七年级数学下册相交线与平行线.docx

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七年级数学下册相交线与平行线

第2讲相交线与平行线

知识导航

1．三线八角．

2．平行线与平行公理．

3．平行线的判定．

4．平行线的性质．

5．平移．

【板块一】平行线的判定

◆题型一三线八角

方法技巧

1．两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．

2．同位角形如字母“F"（或倒置、反置）；内错角形如字母“Z”（或反置）；同旁内角形如字母“U”（或倒置、反置）．

3．三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的．

【例1】在∠1至∠8这8个角中，同位角、内错角、同旁内角各有几对，请分别写出来．

◆题型二平行公理及其推论

方法技巧

（1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据．

（2）平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，不限定点是否在直线上．

【例2】下列说法中正确的是（B）．

A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C．因为a∥b，c∥d，所以a∥d

D．一条直线的平行线只有一条

◆题型三平行线的判定——两步导角证平行

方法技巧

1.已知角相等导角证平行.

2.通过角的数量关系证平行.

3.通过同角（等角）的余角相等，对顶角相等，角平分线得等角，再证平行.

【例3】如图，已知CD平分∠ACB，∠1＝∠2，试判断AC与DE的位置关系，并说明理由.

◆题型四平行线的判定方法＋平行公理推论证平行

【例4】如图，∠A＋∠B＝180°，∠EFC＝∠DCG，试说明：

AD∥EF.

◆题型五作辅助线证折线中的平行关系

方法技巧

有些平行线的证明，无法直接导出相等角，此时考虑连线或作平行线转化角.

【例5】如图，在长方形ABCD中，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，AM平分∠EAD，CN平分∠DCF.

（1）直接写出图中∠ABC的所有同位角；

（2）求证：

AM∥CN.

针对练习1

1.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的方向与角度可能是（）

A.第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

2.平面上有2018条直线，若a1⊥a2，a2⊥a3，a3∥a4，a4∥a5，a5⊥a6，a6⊥a7，…，那么a1和a2018的位置关系是_________.

3.如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＝∠BME，那么AB∥CD，MP∥NQ，请说明理由.

4.如图，直线EF与直线AB，CD分别相交于点M，N，直线PT经过点M，∠MQN＝∠BMQ＋∠QND，∠AMT＝∠QND.

（1）求证：

МР∥NQ；

（2）АВ∥СD.

5.在长方形ABCD中.

（1）如图1，若CD＝3，BD＝5，BC＝4，AE⊥BD于点E，P是BD上一动点，连接CP，当CP为何值时，CP∥AE?

说明理由；

（2）如图2，若∠ADB＝20°，P为BC上一动点，将三角形ABP沿AP翻折到三角形AEP位置，当∠BAP等于多少度时AE∥BD?

说明理由.

【板块二】平行线的性质

◆题型一利用平行线性质导角

方法技巧

1.在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内错互补的结论，这是平行线特有的性质.

2.利用平行线的性质构建等角链.

【例1】如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论：

①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE＋∠D＝90°；④∠DEB＝2∠ABC，其中结论正确的个数有哪些?

说明理由.

◆题型二利用角平分线的性质与判定进行计算与证明

方法技巧

利用已知得可知，思考结论看需知.

【例2】如图，DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG.

（1）说明：

DC∥AB；

（2）求∠PFH的度数.

◆题型三平行线间的距离

方法技巧

1.平行线间的距离处处相等.

2.夹在两条平行线间的线段必须是和这两条平行线垂直，否则其长度不是两条平行线间的距离.

3.夹在两平行线间的图形的等积变换.

【例3】已知在梯形ABCD中，AD∥BC，连接AC，BD相交于点O.

（1）图中有几对面积相等的三角形?

（2）若AD与BC之间的距离为a，AC＝4，BD＝5，求AD＋BC的最大值.（用a表示）

◆题型四命题

方法技巧

（1）命题必须是一个完整的句子，而且这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，二者缺一不可.

（2）命题的内容可以是几何的，也可以是代数的，还可以是生活中的事情，如“如果a＝b，那么a2＝b2”，“末位数字是0或5的数能被5整除”，“这支粉笔是红色的”等都是命题.

（3）命题是判断句，而判断句可对可错，因而命题所描述的关系可真可假，如“相等的角都是对顶角”，这个判断虽是错的，但仍然是命题.

（4）疑问句、具体操作都不是命题，如“今天是星期天吗?

”就不是命题.

【例4】判断下列语句是不是命题，如果是命题，写成“如果…，那么…”的形式，指出题设和结论，并指出是真命题还是假命题：

（1）画直线AB；

（2）两直线相交，有几个交点?

（3）等角的补角相等；

（4）两点确定一条直线.

针对练习2

1.如图，AD与BC交于点O，点E在AD上，∠C＝∠3，∠2＝80°，∠1＋∠3＝140°，∠A＝∠D，求∠B的度数.

2.如图，点E在AB上，点F在CD上，EC交AD于点G，BF交AD于点H，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC.

（1）试说明AB∥CD；

（2）若∠1＋∠2＝180°，且∠BEC＝2∠B＋60°，求∠C的度数.

3.如图，点F在CA的延长线上，点E在CD的延长线上，已知AB∥CD，∠C＝35°，AB是∠FAD的平分线，∠ADB＝110°，求∠BDE的度数.

4.直线a上有一点A，直线b上有一点B，且a∥b.点P在直线a，b之间，若PA＝3，PB＝4，则直线a，b之间的距离（）

A.等于7B.小于7C.不小于7D.不大于7

5.如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C，D两点，∠1＝∠2，下列结论：

①∠3＝∠EDB；②∠A＝∠3；③AC∥DE；④∠2与∠3互补；⑤∠1＝∠EDB，其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有3块面积分别是12，32，52的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是（）

A.108B.96C.84D.72

7.如图1，将线段AB平移至CD，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC.

（1）填空：

AB与CD的位置关系为_________，BC与AD的位置关系为___________；

（2）点G，E都在直线DC上，∠AGE＝∠GAE，AF平分∠DAE交直线CD于点F.

①如图2，若G，E为射线DC上的点，∠FAG＝30°，求∠B的度数；

②如图3，若G，E为射线CD上的点，∠FAG＝α，求∠C的度数（结果用含α的式子表示）.

【板块三】阅读理解填空、解答题

◆题型一阅读理解填理由题

方法技巧

看图，联系上下文，运用有关定理进行合理填空.

【例1】完成下列推理过程

如图，M，F两点在直线CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，求证：

BM∥DN.

证明：

∵BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，

∴∠1＝

∠ABC，∠3＝__________（角平分线定义）.

∵AB∥CD，

∴∠1＝∠2，∠ABC＝________（____________）

∵CB∥DE，

∴∠BCD＝________（____________）.

∴∠ABC＝∠EDF，∴∠1＝∠3，

∴∠2＝________（____________）

∴BM∥DN（____________）

◆题型二阅读理解和运用

【例2】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某同学为了探究这两个角之间的关系，画出了以下两个不同的图形，请你根据图形完成以下问题：

（1）如图1，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1与∠2的关系是_________；

如图2，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1与∠2的关系是_________；

（2）根据

（1）的探究过程，我们可得出结论：

如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角____________；

（3）利用结论解决问题：

如果有两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度?

针对练习3

1.完成下面的证明：

如图，点D、E、F分别在线段AB、BC、AC上，连接DE、EF，DM平分∠ADE交EF于点M，∠1＋∠2＝180°，求证：

∠B＝∠BED.

证明：

∵∠1＋∠2＝180°（已知），

又∵∠1＋∠BEM＝180°（平角定义），

∴∠2＝∠BEM（___________），

∴DM∥_________（_________________）

∴∠ADM＝∠B（_________________）

∠MDE＝∠BED（_________________）

又∵DM平分∠ADE（已知），

∴∠ADM＝∠MDE（角平分线定义），

∴∠B＝∠BED（_________________）.

2.探究：

如图1，直线AB，BC，AC两两相交，交点分别为点A，B，C，点D在线段AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F.若∠ABC＝40°，求∠DEF的度数.

请将下面的解答过程补充完整.

解：

∵DE∥BC（已知），

∴_________________（两直线平行，内错角相等）

∵EF∥AB（已知），

∴∠ABC＝∠EFC（_____________），

∴∠DEF＝∠ABC＝40°（等量代换）.

应用：

如图2，四边形BDEF中，BF∥DE，DB∥EF，∠F＝2∠D－50°，点C在线段BF上，若∠FCE＝∠CEF＋10°，求∠CEF的度数.

【板块四】运用“中间等角”导角证两线平行

◆题型一利用同角或等角的余角（或补角）相等导角

方法技巧

在已知条件为a＋b＝90°或a＋b＝180°的题目中，寻找第二对a＋c＝90°或a＋c＝180°，得出b＝c.

【例1】如图，已知直线AB∥DF，点G在射线BC上，射线DE分别交AB、AG于点H、M，∠D＋∠B＝180°.

（1）求证：

DE∥BC；

（2）如果∠AMD＝80°，∠AHE＝70°，∠EHB与∠MGC的平分线交于点P，求∠HPG的度数.

◆题型二运用等式的性质证角相等

方法技巧

1.若a＝b，b＝c，则a＝c；2.若a＝b，则a＋c＝b＋c.

【例2】如图，点B在AC上，AB∥EF，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AF与BE平行吗?

为什么?

◆题型三反复运用平行线的判定与性质导角

【例3】如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：

AB∥CD.

◆题型四作适当的辅助线构造中间等角

方法技巧

有些题目给出的等角的位置不是三线八角中的基本角，这时作适当的辅助线（连线，延长线或作平行线）来转化角.

【例4】如图是一个汉字“互”字，其中点M在AB上，点N在CD上，点G在ME上，点F在NH上，GH∥EF，∠1＝∠2，∠MEF＝∠GHN.

求证：

（1）∠MGH＝∠GHN；

（2）AB∥CD.

题型三设两个未知数，列关系式求解

方法技巧

题目中有两个独立未知角，一个已知方程不能求出未知角时，需列两个方程求解．

【例3】如图1，在五边形ABCDE中，AE∥BC，∠A＝∠C．

（1）猜想AB与CD之间的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，延长DE至点F，连接BE，若∠1＝∠3，∠AEF＝2∠2，∠AED＝2∠C－140°，求∠C的度数．

题型四设两个未知数列一个方程巧解角的度数

题目中有两个独立未知角，只有一个等戏，这时设两个未知数，列一个方程，巧解所求角．

【例4】已知AB∥CD，M，N分别是直线AB，CD上两点，点G在AB，CD之间，连接MG，NG，点E是AB上方一点，连接EM，EN，且GM的延长线平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN＋∠MGN＝105°，求∠AME的度数．

针对练习7

1．如图，AB∥CD，点E在直线AB上，点N，F在直线CD上，PE平分∠AEN，FH∥EN，延长PF到点G，FG平分∠DFH，若∠PFC＝∠AEP＋10°，求∠BEN的度数．

2．如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2．

（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；

（2）如图2，延长AD，BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH多少度时，∠GDC＝∠ADH?

3．如图，已知AB∥CD，∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若2∠F－∠E＝10°，求∠ABE的度数．

【板块八】分类讨论思想求角

题型一按照点的不同位置关系分类讨论求角

方法技巧

点在运动过程中，由于点在线上的不同位置，产生不同的图形，需分类讨论．

【例1】已知AB∥CD，∠BAD＝50°，点P在直线AD上，E为UD上一点

（1）如图1，当点P在线段AD延长线上时，求证：

∠PEC－∠APE＝130°；

（2）如图2，当点P在直线AD上运动时（不与点A，D重合），求∠APE与∠PEC之间

的数量关系．

题型二按照线的不同位置关系分类讨论求角

方法技巧

按照动线的不同位置来分类讨论求角．

【例2】一个角为60°，另一个角的两边分别与这个角的两边平行，则这个角的度数为．

题型三分类讨论求角之间的关系

方法技巧

点在运动时，两个动角之间具有某种确定的数量关系，此时设未知数，探求它们之间的关系

【例3】如图，已知AB/CD、BE平分ABD，DE平分/BDC

（1）求证：

BE⊥DE;

（2）H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD交CD于点I，在图2或备用图中，请你画出图形，并猜想∠EBI与∠BHD的数量关系，且说明理由．

针对练习8

1．如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的两倍少80°，则这两个角的度数分别是．

2．如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，∠BEF<150°，点P为直线EF左侧平面上一点，且∠BEP＝150°，∠EPF＝50°，则∠DFP的度数是．

3．

（1）如图1，F是OC边上一点，求证：

∠AFC＝∠AOC＋∠OAF；

（2）如图2，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF?

若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

【板块九】平移

题型一平移定义

方法技巧

1．图形的平移必须具备两个要素：

平移的方向与平移的距离．其中，平移的方向是平移前图形上的某一点到其对应点所指的方向；平移的距离是平移前图形上的某一点到其对应点之间的距离．

2．平移只改变位置，形状与大小都不改变。

【例1】下列运动中属于平移的是（）

A．急刹车时汽车在地面上的滑动B．冷水加热时小气泡上升变为大气泡

C．随风飘动的风等在空中的运动D．随手抛出的彩球的运动

题型二平移性质

（1）平移得到的图形与原图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应角相等；对应点的连线平行（或共线）且相等；

（2）“将一个图形沿某一个方向移动一定的距离”意味着“图形上的每一个点都沿同一方向移动了相同的距离”。

【例2】如图所示是重叠的两个直角三角形，将直角△ABC沿BC方向平移得到△DEF．如果AB＝8cm，BE＝4cm，DH＝3cm，求图中阴影部分的面积。

题型三平移作图

方法技巧

平移作图的步骤：

（1）找出能表示原图形的关键点；

（2）将原图形中的某个关键点与其平移后的位置点连接起来；（3）过其他关键点分别作线段，使得它们与确定线段平行且相等，再连接这些关键点的对应点，所得的图形就是原图形平移后的图形．

【例3】如图，网格中每个小正方形边长为1，三角形ABC的顶点都在格点上．将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'B'C'．

（1）请在图中画出平移后的三角形A'B'C'；

（2）画出平移后的三角形A'B'C’的中线BD'；

（3）若连接BB’，CC，则这两条线段的关系是；

（4）三角形ABC在整个平移过程中线段AB扫过的面积为；

（5）若三角形ABC与三角形ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有

个．

题型四平移中几何综合问题

方法技巧

善于运用平移性质结合平行线性质及技巧探究几何综合题．

【例4】如图，点C，M，N在射线DQ上，点B在射线AP上，且AP∥DQ，∠D＝∠ABC＝80°，∠1＝∠2，AN平分∠DAM．

（1）试说明AD∥BC；

（2）试求∠CAN的度数；

（3）平移线段BC．

①试问∠AMD：

∠ACD的值是否发生变化?

若不变，请求出这个比值；若不变，请找出相应变化规律；

②若在平移过程中存在某种位置，使得∠AND＝∠ACB，试求此时∠ACB的度数．

针对练习9

1．某宾馆准备在大厅的主楼梯上面铺设某种红地毯．已知这种红地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2．5米，其侧面如图，请你帮忙算一算，此宾馆若购买这种红地毯需花费多少钱?

2．将面积为5的三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移的距

离是边BC长的2倍，求图中的四边形ACED的面积．

3．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，现将三角形ABC平移，使点A平移到点D，点E，F分别是B，C的对应点．

（1）请画出平移后的三角形DEF，并求三角形DEF的面积＝；

（2）在AB上找一点M，使CM平分三角形ABC的面积；

（3）在网格中找格点P，使S△ABC＝S△BCP，这样的格点P有个．