七年级数学相交线与平行线讲义.docx

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七年级数学相交线与平行线讲义

相交线与平行线

知识点一（平行线的基本性质）

1．平行线具有如下性质：

（1）性质1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．这个性质可简述为两直线平行，同位角相等．

（2）性质2：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．这个性质可简述为两直线平行，内错角相等．

（3）性质3：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．这个性质可简述为两直线平行，同旁内角互补．

2．同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离．

【例题精讲】

题型1：

平行线的基本性质

例题1：

如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．

（1）如果AB∥EF，那么∠2＝______．理由是____________________________________．

（2）如果AB∥DC，那么∠3＝______．理由是____________________________________．

（3）如果AF∥BE，那么∠1＋∠2＝______．理由是______________________________．

（4）如果AF∥BE，∠4＝120°，那么∠5＝______．理由是________________________．

例题2：

已知：

如图，DE∥AB．请根据已知条件进行推理，分别得出结论，并在括号内注明理由．

（1）∵DE∥AB，（）

∴∠2＝______．（_________________，_________________）

（2）∵DE∥AB，（）

∴∠3＝______．（_________________，_________________）

（3）∵DE∥AB（），

∴∠1＋______＝180°．（____________________，____________________）

例题3：

如图所示,已知DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,那么∠BDC等于（）

A.78°B.90°C.88°D.92°

例题4：

如图所示,如果DE∥AB,那么∠A+______=180°,或∠B+_____=180°,根据是______;如果∠CED=∠FDE,那么________∥_________.根据是________.

【课堂练习】

一、选择题:

1.如图1所示,AB∥CD,则与∠1相等的角（∠1除外）共有（）毛

A.5个B.4个C.3个D.2个

（1）

2.如图2所示,已知DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,那么∠BDC等于（）

A.78°B.90°C.88°D.92°

（2）（3）

3.下列说法:

①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是（）

A.①B.②和③C.④D.①和④

4.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相（）

A.垂直B.平行C.重合D.相交

5.如图3所示,CD∥AB,OE平分∠AOD,OF⊥OE,∠D=50°,则∠BOF为（）

A.35°B.30°C.25°D.20°

6.如图4所示,AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C等于（）

A.180°B.360°C.540°D.720°

（4）（5）（6）

7.如图5所示,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

二、填空题:

1.如图6所示,如果DE∥AB,那么∠A+______=180°,或∠B+_____=180°,根据是______;如果∠CED=∠FDE,那么________∥_________.根据是________.

2.如图7所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、后的两条路平行,若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________.

（7）

3.如图8所示,AB∥CD,∠D=80°,∠CAD:

∠BAC=3:

2,则∠CAD=_______,∠ACD=_______.

（8）（9）

三、训练平台:

1.如图9所示,AD∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求∠ADC的度数.

2.如图所示,AB∥CD,AD∥BC,∠A的2倍与∠C的3倍互补,求∠A和∠D的度数.

知识点二（命题和平移）

【知识梳理】

一、命题及平移

1．判断一件事件的语句叫做命题．

2．许多命题都是由题设和结论两部分组成．其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项

3．命题通常写成“如果……，那么……．”的形式．这时，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．

4．所谓真命题就是：

如果题设成立，那么结论就一定成立的命题．相反，所谓假命题就是：

如果题设成立，不能保证结论总是成立的命题

5.平移：

由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图形上的所有的点都向同一个方向运动，且运动相等的距离，这样的图形改变叫做图形的平移变换，简称平移。

平移要素：

平移的方向,移动的距离

平移的性质：

平移变换不改变图形的形状、大小和方向；

连结对应点的线段平行且相等。

前后两个图形全等。

平移的作图：

（1）找出关键点；

（2）作出这些点经平移后的点；

（3）将所作的对应点按原来方式连结，所得图形即是；

作点的平移变换的像是图形平移变换作图的基本方法.

“以局部带整体”的作图思想.

【例题精讲】

题型1：

命题

例题1：

指出下列命题的题设和结论

1．垂直于同一条直线的两条直线平行．

题设是___________________________________________________________；

结论是___________________________________________________________．

2．同位角相等，两直线平行．

题设是___________________________________________________________；

结论是___________________________________________________________．

3．两直线平行，同位角相等．

题设是___________________________________________________________；

结论是___________________________________________________________．

4．对顶角相等．

题设是___________________________________________________________；

结论是___________________________________________________________．

例题2：

将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式

1．90°的角是直角．

__________________________________________________________________．

2．末位数字是零的整数能被5整除．

__________________________________________________________________．

3．等角的余角相等．

__________________________________________________________________．

4．同旁内角互补，两直线平行．

__________________________________________________________________．

题型2：

平移

例题1：

如图所示，线段AB在下面的三个平移中（AB→A1B1→A2B2→A3B3），具有哪些性质．

图a

图b图c

（1）线段AB上所有的点都是沿______移动，并且移动的距离都________．因此，线段AB，A1B1，A2B2，A3B3的位置关系是____________________；线段AB，A1B1，A2B2，A3B3的数量关系是________________．

（2）在平移变换中，连接各组对应点的线段之间的位置关系是______；数量关系是______．

例题2：

如图所示，将三角形ABC平移到△A′B′C′．

图a图b

在这两个平移中：

（1）三角形ABC的整体沿_______移动，得到三角形A′B′C′．三角形A′B′C′与三角形ABC的______和______完全相同．

（2）连接各组对应点的线段即AA′，BB′，CC′之间的数量关系是__________________；位置关系是__________________．

【课堂练习】

1、下列语句哪些是命题，哪些不是命题?

（1）．两条直线相交，只有一个交点．（）

（2）．π不是有理数．（）

（3）．直线a与b能相交吗?

（）（4）．连接AB．（）

（5）．作AB⊥CD于E点．（）（6）．三条直线相交，有三个交点．（）

2、判断下列各命题中，哪些命题是真命题?

哪些是假命题?

（对于真命题画“√”，对于假命题画“×”）

（1）．0是自然数．（）

（2）．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．（）

（3）．相等的角是对顶角．（）

（4）．如果AC＝BC，那么C点是AB的中点．（）

（5）．若a∥b，b∥c，则a∥c．（）

（6）．如果C是线段AB的中点，那么AB＝2BC．（）

（7）．若x2＝4，则x＝2．（）

（8）．若xy＝0，则x＝0．（）

（9）．同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交．（）

（10）．邻补角的平分线互相垂直．（）

（11）．同位角相等．（）

（12）．大于直角的角是钝角．（）

3、如图所示,请将图中的“蘑菇”向左平移6个格,再向下平移2个格.

（第1题）

4.如图所示,将△ABC平移,可以得到△DEF,点B的对应点为点E,请画出点A的对应点D、点C的对应点F的位置.

知识点三（能力培养）

【知识梳理】

1、如图，已知，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是

∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°

【解法指导】基本图形

2、已知，如图，AB∥EF，求证：

∠ABC＋∠BCF＋∠CFE＝360°

仿照上述例题，如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,请你写出它们之间的关系.

2、公路上同向而行的两辆汽车,从后车车头与前车车尾“相遇”到原后车车尾离开原车车头这段时间为超车时间,如果原前、后两车车长分别为a,b,那么在超车时间内两车行驶的路程与两车车长有何关系?

3、如图所示,大圆O内有一小圆O1,小圆O1从现在的位置沿O1O的方向平移4个单位后,得到小圆O2,已知小圆半径为1.

（1）求大圆的面积;

（2）求小圆在平移过程中扫过的面积.

课后作业

一、选择题

1．如图，AB∥CD，若∠2是∠1的4倍，则∠2的度数是（）．

（A）144°（B）135°

（C）126°（D）108°

2．已知：

OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为（）．

（A）30°（B）60°

（C）150°（D）30°或150°

3．如图，直线l1，l2被l3所截得的同旁内角为α，β，要使l1∥l2，只要使（）．

（A）α＋β＝90°（B）α＝β

（C）0°＜α≤90°，90°≤β＜180°（D）

4．如图，AB∥CD，FG⊥CD于N，∠EMB＝α，则∠EFG等于（）．

（A）180°－α（B）90°＋α

（C）180°＋α（D）270°－α

5．以下五个条件中，能得到互相垂直关系的有（）．

①对顶角的平分线

②邻补角的平分线

③平行线截得的一组同位角的平分线

④平行线截得的一组内错角的平分线

⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

6．如图，在下列条件中：

①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC且∠3＝∠4；④∠BAD＋∠ABC＝180°，能判定AB∥CD的有（）．

（A）3个（B）2个

（C）1个（D）0个

7．在5×5的方格纸中，将图a中的图形N平移后的位置如图b所示，那么正确的平移方法是（）．

（A）先向下移动1格，再向左移动1格

（B）先向下移动1格，再向左移动2格

（C）先向下移动2格，再向左移动1格

（D）先向下移动2格，再向左移动2格

8．在下列四个图中，∠1与∠2是同位角的图是（）．

图①图②图③图④

（A）①②（B）①③

（C）②③（D）③④

9．如图，AB∥CD，若EM平分∠BEF，FM平分∠EFD，EN平分∠AEF，则与∠BEM互余的角有（）．

（A）6个（B）5个

（C）4个（D）3个

10．把一张对边互相平行的纸条折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论正确的有（）．

（1）∠C′EF＝32°

（2）∠AEC＝148°

（3）∠BGE＝64°（4）∠BFD＝116°

（A）1个（B）2个

（C）3个（D）4个

二、填空题

11．若角α与β互补，且

，则较小角的余角为＿＿＿＿°．

12．如图，已知直线AB、CD相交于O，如果∠AOC＝2x°，∠BOC＝（x＋y＋9）°，∠BOD＝（y＋4）°，则∠AOD的度数为＿＿＿＿．

13．如图，DC∥EF∥AB，EH∥DB，则图中与∠AHE相等的角有_____________________

_______________________________．

14．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E，F，EP与∠EFD的平分线相交于点P，且∠EFD＝60°，EP⊥FP，则∠BEP＝______°．

15．王强从A处沿北偏东60°的方向到达B处，又从B处沿南偏西25°的方向到达C处，则王强两次行进路线的夹角为______°．

16．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有______个．

三、作图题

17．如图是某次跳远测验中某同学跳远记录示意图．这个同学的成绩应如何测量，请你画出示意图．

四、解答题

18．已知：

如图，CD是直线，E在直线CD上，∠1＝130°，∠A＝50°，求证：

AB∥CD．

19．已知：

如图，AE⊥BC于E，∠1＝∠2．求证：

DC⊥BC．

20．已知：

如图，CD⊥AB于D，DE∥BC，EF⊥AB于F，求证：

∠FED＝∠BCD．

21．已知：

如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求证：

∠B＝2∠DCN．

22．已知：

如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，AF平分∠BAD，CE平分∠BCD．

求证：

AF∥EC．

五、问题探究

23．已知：

如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，EF经过点O且平行于BC，分别与AB，AC交于点E，F．

（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；

（2）若∠ABC＝α，∠ACB＝β，用α，β的代数式表示∠BOC的度数．

（3）在第

（2）问的条件下，若∠ABC和∠ACB邻补角的平分线交于点O，其他条件不变，请画出相应图形，并用α，β的代数式表示∠BOC的度数．

24．已知：

如图，AC∥BD，折线AMB夹在两条平行线间．

（1）判断∠M，∠A，∠B的关系；

（2）请你尝试改变问题中的某些条件，探索相应的结论．

建议：

①折线中折线段数量增加到n条（n＝3，4，…）；

②可如图1，图2，或M点在平行线外侧．

图1图2