九年级下册三角函数教学案.docx

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九年级下册三角函数教学案

九年级下册三角函数教学案

一、教学目标：

1．理解并掌握正切的定义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；

2.了解计算一个锐角的正切值的方法.

二、自主学习：

1．下列图中的两个台阶哪个更陡？

你是怎么判断的？

2．思考与探索：

除了用∠A的大小来描述倾斜程度，我们还可以

（1）可通过测量BC与AC的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度.

（2）可通过测量B1C1与A1C1的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度.

总结：

一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个顶点的直角三形（如图），那么图中：

成立吗？

为什么？

结论：

.

3．正切的定义：

.

三、释疑解难：

思考：

当∠A越来越大时，∠A的正切值如何变化？

四、例题讲解：

1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A、∠B的正切值.

通过上述计算，你有什么发现？

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=3，AB=5，求∠ACD、∠BCD的正切值．

变式：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高.

①tanA＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿；②tanB＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿；

③tan∠ACD＝＿＿＿＿；④tan∠BCD＝＿＿＿＿；

五：

当堂检测：

A级（100分）

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝，求tanA与tanB的值．

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tanA＝，求AB的值．

3．如图，在4×4的正方形网格中，tanα=__________.

4．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－4,1），

B（－1，3），C（－4,3），则tanB=___________.（先画图再填空）

5．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，tanA=2，求AB的值.

B级（20分）

6．等腰三角形ABC的腰长AB，AC为5，底边长为6，求tanC.

课题：

§7.2正弦、余弦

（1）

一、教学目标：

1．理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值；

2.能用函数的观点理解正弦、余弦和正切.

二、自主学习：

问题1：

如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？

行走了am呢？

问题2：

在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？

思考：

从上面的两个问题可以看出：

当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________．（根据是______________________．）

正弦的定义：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，

即：

sinA＝________=________.

余弦的定义：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，

即：

cosA=______=_____.

（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？

）试试看.

根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值.

三、释疑解难：

从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？

____________________________________________________________.

从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？

____________________________________________________________.

问题4：

锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________

归纳与小结：

sinA＝；cosA＝；tanA＝．

2．锐角A的正弦，余弦和正切都是∠A的_________________．

3．当锐角α越来越大时，α的正弦值越来___________，α的余弦值越来___________.

四、例题讲解：

1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A的三个三角函数值.

变式：

如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，求sinA的值.

五：

当堂检测：

A级（100分）

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA＝_____，

cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____.

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则sinA＝__，cosB=____，cosA=_______，sinB=____.

3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=____，cosB=____，sinB=_______.

4．已知：

如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D

sinA＝＝；sinB＝＝

cos∠ACD＝；cos∠BCD＝

tanA＝＝；tanB＝＝

5．如图，已知Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC的长是（）

A．m·sin40°B．m·cos40°

C．m·tan40°D．

B级（20分）

6．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA＝，求sinB，tanB的值．

课题：

§7.2正弦、余弦

（2）

一、教学目标：

1．能够根据直角三角形的边角关系进行计算；

2.能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角.

二、自主学习：

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：

sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____．

∠B的三角函数关系式_________________________．

2．比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB，tanA与tanB的表达式，你有什么发现？

3．基础训练

①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____．

②如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，则sinB=_____，cosB=_____，tanB=_____．

③在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=2BC，则sinC=_____．

④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=，则BC=_____．

⑤在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=，则AC=_____．

⑥如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=15，sinC=，则AB=_____．

⑦在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=12，则AB=_____，BC=_____．

三、释疑解难：

四、例题讲解：

例1．小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度．（精确到1m）

（参考数据：

sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）

例2．工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m，车厢到地面的距离为1.4m．

（1）你能求出木板与地面的夹角吗？

（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离．（精确到0.1m）

（参考数据：

sin20.5°≈0.3500，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）

五：

当堂检测：

A级（100分）

1．在Rt△ABC中，∠C=90º，且锐角∠A满足sinA=cosA，则∠A的度数是____.

2.比较大小：

（用＞，＜或＝表示）

①sin40°cos40°②sin80°cos30°③sin45°cos45°.

3.在Rt△ABC中，∠B=90º，AC=15，sinC=，则BC=_______________.

4.已知α为锐角：

（1）sinα=，则cosα=______，tanα=______.

（2）cosα=，则sinα=______，tanα=______.

（3）tanα=，则sinα=______，cosα=______.

5.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AD的长为________.

B级（20分）

6.如图，AB表示地面上某一斜坡的坡面，BC表示斜面上点B相对于水平地面AC的垂直高度，∠A=14º，AB=240m.求点B相对于水平地面的高度（精确到1m）.（友情提示：

sin14º=0.24,cos14º=0.97,tan14º=0.25）

课题：

§7.3特殊角的三角函数

一、教学目标：

1．能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义；

2.会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值；

3.能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.

二、自主学习：

【温故知新】

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：

sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____．

2．如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若BC＝a，请你在图上分别写出三边长度．

如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，若BC＝a，请你在图上分别写出三边长度．

3．根据以上探索完成下列表格：

三、释疑解难：

四、例题讲解：

例1．求下列各式的值．

（1）2sin30°－cos45°

（2）sin60°·cos60°（3）sin230°＋cos230°

练习：

计算.

（1）cos45°－sin30°

（2）sin260°＋cos260°（3）tan45°－sin30°·cos60°（4）

2．求下列各式的值

（1）tan45°－sin30°·cos60°

（2）

3．在Rt△ABC中，∠C=90°,若sinA=,则BC∶AC∶AB等于（）

A．1∶2∶5B.1∶∶C.1∶∶2D.1∶2∶

4．已知α为锐角,当无意义时,求tan（α+15°）-tan（α-15°）的值.

5．已知：

如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,BC=2,BD=.分别求出

△ABC、△ACD、△BCD中各锐角.

五：

当堂检测：

A级（100分）

1.计算下列各式的值.

（1）2sin30°＋3cos60°－4tan45°

（2）cos30°sin45°＋sin30°cos45°（3）

（4）cos30°＋sin45°（5）·tan30°（6）2cos45°＋－））

B级（20分）

5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，求：

（1）cosA

（2）当AB＝4时，求BC的长.

课题：

7.4由三角函数值求锐角

一、教学目标：

1会根据锐角的三角函数值。

2能够解决含三角函数值计算的实际问题

二、自主学习：

1.问题：

如图，小明沿斜坡AB行走了10cm。

他的相对位置升高了5cm，

你能知道这个斜坡的倾斜角A的大小吗？

根据已知条件，有：

sinA=

可以由一个锐角的三角函数值求这个角的大小。

得∠A=

自学例题：

1．求满足下列条件的锐角A

（1）

（2）（3）

2．如图，已知秋千吊绳的长度2m，求秋千升高1m时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度

三、释疑解难：

四、例题讲解：

例1．根据下列条件求锐角θ的大小：

（1）sinθ＝；

（2）cosθ＝；（3）tanθ=；

例2．求满足下列条件的锐角α．

（1）cosα＝,2）

（2）2sinα＝1（3）2sinα－＝0（4）tanα－1＝0

练习：

1.若sinα＝，则锐角α＝_________；若sinα＝,2）,则锐角α＝_________.

2.若∠A是锐角，且tanA＝,3），则cosA＝_________.

例3.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝，AB＝10，求△ABC面积.

变式：

如图，△ABC中，cosB＝,2），sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是_________.

五：

当堂检测：

A级（100分）

1.若sinα＝,2），则锐角α＝________；若2cosα＝1，则锐角α=_________.

2.在△ABC中，若））＋＝0，则sinB＝，∠C＝.

在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且有））＋（2sinA－）2＝0，则△ABC的形状是_________.

3.在△ABC中，∠C＝90°

（1）若∠A＝30°，则a:

b:

c=；

（2）若∠A＝45°，则a:

b:

c=.

4.求满足下列条件的锐角α:

⑴cosα－,2）＝0⑵－tanα＋＝0⑶cosα－2＝0

⑷tan（α＋10°）＝⑸cos（α－25°）＝,2）⑹tanα－2tanα＋3＝0

课题：

7.5解直角三角形

一、教学目标：

1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；

2.渗透数形结合的数学思想；逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.

二、自主学习：

1、如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系：

（1）三边之间关系：

（勾股定理）；

（2）锐角之间的关系：

；

（3）边角之间的关系：

；；.（以∠A为例）

2、由直角三角形中的，求出的过程，叫做解直角三角形.

三、释疑解难：

四、例题讲解：

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,a=5.解这个直角三角形.

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3,b=.解这个直角三角形.

练习：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．请根据下列条件解直角三角形．

（1）a＝10，∠A＝45°；

（2）a＝5，b＝5；

3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=，解Rt△ABC。

4、已知：

如图，⊙O的半径为10，求⊙O的内接正五边形ABCDE的边长.

5、当堂检测：

A级（100分）

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是（）

A．c=B．c=C．c=a·tanAD．c=a·cosA

2、在Rt△ABC中∠C=90°，c=8，∠B=30°，则∠A=______，a=______，b=______.

3、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：

（1）b=，c=4；

（2）∠A=60°，a+b=

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=15，求△ABC的周长和tanA的值.

B级（20分）

5.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S△ADC=，求BD的长。

课题：

§7.6锐角三角函数的简单应用

（1）

一、教学目标：

1．能把实际问题抽象为几何问题，借助直角三角形、锐角三角函数把已知量与未知量联系在一起解决实际问题。

2．构造直角三角形是解决这类问题重要辅助线。

二、自主学习：

问题引入：

单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到AB’的位置时,∠BAB’=11°,问这时摆球B’较最低点B升高了多少

（精确到1cm）?

三、释疑解难：

四、例题讲解：

例1、国庆节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min．小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光，2min后小明离地面的高度是多少（精确到0.1m）？

分析：

如图，小明开始在车厢点B，经过2min后到了点C，点C离地面的高度就是小明离地面的高度，其实就是DA的长度DA=AE-

解：

问题延伸：

1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？

2、小明将有多长时间连续保持在离地面10m以上的空中？

例2：

机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上.

（1）求弦BC的长；

（2）求圆O的半径长.（本题参考数据：

sin67.4°=，cos67.4°=，tan67.4°=）

5、当堂检测：

A级（100分）

1、如图1所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．

2、如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，

则tan∠OPA等于（　　）

A．B．C．2D．

A

20米

300450

BC

3、涟水县在“旧城改造”中计划在县内一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境。

已知∠B=300，∠C=450，AB=20米，且知道这种草皮每平方米售价a元，请你算一算购买这种草皮共需要多少钱？

B级（20分）

4、某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长（精确到1m，≈1.732）

课题：

§7.6锐角三角函数的简单应用

（2）

一、教学目标：

1．进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

二、自主学习：

仰角、俯角的定义：

如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角．

问题引入：

如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。

已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。

（参考数据：

sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

三、释疑解难：

四、例题讲解：

例1：

为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°．若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.01m）