直线与圆知识点总结与例题.docx

1、直线与圆知识点总结与例题直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角 ：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l ，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向转到和 直线 l 重合 时所转的 最小正角记为，那么 就叫做直线的倾斜角。当直线 l 与 x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（ 2） 倾斜角的范围50, 。如（1）直线 x cos 3y 2 0 的倾斜角的范围是 _（答： ， ， ）；0 )6 6 倾斜角的取值范围是 0 180. 倾斜角不是 90的直线， 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示 . 倾斜角是 90的直线没有斜率 .2（ 2） 过点 P( 3,1),

2、 Q(0,m) 的直线的倾斜角的范围, 那么 m , 值的范围是3 3_（答： m 2或m 4）2、直线的斜率 ：（1）定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ，即 k tan ( 90 ) ；倾斜角为90的直线没有斜率； （2） 斜率公式 ：经过两点y y1 2 x xP1 (x1, y1 )、 P2 (x2, y2 ) 的直线的斜率为k 1 2 ；（3） 直线的方向x x1 2向量 a (1,k ) ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（ 4） 应用 ：证明三点共线：k k 。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的 _条件（答：既不AB BC充分也不必

3、要） ；（2）实数x, y满足3x 2y 5 0 (1 x 3)，则yx的最大值、最小值分别为_（答：23, 1）3 、 直 线 的 方 程 ：（ 1 ） 点 斜 式 ： 已 知 直 线 过 点 (x0 , y0 ) 斜 率为k ， 则 直 线 方 程 为y y0 k(x x0) , 它不包括垂直于 x 轴的直线。直线的斜率 k 0 时，直线方程为y y ；当直线的斜率 k 不存在时， 不能用点斜式求它的方程， 这时的直线方程为x x1 .1（2） 斜截式 ：已知直线在 y 轴上的截距为b 和斜率 k ，则直线方程为y kx b , 它不包括垂直于 x 轴的直线。（ 3）两点式 ：已知直线经过

4、P1(x1, y1) 、 P2 (x2 , y2 ) 两点，则直线方y程为y2y1y1xx2x1x1，它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为00 或090 的直线，两点式应变为( )( ) ( )( )y y1 x x x x y y 的形式 . （4）截距式 ：已知直2 1 1 2 1x y线在 x 轴和 y 轴上的截距为a,b , 则直线方程为1，它不包括垂直于坐标轴的直线a b1和过原点的直线。 （5）一般式 ：任何直线均可写成 Ax By C 0 (A,B 不同时为 0) 的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为 v =(1, 3 ) 的直线的点斜式方程是 _（答： y 1

5、3( x 2) ）；（2）直线 (m 2) x (2m 1)y (3m 4) 0 ，不管 m 怎样变化恒过点 _（答： ( 1, 2) ）；（3）若曲线 y a |x |与 y x a(a 0) 有两个公共点，则 a 的取值范围是 _（答： a 1）提醒 ：(1) 直线方程的各种形式都有局限性 .（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？） ；(2) 直线在坐标轴上的截距可正、 可负、 也可为 0.直线两截距相等 直线的斜率为 -1 或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 1或直线过原点。 如过点 A(1,4) ，且纵横截

6、距的绝对值相等的直线共有 _条（答： 3）4. 设直线方程的一些常用技巧 ：（1）知直线纵截距 b ，常设其方程为 y kx b；（2）知直线横截距 x0 ，常设其方程为 x my x0 (它不适用于斜率为 0 的直线 )；（3）知直线过点 (x0 , y0 ) ，当斜率 k 存在时，常设其方程为 y k(x x0 ) y0 ，当斜率 k 不存在时，则其方程为 x x0 ；（4）与直线 l : Ax By C 0 平行的直线可表示为 Ax By C1 0 ；（5）与直线 l : Ax By C 0 垂直的直线可表示为 Bx Ay C1 0 .提醒 ：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形

7、式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离 ：（1）点 P(x0 , y0) 到直线 Ax By C 0 的距离dAx By C0 02 2A B；（2）两平行线l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0间的距离为dC C1 22 2A B。6、直线 l1 : A1x B1 y C1 0 与直线 l2 : A2 x B2 y C2 0 的位置关系 ：（1）平行A1B2 A2B1 0（斜率）且 B1C2 B2C1 0（在 y 轴上截距）；（2）相交A1B2 A2B1 0；（3）重合A1B2 A2B1 0且 B1C2 B2C1 0 。A B C提醒 ：（1

8、） 1 1 1A B C2 2 2、A B1 1A B2 2、A B C1 1 1A B C2 2 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？ （2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线； （3）直线l1 : A1x B1 y C1 0 与直线 l2 : A2x B2 y C2 0垂直 A1A2 B1B2 0 。如（1）设直线l1 : x my 6 0和 l2 : (m 2) x 3y 2m 0 ，当 m _时 l1 l2 ；当 m _时 l1 l2 ；当 m _时l1 与l2 相交；当 m _时l1 与

9、l2 重合（答：211； m 3且m 1；3）；（2） 已知直线 l 的方程为 3x 4y 12 0，则与 l 平行， 2且过点 （ 1，3）的直线方程是 _（答： 3x 4y 9 0 ）；（3）两条直线 ax y 4 0与 x y 2 0 相交于第一象限，则实数 a 的取值范围是 _（答： 1 a 2）；（4）设a,b,c 分别是ABC 中 A 、 B 、 C 所对边的边长，则直线 sin A x ay c 0 与bx sin B y sin C 0 的位置关系是 _（答：垂直） ；（ 5） 已知点 P1 ( x1, y1) 是直线l f x y 上一点， P2 (x2, y2 ) 是直线

10、l 外一点， 则方程 f (x, y) f (x1, y1) f (x2 , y2 ): ( , ) 00 所表示的直线与 l 的关系是 _（答：平行） ；（6）直线 l 过点（，） ，且被两平行直线 3x y 6 0和 3x y 3 0 所截得的线段长为 9，则直线 l 的方程是 _（答：4x 3y 4 0和 x 1）7、 特殊情况下的两直线平行与垂直 : 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 90，互相平行； (2) 当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90，另一条直线的倾斜角为 0，两直线互相垂直8、对称 （中心对称和

11、轴对称） 问 题 代入法 ：如（ 1）已知点 M (a, b) 与点 N 关于 x 轴对称，点 P 与点 N 关于 y 轴对称，点 Q 与点 P 关于直线 x y 0对称，则点 Q 的坐标为_（答： (b, a)）；（3） 点（，）关于直线 l 的对称点为 (2,7)，则 l 的方程是 _（答： y=3x3）；（ 4）已知一束光线通过点（，） ，经直线 l :3x4y+4=0 反射。 如果反射光线通过点 （， 15），则反射光线所在直线的方程是 _（答： 18xy 51 0）；（5）已知 ABC 顶点 A(3 ， )，边上的中线所在直线的方程为 6x+10y 59=0， B 的平分线所在的方程

12、为 x4y+10=0 ，求边所在的直线方程（答： 2x 9y 65 0 ）；（6）直线 2xy4=0 上有一点，它与两定点（ 4,1）、（ 3,4）的距离之差最大，则的坐标是 _（答：（ 5,6）；（ 7） 已知 A x轴，B l : y x，C（2，1）， ABC 周长的最小值为 _（答： 10 ）。提醒 ：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。5.（1）直线过定点。 如直线 （3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0, 不论m 取 何值恒过定点 （-1，2）（2）直线系方程（ 1）与已知直线 Ax+By+C=0 平行的直线的设法 : Ax+By+m=0 (m C)( 2 )

13、 与已知直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的设法 : Bx-Ay+m=0（ 3）经过直线 l1 A1 x+ B1 y+ C1=0， l2 A2 x+ B2 y+ C2 =0 交点的直线设法：A x+ B1 y+ C1 + （ A2 x+ B2 y+ C2 ）=0（ 为参数，不包括l2 ）1（3）关于对称 （1）点关于点对称（中点坐标公式）（2）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行）（3）点关于线对称（点和对称点的连线被线垂直平分，中点在对称轴上、 kk=-1 二个方程）3（4）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称）10、圆的方程 ：圆的标准方程：2 2 2x a y

14、b r 。圆的一般方程：2 2 0(D 2E24F 0)x y Dx Ey F ， 特别提醒 ：只有当2 2D E 4F 0 时，方程D E2 2 0x y Dx Ey F 才表示圆心为 ( , )2 2，半径为122 2D E 4F 的圆（二元二次方程2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F 表示圆的充要条件是什么？ （ A C 0,且 B 0且2 2 4 0D E AF ）；圆的参数方程： x a r cosy b r sin（ 为参数），其中圆心为 (a,b)，半径为 r 。圆的参数方程的主要应用是三角换元：2 2 2 cos , sinx y r x r y r ；2 2x y t

15、x r cos , y r sin (0 r t ) 。 A x1, y1 ,B x2, y2 为直径端点的圆方程 x x1 x x2 y y1 y y2 0如（1）圆 C 与圆2 2(x 1) y 1关于直线 y x 对称，则圆 C 的方程为 _（答：2 ( 1)2 1x y ）；（2） 圆心在直线 2x y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标2 y 2 2 y 2 准方程是 _（答： ( 3) ( 3) 9x 或 (x 1) ( 1) 1 ）；（3）已知P 是圆 cos( 1, 3)x ry r sin（ 为参数，0 2 ) 上的点，则圆的普通方程为 _，P 点对应的 值为 _，过 P 点的

16、圆的切线方程是 _（答：22 2 4x y ；3；x 3y 4 0）；（4）如果直线 l 将圆：x2+y 2-2x-4y=0 平分，且不过第四象限，那么 l 的2+y斜率的取值范围是 _（答： 0，2）；（5）方程 xx+y+k=0 表示一个圆，则实数 k1 xk ）；（6）若 ( , ) | 3cos M x y y （ 为参数，0 ) ，的取值范围为 _（答： 3sin2N (x, y) | y x b ，若M N ，则 b 的取值范围是 _（答： 3,3 2 ）11、点与圆的位置关系 ：已知点M x , y 及圆0 02 2 2C：x-a y b r r 0 ，（1）点 M 在圆 C 外

17、2 2 2CM r x a y b r ；（2）点 M 在圆 C 内0 02 2 2CM r x a y b r ；（3）点 M 在圆 C 上0 0CM r x a022 2y2=1 的内部 ,则 a 的取值范围是 _ y b r 。如点 P(5a+1,12a)在圆 (x)0（答： 1| a | ） 1312、直线与圆的位置关系 ：直线 l : Ax By C 0 和圆2 2 2C：x a y b rr 0 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直4线与圆方程联立所得方程组的解的情况） ： 0 相交； 0 相离； 0 相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离

18、与半径的大小） ：设圆心到直线的距离为 d ，则d r 相交； d r 相离； d r 相切。 提醒 ：判断直线与圆的位置关系一般用2 y2几何方法较简捷。 如（1）圆2 2 1x 与直线 x sin y 1 0( R, k ，22 2 4 1 0 k z) 的位置关系为 _（答：相离）；（2）若直线 ax by 3 0 与圆 x y x切 于 点 P( 1,2) ， 则 ab 的 值 _ （ 答 ： 2 ）；（ 3 ） 直 线 x 2y 0 被 曲 线2 2 6 2x y x y 1 5 0所截得的弦长等于 （答： 4 5 ）；（4） 一束光线从点 A(2 21,1)出发经 x 轴反射到圆

19、C:(x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是 （答： 4）；（5）已知M (a, b)( ab 0)是圆2 2 2O : x y r 内一点，现有以 M 为中点的弦所在直线 m 和直线2l : ax by r ，则 Am/ l ，且 l 与圆相交 Bl m，且 l 与圆相交 Cm/ l ，且 l 与圆相离 Dl m，且 l 与圆相离（答： C）；（6） 已知圆 C：2 ( 1)2 5x y ，直线 L ：mx y 1 m 0 。求证：对 m R ，直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点；设 L 与圆 C 交于 A、B 两点，若 AB 17，求 L 的倾斜角；求直线 L 中，截圆所得的弦最

20、长及最短时的直线方程 . （答： 60 或120 最长： y 1，最短： x 1）13、圆与圆的位置关系 （用两圆的圆心距与半径之间的关系判断） ：已知两圆的圆心分别为 O1，O2 ，半径分别为 r1 ,r2 ，则（ 1）当 |O1O2 r1 r2 时，两圆外离； （2）当|O O r r 时，两圆外切； （3 ）当 r1 r2|O 1 O2 r1 r 2时，两圆相交； （4 ）当1 2 1 2|O O r r |时，两圆内切； （5）当 0 |O1 O2 r1 r 2 |时，两圆内含。 如 双曲线1 2 1 22 2x y2 2 1的左焦点为 F1，顶点为 A 1、A2，P 是双曲线右支上任

21、意一点，则分别以线段a bPF1、A 1A2 为直径的两圆位置关系为 （答：内切）14、圆的切线与弦长 ：(1)切线： 过圆2 2 2x y R 上一点 P(x0, y0 ) 圆的切线方程 是：2xx yy R ，过圆0 02 2 2(x a) (y b) R 上 一 点P(x , y ) 圆 的 切 线 方 程 是 ：0 02(x a)(x a) ( y a)( y a) R ，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线0 0的距离等于半径） ；从 圆外一点引圆的切线一定有两条 ，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦

22、”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的 公 共 弦就 是 过 两切 点 的直 线方 程 ； 切 线 长 ： 过圆2 2 0x y Dx Ey F（2 2 2(x a) ( y b) R ） 外 一 点P(x , y ) 所 引 圆 的 切 线 的 长 为0 02 2x y Dx Ey F （0 0 0 02 y22 2 2( x a) ( y b) R ）；如设 A 为圆 (x 1) 1上0 0动点，PA 是圆的切线， 且|PA|=1，则 P 点的轨迹方程为 _（答：2 2(x 1) y 2）；（2）弦长问题 ：圆的弦长的计算： （垂径定理）常用弦心距 d ，

23、半弦长12a 及圆的半 径 r 所 构成 的 直 角 三角 形 来 解 ： 2 2 (1 )2 r d a ； 过 两 圆 C1 : f ( x, y) 0、25C2 : g(x, y) 0 交 点 的 圆 ( 公 共 弦 ) 系 为 f ( x, y) g( x, y) ，0 当 1 时 ， 方 程f (x, y) g (x, y) 0为两圆公共弦所在直线方程 .。15. 解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的 平面几何性质的作用 ( 如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等 )!16. 圆的切线和圆系方程1过圆上一点的切线方程：圆2 y r2 2x ，圆

24、上一点为 ( x0 , y0 )，则过此点的切线方程为x x+ y0 y=02r (课本命题 )圆2 y2 r 2x ，圆外一点为 ( x0 , y0 )，则过此点的两条切线与圆相切，切点弦方程为2x 。0 x y y r02 y2 D x E y F2圆系方程：设圆 C1 x 1 1 1 0 和2 y2 D x E y F 圆 C2 2 2 2 0x 若 两 圆 相 交 ， 则 过 交 点 的 圆 系 方 程 为 2 y D x E y F 2 y D x E y Fx +（ x 2 2 2 ） =0( 为参数，圆系中不包 1 1 12 2括圆 C2，=-1 为两圆的公共弦所在直线方程 )设

25、圆 C x2 y2 Dx Ey F 0与直线 l ：Ax+By+C=0 ，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为 x2 y2 Dx Ey F +(Ax+By+C)=0( 为参数 )1例题 1 经过点 P(2，m)和 Q(2m，5)的直线的斜率等于，则 m 的值是( B )2A 4 B3 C1 或 3 D 1 或 4变： 求经过点 A( 2, sin ), B( cos ,1)的直线 l的斜率 k的取值范围2. 已知直线 l 过 P(1， 2)，且与以 A(2， 3)、B(3 ，0)为端点的线段相交，求直线 l的斜率的取值范围点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ，125 ，

26、)3.已知坐标平面内三点 A(1，1)， B(1 ，1)，C(2， 31) ，若 D 为ABC 的边AB 上一动CD 斜率 k 的变化范围答案： ，125， )66.求 a 为何值时， 直线 l1：(a2)x (1a) y10 与直线 l2：(a1) x(2a3)y 20 互相垂直？答案： a=-17.求过点 P(1， 1)，且与直线 l2：2x3y10 垂直的直线方程答案： 3x2y50.例 2.求过定点 P (2， 3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程例 3.已知 ABC 的顶点 A(1， 1)，线段BC 的中点为 D(3，(1)求 BC 边上的中线所在直线的方程；32)(2)若边 BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是 9，求 BC 所在直线的方程例 4.方程 (m2 2m3)x(2m 2 m 1)y2m6 满足下列条件，请根据条件分别确定实数 m 的值 (1)方程能够表示一条直线； （答案： m 1）(2)方程表示一条斜率为 1 的直线（答案： m 2）例 5.直线 l 的方程为 (a2)y(3a1)x1(aR)1 3(1)求证：直线 l 必过定点；（答案： ( ， )）5 5(2)若直线 l 在两坐标轴上的截距