直线与圆知识点总结与例题.docx

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直线与圆知识点总结与例题

直线和圆知识点总结

1、直线的倾斜角：

（1）定义：

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，

如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就

叫做直线的倾斜角。

当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；

（2）倾斜角的范围

5

0,。

如

（1）直线xcos3y20的倾斜角的范围是____（答：

，，）；

[0][）

66倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这

条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.

2

（2）过点P（3,1）,Q（0,m）的直线的倾斜角的范围],那么m

[,值的范围是

33

______（答：

m2或m4）

2、直线的斜率：

（1）定义：

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直

线的斜率k，即k＝tan（≠90°）；倾斜角为90°的直线没有斜率；

（2）斜率公式：

经过两点

yy

12xx

P1（x1,y1）、P2（x2,y2）的直线的斜率为k12；（3）直线的方向

xx

12

向量a（1,k），直线的方向向量与直线的斜率有何关系？

（4）应用：

证明三点共线：

kk。

如

（1）两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：

既不

ABBC

充分也不必要）；

（2）实数x,y满足3x2y50（1x3），则

y

x

的最大值、最小值

分别为______（答：

2

3

1

）

3、直线的方程：

（1）点斜式：

已知直线过点（x0,y0）斜率为k，则直线方程为

yy0k（xx0）,它不包括垂直于x轴的直线。

直线的斜率k0时，直线方程为

yy；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为xx1.

1

（2）斜截式：

已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包

括垂直于x轴的直线。

（3）两点式：

已知直线经过

P1（x1,y1）、P2（x2,y2）两点，则直线方

y

程为

y

2

y

1

y

1

x

x

2

x

1

x

1

，它不包括垂直于坐标轴的直线。

若要包含倾斜角为

0

0或

0

90的

直线，两点式应变为（）（）（）（）

yy1xxxxyy的形式.（4）截距式：

已知直

21121

xy

线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为1

，它不包括垂直于坐标轴的直线

ab

1

和过原点的直线。

（5）一般式：

任何直线均可写成AxByC0（A,B不同时为0）的形

式。

如

（1）经过点（2，1）且方向向量为v=（－1,3）的直线的点斜式方程是___________

（答：

y13（x2））；

（2）直线（m2）x（2m1）y（3m4）0，不管m怎样

变化恒过点______（答：

（1,2））；（3）若曲线ya|x|与yxa（a0）有两个公共

点，则a的取值范围是_______（答：

a1）

提醒：

（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，

还有截距式呢？

）；

（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直

线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；

直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。

如过点A（1,4），且纵横截距的

绝对值相等的直线共有___条（答：

3）

4.设直线方程的一些常用技巧：

（1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；

（2）

知直线横截距x0，常设其方程为xmyx0（它不适用于斜率为0的直线）；（3）知直线过

点（x0,y0），当斜率k存在时，常设其方程为yk（xx0）y0，当斜率k不存在时，则

其方程为xx0；（4）与直线l:

AxByC0平行的直线可表示为AxByC10；

（5）与直线l:

AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10.

提醒：

求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：

（1）点P（x0,y0）到直线AxByC0的距离

d

AxByC

00

22

AB

；

（2）两平行线

l1:

AxByC10,l2:

AxByC20间的距离为

d

CC

12

22

AB

。

6、直线l1:

A1xB1yC10与直线l2:

A2xB2yC20的位置关系：

（1）平行

A1B2A2B10（斜率）且B1C2B2C10（在y轴上截距）；

（2）相交

A1B2A2B10；

（3）重合

A1B2A2B10且B1C2B2C10。

ABC

提醒：

（1）111

ABC

222

、

AB

11

AB

22

、

ABC

111

ABC

222

仅是两直线平行、相交、重

合的充分不必要条件！

为什么？

（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可

能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线

l1:

A1xB1yC10与直线l2:

A2xB2yC20垂直A1A2B1B20。

如

（1）设

直线

l1:

xmy60和l2:

（m2）x3y2m0，当m＝_______时l1∥l2；当m＝

________时l1l2；当m_________时l1与l2相交；当m＝_________时l1与l2重合（答：

2

1

－1；

；m3且m1；3）；

（2）已知直线l的方程为3x4y120，则与l平行，2

且过点（—1，3）的直线方程是______（答：

3x4y90）；（3）两条直线axy40

与xy20相交于第一象限，则实数a的取值范围是____（答：

1a2）；（4）设

a,b,c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinAxayc0与

bxsinBysinC0的位置关系是____（答：

垂直）；（5）已知点P1（x1,y1）是直线

lfxy上一点，P2（x2,y2）是直线l外一点，则方程f（x,y）f（x1,y1）f（x2,y2）

:

（,）0

＝0所表示的直线与l的关系是____（答：

平行）；（6）直线l过点（１，０），且被两平行

直线3xy60和3xy30所截得的线段长为9，则直线l的方程是________（答：

4x3y40和x1）

7、特殊情况下的两直线平行与垂直:

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

（1）当另一条

直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；

（2）当另一条直线的斜率

为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

8、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：

如

（1）已知点M（a,b）与点N关于x轴

对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线xy0对称，则点Q的坐标为

_______（答：

（b,a））；（3）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ（－2,7），则l的方程

是_________（答：

y=3x＋3）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:

3x－

4y+4=0反射。

如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________

（答：

18x＋y510）；（5）已知ΔABC顶点A（3，－１），ＡＢ边上的中线所在直线的

方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方

程（答：

2x9y650）；（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、

Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：

（5,6））；（7）已知Ax轴，

Bl:

yx，C（2，1），ABC周长的最小值为______（答：

10）。

提醒：

在解几中

遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。

5.

（1）直线过定点。

如直线（3m+4）x+（5-2m）y+7m-6=0,不论m取何值恒过定点（-1，2）

（2）直线系方程

（1）与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法:

Ax+By+m=0（m≠C）

（2）与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法:

Bx-Ay+m=0

（3）经过直线l1∶A1x+B1y+C1=0，l2∶A2x+B2y+C2=0交点的直线设法：

Ax+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ为参数，不包括l2）

1

（3）关于对称

（1）点关于点对称（中点坐标公式）

（2）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行）

（3）点关于线对称（点和对称点的连线被线垂直平分，中点在对称轴上、kk’=-1二

个方程）

3

（4）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称）

10、圆的方程：

⑴圆的标准方程：

222

xaybr。

⑵圆的一般方程：

220（D2＋E2－4F0）

xyDxEyF，特别提醒：

只有当

22

D＋E－4F0时，方程

DE

220

xyDxEyF才表示圆心为（,）

22

，半径为

1

2

22

DE4F的圆（二元二次方程

220

AxBxyCyDxEyF表示圆的充要

条件是什么？

（AC0,且B0且

2240

DEAF））；

⑶圆的参数方程：

xarcos

ybrsin

（为参数），其中圆心为（a,b），半径为r。

圆的

参数方程的主要应用是三角换元：

222cos,sin

xyrxryr；

22

xyt

xrcos,yrsin（0rt）。

⑷Ax1,y1,Bx2,y2为直径端点的圆方程xx1xx2yy1yy20

如

（1）圆C与圆

22

（x1）y1关于直线yx对称，则圆C的方程为____________

（答：

2

（1）21

xy）；

（2）圆心在直线2xy3上，且与两坐标轴均相切的圆的标

2y22y2准方程是__________（答：

（3）（3）9

x或（x1）

（1）1）；（3）已知

P是圆cos

（1,3）

xr

yrsin

（为参数，02）上的点，则圆的普通方程为________，

P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答：

2

224

xy＝；

3

；

x3y40）；（4）如果直线l将圆：

x

2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的

2+y

斜率的取值范围是____（答：

[0，2]）；（5）方程x

２

－x+y+k=0表示一个圆，则实数k

1

x

k）；（6）若{（,）|3cos

Mxyy（为参数，0）}，

的取值范围为____（答：

3sin

2

N（x,y）|yxb，若MN，则b的取值范围是_________（答：

－3,32）

11、点与圆的位置关系：

已知点

Mx,y及圆

00

222

C：

x-aybrr0，

（1）点M在圆C外

222

CMrxaybr；

（2）点M在圆C内

00

222

CMrxaybr；（3）点M在圆C上

00

CMrxa

0

2

22

２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______ybr。

如点P（5a+1,12a）在圆（x－１）

0

（答：

1

|a|）

13

12、直线与圆的位置关系：

直线l:

AxByC0和圆

222

C：

xaybr

r0有相交、相离、相切。

可从代数和几何两个方面来判断：

（1）代数方法（判断直

4

线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：

0相交；0相离；0相切；

（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：

设圆心到直线的距离为d，则

dr相交；dr相离；dr相切。

提醒：

判断直线与圆的位置关系一般用

2y

2

几何方法较简捷。

如

（1）圆221

x与直线xsiny10（R,k，

2

22410kz）的位置关系为____（答：

相离）；

（2）若直线axby30与圆xyx

切于点P（1,2），则ab的值____（答：

2）；（3）直线x2y0被曲线

2262

xyxy150所截得的弦长等于（答：

45）；（4）一束光线从点A（－

22

1,1）出发经x轴反射到圆C:

（x-2）+（y-3）=1上的最短路程是（答：

4）；（5）已知

M（a,b）（ab0）是圆

222

O:

xyr内一点，现有以M为中点的弦所在直线m和直线

2

l:

axbyr，则A．m//l，且l与圆相交B．lm，且l与圆相交C．m//l，

且l与圆相离D．lm，且l与圆相离（答：

C）；（6）已知圆C：

2

（1）25

xy，

直线L：

mxy1m0。

①求证：

对mR，直线L与圆C总有两个不同的交点；

②设L与圆C交于A、B两点，若AB17，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所

得的弦最长及最短时的直线方程.（答：

②60或120③最长：

y1，最短：

x1）

13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：

已知两圆的圆心

分别为O1，O2，半径分别为r1,r2，则

（1）当|O1O2r1r2时，两圆外离；

（2）当

|OOrr时，两圆外切；（3）当r1r2<|O1O2r1r2时，两圆相交；（4）当

1212

|OOrr|时，两圆内切；（5）当0|O1O2r1r2|时，两圆内含。

如双曲线

1212

22

xy

221

的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段

ab

PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为（答：

内切）

14、圆的切线与弦长：

（1）切线：

①过圆

222

xyR上一点P（x0,y0）圆的切线方程是：

2

xxyyR，过圆

00

222

（xa）（yb）R上一点

P（x,y）圆的切线方程是：

00

2

（xa）（xa）（ya）（ya）R，一般地，如何求圆的切线方程？

（抓住圆心到直线

00

的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切

的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即

“切点弦”）方程的求法：

先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆

的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：

过圆

220

xyDxEyF

（

222

（xa）（yb）R）外一点

P（x,y）所引圆的切线的长为

00

22

xyDxEyF（

0000

2y2

222

（xa）（yb）R）；如设A为圆（x1）1上

00

动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________（答：

22

（x1）y2）；

（2）弦长问题：

①圆的弦长的计算：

（垂径定理）常用弦心距d，半弦长

1

2

a及圆的

半径r所构成的直角三角形来解：

22

（1）2

rda；②过两圆C1:

f（x,y）0、

2

5

C2:

g（x,y）0交点的圆（公共弦）系为f（x,y）g（x,y），0当1时，方程

f（x,y）g（x,y）0为两圆公共弦所在直线方程.。

15.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用（如半径、半弦

长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等）!

16.圆的切线和圆系方程

1．过圆上一点的切线方程：

圆

2yr

22

x，圆上一点为（x0,y0），则过此点的切线方程

为

xx+y0y=

0

2

r（课本命题）．

圆

2y2r2

x，圆外一点为（x0,y0），则过此点的两条切线与圆相切，切点弦方程

为

2

x。

0xyyr

0

2y2DxEyF

2．圆系方程：

①设圆C1∶x1110和

2y2DxEyF圆C2∶2220

x．若两圆相交，则过交点的圆系方程为

2yDxEyF2yDxEyF

x+λ（x222）=0（λ为参数，圆系中不包

111

22

括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程）．

②设圆C∶x2y2DxEyF0与直线l：

Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交

点的圆系方程为x2y2DxEyF+λ（Ax+By+C）=0（λ为参数）．

1

例题1经过点P（2，m）和Q（2m，5）的直线的斜率等于，则m的值是（B）

2

A．4B．3C．1或3D．1或4

变：

求经过点A（2,sin）,B（cos,1）的直线l的斜率k的取值范围

2.已知直线l过P（－1，2），且与以A（－2，－3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l

的斜率的取值范围．

点评：

要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！

答案：

－∞，－

1

2

∪[5，＋∞）

3.已知坐标平面内三点A（－1，1），B（1，1），C（2，3＋1），若D为△ABC的边AB上一动

CD斜率k的变化范围．

答案：

－∞，－

1

2

∪[5，＋∞）

6

6.求a为何值时，直线l1：

（a＋2）x＋（1－a）y－1＝0与直线l2：

（a－1）x＋（2a＋3）y＋2＝0互

相垂直？

答案：

a=-1

7.求过点P（1，－1），且与直线l2：

2x＋3y＋1＝0垂直的直线方程．答案：

3x－2y－5＝0.

例2.求过定点P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

例3.已知△ABC的顶点A（1，－1），线段BC的中点为D（3，

（1）求BC边上的中线所在直线的方程；

3

2

）．

（2）若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC所在直线的方程．

例4.方程（m

2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6满足下列条件，请根据条件分别确定实

数m的值．

（1）方程能够表示一条直线；（答案：

m1）

（2）方程表示一条斜率为－1的直线．（答案：

m2）

例5.直线l的方程为（a－2）y＝（3a－1）x－1（a∈R）．

13

（1）求证：

直线l必过定点；（答案：

（，））

55

（2）若直线l在两坐标轴上的截距