七年级数学相交线与平行线.docx

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七年级数学相交线与平行线

七年级数学相交线与平行线

相交线与平行线

 一、内容提要：

 　　1、两条直线相交只有一个交点。

 　　2、垂直：

两条直线相交的四个角中有一个为直角时，称这两条直线互

相垂直，交点叫垂足。

 　　3、在同一平面内，经过直线外（上）一点，有且只有一条直线与已知直

线垂直。

直线外这个点到垂足间的线段叫做点到直线的距离。

 　　4、两12.0pt12.0pt直线被第三条直线所截，出现的三种角：

同位

角，内错角，同旁内角。

 　　直线m截直线a,b成如图所示的8个角，在图中：

 　　同位角：

∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8；

 　　内错角：

∠3和∠5，∠4和∠6；

 　　同旁内角：

∠3和∠6，∠4和∠5。

 　　5、平行线：

在同一平面内不相交的两条直线。

 　　6、经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

 　　7、（补充）平行于同一直线的两条直线互相平行。

 　　垂直于同一直线的两条直线互相平行。

 　　8、平行线的识别方法：

 　　同位角相等，两直线平行。

 　　内错角相等，两直线平行。

 　　同旁内角互补，两直线平行。

 　　9、平行线的特征:

 　　两直线平行，同位角相等。

 　　两直线平行，内错角相等。

 　　两直线平行，同旁内角互补。

 二、例题精选：

 　　例1.如图，能与∠FDB构成内错角的角有_______________,能与∠

DFB构成同旁内角的角有_______________。

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt

 　答案：

∠AFD、∠EFD、∠DBC,∠DBF、∠FDB、∠FDC、∠CBF。

 　例2.如图：

AB⊥a,AC⊥b,则线段AC比AB______，点B到a的距离是

________。

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt

 　　答案：

短，线段AB的长度。

 　　例3.判断题：

 　　1）不相交的两条直线叫做平行线。

　　　　　　　　　　　（　　　）

 　　2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

　　　　　　（　　　）

 　　3）两直线平行，同旁内角相等。

　　　　　　　　　　　　（　　　）

 　　4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

　　　　　　（　　　）

 　　答案：

（1）错，应为”在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。

（2）错，应为”过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。

 　　（3）错，应为”两直线平行，同旁内角互补“。

 　　（4）错，应为”两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。

 　　例4.将长方形纸片折角后再展开，一边所折成的两条线段与折痕的夹

角的平分线具有什幺关系？

 　　答案：

互相垂直。

如图:

EM、EN垂直。

 　　　　　　　　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt

 例5.如图，能否在△ABC所在平面画一条直线使图形中与∠B成为同旁内

角的角有3个？

4个？

能否多于4个？

 　　　　　　　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt　　　

 答案：

图中与∠B成为同旁内角的角已有∠A和∠C，如图1所示∠B就有

3个同旁内角。

如图2所示∠B就有4个同旁内角，不可能多于4个角。

 　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt　12.0pt12.0pt

 例6.已知AB∥ED,并且∠B=120°,∠D=160°,能否求∠C的度数？

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt　　答案：

∠

C=80°（有多种方法，方法－：

过C作CF∥AB；方法二：

延长BC和ED交

于F点。

等等）

 　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt　　　　12.0pt12.0pt

 例7.如图，CD∥BE，试判断∠1，∠2，∠3之间的关系。

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt　　　答案：

∠1=∠

2+∠3（方法很多，以过A点作直线MN∥CD为最好，还可以延长CD交

AB与G。

）

 　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt　　　　　12.0pt12.0pt　　测试选择

题

 1．下列说法中，正确的个数是（　）

（1）相等且互补的两个角都是直角

（2）互补角的平分线互相垂直

 　　（3）邻补角的平分线互相垂直

 　　（4）一个角的两个邻补角是对顶角

 　A．1　　B．2　　C．3　　D．4

 2．如图，同旁内角共有（　）对

 　　　　　　　　　12.0pt12.0pt　A．4　　B．5　　C．6　　D．7

 3．下列说法中正确的个数有（　）

 　　①不相交的两直线叫平行线

 　　②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行

 　　③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

 　　④连结两点之间的线段叫两点之间的距离

 　A．4　　B．0　　C．1　　D．2

 4．下列说法正确的是（　）

 　A．垂直于同一直线的两条直线互相垂直

 　B．平行于同一条直线的两条直线互相平行

 　C．平面内两个角相等，则他们的两边分别平行

 　D．两条直线被第三条直线所截，那幺有两对同位角相等

 5．如图，AB∥DE，∠B=150°，∠D=140°，则∠C的度数是（　）

 　　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt　A．60°　B．75°　C．70°　

D．50°

 答案与解析

 　　答案：

1、C　2、B　3、D　4、B　5、C

 　　解析：

略。

 图形的概念和扩展

 　　数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。

与数的概念的形成

一样，人类关于形的概念，也经历了一个在实践基础上逐级抽象的漫长过

程。

 　　产生最初的空间形式是在史前时期。

人一生下来就处在极其丰富的大

自然环境之中，在与大自然的直接接触中获得对最初的几何形式和最初的几

何图形的知识。

每当人们在开阔的草原上狩猎时，看到天上的太阳和月亮、

湖泊等自然景观，逐渐认识了这些事物的形状特点。

比如知道满月和太阳的

形状是相同的，而圆滑的山包与尖峭的山峰在天幕上勾勒出不同的轮廓线。

进而，他们又用这种认识来指导自己创造性的实践，制造出像太阳一样圆的

车轮。

在制造日常生活中必不可少的工具时，逐渐地熟悉了他们努力模仿的

各种形状，逐渐抽象出最初的几何概念。

如在数百次来往中发现最短的道

路，于是产生了直线的概念；当人类制造最简单的打猎武器--绷紧绳子的弓

时，直线的概念就更为明确了；而当人类按照”三角形”的概念，建成一座规

则的正四棱锥形房屋，制作骨制的鱼叉和投矛器时，也就促进了对空间体概

念的理解，对”形”的认识也达到了一个新高度。

 　　到新石器时代（约距今9000年），工具的改进和生产能力的提高使人

类对”形”的认识有了进一步的提高。

我国的仰韶文化（距今约6000多年）

中，已经有了房屋，分为方形和圆形两种，说明当时的人对方形、圆形及某

些立体有了一定的认识。

仰韶文化遗留下来的石器已有十分规则的形状，可

见当时的人对”对称”、”平行”、”等距”等的几何图形也有了初步认识。

 　　发明陶器是人类生活中的一件大事。

制造陶器和人类对几何图形的认

识分不开--陶器具有比较规则的几何形状。

距今约6000年前，开始出现各种

形状的陶器以及刻画在陶器等物体上的装饰图纹。

这是人类对图形认识的一

个飞跃。

从我国西安半坡村发掘的新石器遗址中，可以看到有圆柱形和圆台

形的纺轮以及画在陶器上的几何图案，其中有各种圆形、正方形、三角形和

对称涡纹等等。

在三角形中又有直角的、等腰的、等边的区别。

虽然这些图

形还很粗糙，但是说明早在6000多年前，半坡村人已具有初等几何中的一些

基本图形观念。

 　　随着人类实践活动的不断深入，对图形的认识也就逐渐深化。

为了丈

量土地，确定谷仓的大小、开河造堤时所挖土地的多少，先后出现了长度、

面积、体积等有关图形的概念。

有了这些概念，各种图形的有关计算方法也

就随着出现了。

根据现存的埃及最古老的数学草卷记载，在公元前约90世

纪，埃及人已经掌握了计算三角形、长方形、梯形等图形面积的一般方法。

 　　我国对图形研究得比较早。

从甲骨文中发现，大约在公元前十三、十

四世纪，我国已经有了”规”、”矩”等几何专门名词。

”规”，表示圆规，用来

画圆；”矩”，表示直尺，用来画方。

战国时期《尸子》上就记载：

”古者，为

规、矩、准、绳，使天下仿焉。

”作为规、矩、准、绳的创始人，也许是一

种传说，但是用规矩、准绳作图，使几何图形规范化，确实出现于我国远古

时代。

 　　科学的几何学的开端是希腊数学家泰勒斯创建的。

据说，泰勒斯是一

个精明的商人，创立了爱奥尼亚学派。

在几何学上他除了发现”对顶角相

等”、”三角形两边一夹角对应相等的三角形全等”、”等腰三角形两底角相等”

等几个命题外，他最大的贡献是：

开创了演绎证明的先例，即第一次给出了

命题的证明。

尽管证明过程还远不及后来的毕达哥拉斯和欧几里得严格，还

不具备较完备的逻辑体系，但是他对命题的论证方式却是开创性的。

 　　人类对”形”的认识是不会停止的，随着生产实践的发展，会发现越来

越多的新的性质。

相交线　　例1：

如图，直线AB和CD交于点O。

（1）写出∠3和∠4的对顶角；

（2）写出∠2和∠4的邻补角；

 　　（3）已知∠2=120°，求∠1和∠4的度数？

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt

 分析：

找对顶角和邻补角应根据定义，计算角的度数可根据对顶角、邻补

角的性质。

 解：

（1）因为∠3的两边的反向延长线是∠1的两条边，所以∠3的对顶

角是∠1，同理∠4的对顶角是∠2。

（2）因为∠2与∠1有公共顶点O和一条公共的边OC，且另一边

OA的反向延长线OB是∠1的另一条边，

 　　所以∠1是∠2的一个邻补角，

 　　同理，∠3也是∠2的一个邻补角，

 　　即∠2的邻补角是∠1和∠3，

 　　同理∠4的邻补角是∠1和∠3。

 　　（3）∠1=180°-∠2=180°-120°=60°（邻补角定义）

 　　　　∠4=∠2=120°（对顶角相等）

 　　或∠4=180°-∠1=180°-60°=120°（邻补角定义）

 　　例2：

如图，AB和CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，且∠

AOE=140°，求∠BOD的度数。

 　　　　　　　　　　　　　　　　12.0pt12.0pt

 　分析：

可用邻补角或对顶角的性质求解。

 　　解法一：

∠BOE=180°-∠AOE（邻补角定义）

 　　　　　　　　=180°-140°

 　　　　　　　　=40°

 　　∠BOC=2∠BOE=2×40°=80°（角平分线定义）

 　　所以∠BOD=180°-∠BOC（邻补角定义）

 　　　　　　=180°-80°

 　　　　　　=100°

 　　解法二：

∠COE=∠EOB=180°-∠AOE=180°-140°=40°

 　　∠AOC=∠AOE-∠COE=140°-40°=100°

 　　所以∠BOD=∠AOC=100°（对顶角性质）

 　　例3：

如图，画出直线AE⊥CD，直线AF⊥BC，垂足分别为E、F。

 　　　　　　　　　　　　　　　　　12