直线与圆知识点总结与例题.docx
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直线与圆知识点总结与例题
直线和圆知识点总结
1、直线的倾斜角:
(1)定义:
在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,
如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为,那么就
叫做直线的倾斜角。
当直线l与x轴重合或平行时,规定倾斜角为0;
(2)倾斜角的范围
5
0,。
如
(1)直线xcos3y20的倾斜角的范围是____(答:
,,);
[0][)
66倾斜角的取值范围是0°≤<180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这
条直线的斜率,常用k表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.
2
(2)过点P(3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围],那么m
[,值的范围是
33
______(答:
m2或m4)
2、直线的斜率:
(1)定义:
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直
线的斜率k,即k=tan(≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率;
(2)斜率公式:
经过两点
yy
12xx
P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为k12;(3)直线的方向
xx
12
向量a(1,k),直线的方向向量与直线的斜率有何关系?
(4)应用:
证明三点共线:
kk。
如
(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件(答:
既不
ABBC
充分也不必要);
(2)实数x,y满足3x2y50(1x3),则
y
x
的最大值、最小值
分别为______(答:
2
3
1
)
3、直线的方程:
(1)点斜式:
已知直线过点(x0,y0)斜率为k,则直线方程为
yy0k(xx0),它不包括垂直于x轴的直线。
直线的斜率k0时,直线方程为
yy;当直线的斜率k不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为xx1.
1
(2)斜截式:
已知直线在y轴上的截距为b和斜率k,则直线方程为ykxb,它不包
括垂直于x轴的直线。
(3)两点式:
已知直线经过
P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点,则直线方
y
程为
y
2
y
1
y
1
x
x
2
x
1
x
1
,它不包括垂直于坐标轴的直线。
若要包含倾斜角为
0
0或
0
90的
直线,两点式应变为()()()()
yy1xxxxyy的形式.(4)截距式:
已知直
21121
xy
线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为1
,它不包括垂直于坐标轴的直线
ab
1
和过原点的直线。
(5)一般式:
任何直线均可写成AxByC0(A,B不同时为0)的形
式。
如
(1)经过点(2,1)且方向向量为v=(-1,3)的直线的点斜式方程是___________
(答:
y13(x2));
(2)直线(m2)x(2m1)y(3m4)0,不管m怎样
变化恒过点______(答:
(1,2));(3)若曲线ya|x|与yxa(a0)有两个公共
点,则a的取值范围是_______(答:
a1)
提醒:
(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,
还有截距式呢?
);
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直
线的斜率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;
直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。
如过点A(1,4),且纵横截距的
绝对值相等的直线共有___条(答:
3)
4.设直线方程的一些常用技巧:
(1)知直线纵截距b,常设其方程为ykxb;
(2)
知直线横截距x0,常设其方程为xmyx0(它不适用于斜率为0的直线);(3)知直线过
点(x0,y0),当斜率k存在时,常设其方程为yk(xx0)y0,当斜率k不存在时,则
其方程为xx0;(4)与直线l:
AxByC0平行的直线可表示为AxByC10;
(5)与直线l:
AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10.
提醒:
求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。
5、点到直线的距离及两平行直线间的距离:
(1)点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离
d
AxByC
00
22
AB
;
(2)两平行线
l1:
AxByC10,l2:
AxByC20间的距离为
d
CC
12
22
AB
。
6、直线l1:
A1xB1yC10与直线l2:
A2xB2yC20的位置关系:
(1)平行
A1B2A2B10(斜率)且B1C2B2C10(在y轴上截距);
(2)相交
A1B2A2B10;
(3)重合
A1B2A2B10且B1C2B2C10。
ABC
提醒:
(1)111
ABC
222
、
AB
11
AB
22
、
ABC
111
ABC
222
仅是两直线平行、相交、重
合的充分不必要条件!
为什么?
(2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可
能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线;(3)直线
l1:
A1xB1yC10与直线l2:
A2xB2yC20垂直A1A2B1B20。
如
(1)设
直线
l1:
xmy60和l2:
(m2)x3y2m0,当m=_______时l1∥l2;当m=
________时l1l2;当m_________时l1与l2相交;当m=_________时l1与l2重合(答:
2
1
-1;
;m3且m1;3);
(2)已知直线l的方程为3x4y120,则与l平行,2
且过点(—1,3)的直线方程是______(答:
3x4y90);(3)两条直线axy40
与xy20相交于第一象限,则实数a的取值范围是____(答:
1a2);(4)设
a,b,c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,则直线sinAxayc0与
bxsinBysinC0的位置关系是____(答:
垂直);(5)已知点P1(x1,y1)是直线
lfxy上一点,P2(x2,y2)是直线l外一点,则方程f(x,y)f(x1,y1)f(x2,y2)
:
(,)0
=0所表示的直线与l的关系是____(答:
平行);(6)直线l过点(1,0),且被两平行
直线3xy60和3xy30所截得的线段长为9,则直线l的方程是________(答:
4x3y40和x1)
7、特殊情况下的两直线平行与垂直:
当两条直线中有一条直线没有斜率时:
(1)当另一条
直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行;
(2)当另一条直线的斜率
为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.
8、对称(中心对称和轴对称)问题——代入法:
如
(1)已知点M(a,b)与点N关于x轴
对称,点P与点N关于y轴对称,点Q与点P关于直线xy0对称,则点Q的坐标为
_______(答:
(b,a));(3)点A(4,5)关于直线l的对称点为B(-2,7),则l的方程
是_________(答:
y=3x+3);(4)已知一束光线通过点A(-3,5),经直线l:
3x-
4y+4=0反射。
如果反射光线通过点B(2,15),则反射光线所在直线的方程是_________
(答:
18x+y510);(5)已知ΔABC顶点A(3,-1),AB边上的中线所在直线的
方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在的方程为x-4y+10=0,求BC边所在的直线方
程(答:
2x9y650);(6)直线2x―y―4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1)、
B(3,4)的距离之差最大,则P的坐标是______(答:
(5,6));(7)已知Ax轴,
Bl:
yx,C(2,1),ABC周长的最小值为______(答:
10)。
提醒:
在解几中
遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。
5.
(1)直线过定点。
如直线(3m+4)x+(5-2m)y+7m-6=0,不论m取何值恒过定点(-1,2)
(2)直线系方程
(1)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法:
Ax+By+m=0(m≠C)
(2)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法:
Bx-Ay+m=0
(3)经过直线l1∶A1x+B1y+C1=0,l2∶A2x+B2y+C2=0交点的直线设法:
Ax+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数,不包括l2)
1
(3)关于对称
(1)点关于点对称(中点坐标公式)
(2)线关于点对称(转化为点关于点对称,或代入法,两条直线平行)
(3)点关于线对称(点和对称点的连线被线垂直平分,中点在对称轴上、kk’=-1二
个方程)
3
(4)线关于线对称(求交点,转化为点关于线对称)
10、圆的方程:
⑴圆的标准方程:
222
xaybr。
⑵圆的一般方程:
220(D2+E2-4F0)
xyDxEyF,特别提醒:
只有当
22
D+E-4F0时,方程
DE
220
xyDxEyF才表示圆心为(,)
22
,半径为
1
2
22
DE4F的圆(二元二次方程
220
AxBxyCyDxEyF表示圆的充要
条件是什么?
(AC0,且B0且
2240
DEAF));
⑶圆的参数方程:
xarcos
ybrsin
(为参数),其中圆心为(a,b),半径为r。
圆的
参数方程的主要应用是三角换元:
222cos,sin
xyrxryr;
22
xyt
xrcos,yrsin(0rt)。
⑷Ax1,y1,Bx2,y2为直径端点的圆方程xx1xx2yy1yy20
如
(1)圆C与圆
22
(x1)y1关于直线yx对称,则圆C的方程为____________
(答:
2
(1)21
xy);
(2)圆心在直线2xy3上,且与两坐标轴均相切的圆的标
2y22y2准方程是__________(答:
(3)(3)9
x或(x1)
(1)1);(3)已知
P是圆cos
(1,3)
xr
yrsin
(为参数,02)上的点,则圆的普通方程为________,
P点对应的值为_______,过P点的圆的切线方程是___________(答:
2
224
xy=;
3
;
x3y40);(4)如果直线l将圆:
x
2+y2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么l的
2+y
斜率的取值范围是____(答:
[0,2]);(5)方程x
2
-x+y+k=0表示一个圆,则实数k
1
x
k);(6)若{(,)|3cos
Mxyy(为参数,0)},
的取值范围为____(答:
3sin
2
N(x,y)|yxb,若MN,则b的取值范围是_________(答:
-3,32)
11、点与圆的位置关系:
已知点
Mx,y及圆
00
222
C:
x-aybrr0,
(1)点M在圆C外
222
CMrxaybr;
(2)点M在圆C内
00
222
CMrxaybr;(3)点M在圆C上
00
CMrxa
0
2
22
2+y2=1的内部,则a的取值范围是______ybr。
如点P(5a+1,12a)在圆(x-1)
0
(答:
1
|a|)
13
12、直线与圆的位置关系:
直线l:
AxByC0和圆
222
C:
xaybr
r0有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断:
(1)代数方法(判断直
4
线与圆方程联立所得方程组的解的情况):
0相交;0相离;0相切;
(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):
设圆心到直线的距离为d,则
dr相交;dr相离;dr相切。
提醒:
判断直线与圆的位置关系一般用
2y
2
几何方法较简捷。
如
(1)圆221
x与直线xsiny10(R,k,
2
22410kz)的位置关系为____(答:
相离);
(2)若直线axby30与圆xyx
切于点P(1,2),则ab的值____(答:
2);(3)直线x2y0被曲线
2262
xyxy150所截得的弦长等于(答:
45);(4)一束光线从点A(-
22
1,1)出发经x轴反射到圆C:
(x-2)+(y-3)=1上的最短路程是(答:
4);(5)已知
M(a,b)(ab0)是圆
222
O:
xyr内一点,现有以M为中点的弦所在直线m和直线
2
l:
axbyr,则A.m//l,且l与圆相交B.lm,且l与圆相交C.m//l,
且l与圆相离D.lm,且l与圆相离(答:
C);(6)已知圆C:
2
(1)25
xy,
直线L:
mxy1m0。
①求证:
对mR,直线L与圆C总有两个不同的交点;
②设L与圆C交于A、B两点,若AB17,求L的倾斜角;③求直线L中,截圆所
得的弦最长及最短时的直线方程.(答:
②60或120③最长:
y1,最短:
x1)
13、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断):
已知两圆的圆心
分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,则
(1)当|O1O2r1r2时,两圆外离;
(2)当
|OOrr时,两圆外切;(3)当r1r2<|O1O2r1r2时,两圆相交;(4)当
1212
|OOrr|时,两圆内切;(5)当0|O1O2r1r2|时,两圆内含。
如双曲线
1212
22
xy
221
的左焦点为F1,顶点为A1、A2,P是双曲线右支上任意一点,则分别以线段
ab
PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为(答:
内切)
14、圆的切线与弦长:
(1)切线:
①过圆
222
xyR上一点P(x0,y0)圆的切线方程是:
2
xxyyR,过圆
00
222
(xa)(yb)R上一点
P(x,y)圆的切线方程是:
00
2
(xa)(xa)(ya)(ya)R,一般地,如何求圆的切线方程?
(抓住圆心到直线
00
的距离等于半径);②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切
的条件,运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;③过两切点的直线(即
“切点弦”)方程的求法:
先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆
的公共弦就是过两切点的直线方程;③切线长:
过圆
220
xyDxEyF
(
222
(xa)(yb)R)外一点
P(x,y)所引圆的切线的长为
00
22
xyDxEyF(
0000
2y2
222
(xa)(yb)R);如设A为圆(x1)1上
00
动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为__________(答:
22
(x1)y2);
(2)弦长问题:
①圆的弦长的计算:
(垂径定理)常用弦心距d,半弦长
1
2
a及圆的
半径r所构成的直角三角形来解:
22
(1)2
rda;②过两圆C1:
f(x,y)0、
2
5
C2:
g(x,y)0交点的圆(公共弦)系为f(x,y)g(x,y),0当1时,方程
f(x,y)g(x,y)0为两圆公共弦所在直线方程.。
15.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦
长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!
16.圆的切线和圆系方程
1.过圆上一点的切线方程:
圆
2yr
22
x,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程
为
xx+y0y=
0
2
r(课本命题).
圆
2y2r2
x,圆外一点为(x0,y0),则过此点的两条切线与圆相切,切点弦方程
为
2
x。
0xyyr
0
2y2DxEyF
2.圆系方程:
①设圆C1∶x1110和
2y2DxEyF圆C2∶2220
x.若两圆相交,则过交点的圆系方程为
2yDxEyF2yDxEyF
x+λ(x222)=0(λ为参数,圆系中不包
111
22
括圆C2,λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程).
②设圆C∶x2y2DxEyF0与直线l:
Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交
点的圆系方程为x2y2DxEyF+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数).
1
例题1经过点P(2,m)和Q(2m,5)的直线的斜率等于,则m的值是(B)
2
A.4B.3C.1或3D.1或4
变:
求经过点A(2,sin),B(cos,1)的直线l的斜率k的取值范围
2.已知直线l过P(-1,2),且与以A(-2,-3)、B(3,0)为端点的线段相交,求直线l
的斜率的取值范围.
点评:
要用运动的观点,研究斜率与倾斜角之间的关系!
答案:
-∞,-
1
2
∪[5,+∞)
3.已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,3+1),若D为△ABC的边AB上一动
CD斜率k的变化范围.
答案:
-∞,-
1
2
∪[5,+∞)
6
6.求a为何值时,直线l1:
(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:
(a-1)x+(2a+3)y+2=0互
相垂直?
答案:
a=-1
7.求过点P(1,-1),且与直线l2:
2x+3y+1=0垂直的直线方程.答案:
3x-2y-5=0.
例2.求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
例3.已知△ABC的顶点A(1,-1),线段BC的中点为D(3,
(1)求BC边上的中线所在直线的方程;
3
2
).
(2)若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC所在直线的方程.
例4.方程(m
2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6满足下列条件,请根据条件分别确定实
数m的值.
(1)方程能够表示一条直线;(答案:
m1)
(2)方程表示一条斜率为-1的直线.(答案:
m2)
例5.直线l的方程为(a-2)y=(3a-1)x-1(a∈R).
13
(1)求证:
直线l必过定点;(答案:
(,))
55
(2)若直线l在两坐标轴上的截距