几何和立体几何结合）
②教学过程分析
（1）图片展示拉近了数学与学生的距离
在教学中呈现了众多建筑图片，众多建筑图片的展示是对世界文化遗产的关注，也是对科学精神的弘扬，众多生活中物体图片的展示，让学生感受到数学就在我们的身边，感受到数学与生活的密不可分，教学中穿插的德育教育，哲学思想的渗透，无不体现人文主义。
这些更能够引起学生对数学学习的兴趣和热情，激发学生积极主动探索数学知识的精神。
（2）突出以几何直观能力为主的各方面能力的培养
课前教师要求学生自己制作出柱体、椎体、台体的模型，在制作过程中学生建立了较强的空间感，在知识的学习过程中学生体会到了几何体的构造及生成过程，这些过程如同让学生真正地进入了立体空间，学生可以从不同的角度观察所作的几何体，在所制作出来的立体图形中穿行，这增加了学生立体几何的兴趣，学生自己制作立体图形，也能激发他们的成就感。
教学中，教师对于柱、锥、台的结构特征的获得一直引导学生观察手中的模型，通过模型与图片的观察得出定义，让学生在发现中获取，在创造中学习，在成功中升华。
也呼应了问题取向的教学模式，培养了学生的问题解决意识，增强了学生的自我效能感。
（3）教学中渗透着浓浓的数学文化
教师在教学中引用了开普勒和波利亚等人的名言警句，让学生体会到了数学家在数学教育和研究中是如何应用这些数学思想的。
这些渗透着数学思想的数学文化激励着学生去探索运用数学知识。
（4）给学生充分探索和交流的机会，促进自主、合作的学习方式的形成
保罗·弗莱雷指出：
“没有了对话，就没有了交流；没有了交流，也就没有了真正的教育。
”在新课程背景下的课堂教学本身就是一种对话的过程，就是引导学生与客观世界的对话；与他人对话；与自我对话并且通过这种对话，形成一种活动性、合作性、反思性的学习。
本设计在具体的实践过程中，一直倡导这一思想，每一个定义的得出，每一个问题的解决，都经过生生、师生的对话，在这个过程中，强化了学生在数学学习过程中的主体地位，突出自主、合作学习方式，如棱锥、棱台结构特征的学习，给学生留有充分的思考与交流的时间和空间，让学生经历观察、实验、猜测、验证、推理、交流、反思等活动，为改进数学学习的方式提供必要的保证。
2不足之处及建议
（1）本节课属于概念教学，本课例学生要学习的是空间立体几何，学生在学习本课时，通过观察实物抽象出空间图形是容易的，但要上升到用数学语言定义空间图形就比较困难。
教师在课前直接呈现图片，导入的内容未免太突兀。
建议：
这样安排将数学中抽象出来的图形还可以还原为生活中所出现的物体，加强了与现实的联系。
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