第七章线性变换总结篇高等代数.docx
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第七章线性变换总结篇高等代数
第7章线性变换
7.1知识点归纳与要点解析
．线性变换的概念与判别
1.线性变换的定义
数域P上的线性空间V的一个变换称为线性变换,
如果对V中任意的元素
和数
kk
域P中的任意数k，都有：
注：
V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别
设为数域P上线性空间V的一个变换，那么：
为V的线性变换
lk
V,k,lP
3.线性变换的性质
性质
性质
性质
设V是数域P上的线性空间,
为V的线性变换,
2,L,S,V。
1.
2.
3.
00,
若1,2丄，s线性相关，那么
2,L
S也线性相关。
设线性变换为单射，如果
2,L
S线性无关，
那么
2,L,
也线性无关。
注：
设V是数域P上的线性空间，
2,L
2,L,
S是V中的两个向量组,
如果：
c111
c12
记：
1,2,L,m
c211
LL
c222
2L
L
c1ss
c2SS
cm11
cm22
2,L,S
c11
c21
cm1
c12
M
c22
M
cm2
M
c1s
cms
于是，若dimVn，
2,L,
n是V的一组基,
是V的线性变换,
1,2,L
是V中任意一组向量，如果:
1
b111
2
b211
LL
L
m
bm11
记:
1,2,L,
m
那么：
1,2,L,m
b11
b21
L
cm1
b12
b22
L
cm2，
设B12
，1,2,L
M
M
M
b1n
b2n
L
cmn
b122
L
b1nn
b222
L
b2nn
1,2L
m
b11
b21
L
cm1
,L,b12
b22
L
cm2
1,2,L,n
M
M
M
b1n
b2n
L
cmn
m是矩阵B的列向量组，
如果
i1,i2,L,ir是
1,2,L,m的一个极大线性无关组，那么
2Lm的一个极大线性无关组，因此向量组
秩等于秩B。
4.线性变换举例
（1）设V是数域P上的任一线性空间。
零变换：
00,V；
恒等变换:
V。
幂零线性变换:
设是数域P上的线性空间V的线性变换，如果存在正整数m，使
得m0，就称为幂零变换。
幂等变换:
设
是数域P上的线性空间V的线性变换，如果2，就称为幂等
变换。
（2）VPn,任意取定数域P上的一个n级方阵A，令:
X1
X1
X2
AX2
X2n
A,
Pn。
M
M
M
Xn
Xn
Xn
（3）VPx,Dfxf
X,fX
PX。
XAX,XPnn
是V的两个线性变换，定义它们的和
（4）VPnn,Aaj是V中一固定矩阵,二•线性变换的运算、矩阵
1.加法、乘法、数量乘法
（1）定义：
设V是数域P上的线性空间,
、乘积分别为：
对任意的V
任取kP，定义数量乘积k为：
对任意的V
kk
的负变换-为：
对任意的V
贝U、、k与-都是V的线性变换。
（2）LV={|为V的线性变换}，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P上的维线
性空间。
2.线性变换的矩阵
（1）定义：
设V是数域P上的n维线性空间,
是V的线性变换,
2丄，n是V的
一组基，如果:
此时:
a11
a21
L
3n1
312
322
L
3n2
M
M
M
31n
32n
L
Qin
为线性变换
那么称矩阵A
1
n
在基
n下的矩阵。
2,L,
2,L,
1
a111
a122
L
a1nn
2
a211
a222
L
a2nn
LL
L
n
an11
an22
L
annn
（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵:
LV，设
设1,2,L,n是数域P上的n维线性空间V的一组基,
它们在
2丄,n下的矩阵分别为A,B。
1）f:
LVPnn,
A是数域P上的线性空间
LV到数域P上的线性空
间Pnn的同构映射,
因此
LVPnn。
3［①
、
与-在基
1,
2丄
n下的矩阵分别为AB,AB与A;
②
任取k
P,k在基
1,
2丄
n下的矩阵为kA；
③
若为可逆线性变换，
则
1
在基1,2,L,n下的矩阵为A1；
④
设fX
m
amXam
m
1X
1L
a,x为数域P上的任一多项式，那么
f
m
amam1
m1
L
a1a。
（为V的恒等变换）在
1,2,L
n下的矩阵为：
f
AamAmam1Am1LqA玄巳。
基
2）可逆A可逆
三•特征值、特征向量与对角矩阵
1•矩阵的特征值与特征向量
（1）
矩阵的特征多项式:
设A为n级复方阵，将多项式
fA
A称为A的特征
多项式。
注:
1）若A
aij
nn
，则:
EnA
a11
a22
ann
1nA
1trA
nA
2）将En
A称为矩阵A的特征矩阵,
EnA0称为矩阵A的特征方程。
（2）
定义：
n级方阵A的特征多项式fA
EnA在复数域上的所有根都叫做其特
征值（根），设0C是A的特征值,
齐次线性方程组
EnAX0的每个非零
解都叫做矩阵A的属于其特征值0的特征向量。
（3）求法:
1）求fA
EnA在复数域上的所有根
1,2,L,n（重根按重数计算）；
2）对kk1,Ln解齐次线性方程组
kEnAX0,得其一个基础解系
k1,k2丄,k,lk（lkn
秩kEnA
），贝U矩阵A的属于特征值k的全部特
征向量为sk1k1sk2k2
LSk,kk,ik,其中Sk1,Sk2,L,Sk,ik为不全为零的任意常
数（复数）。
（4）重要结论：
1）
设°C是A的特征值,
X。
是A的属于其特征值°的特征向量，gx为一复
系数多项式。
g0为gA的特征值,
X0为gA的属于特征值g0的特征向量;
如果A还是可逆矩阵，那么
丄与—分别为A1和A的特征值，X。
为A1的属
00
1
于特征值丄的特征向量,
0
X。
为A的属于特征值
—的特征向量,
0
若1,2丄，n是矩阵A的全部特征值，那么g
，g
2,L,gn就是gA
1
的全部特征值，如果A还是可逆矩阵，则-
-,L
2
，丄为A1的全部特征值,
n
△△,L△为A的全部特征值;
2n
若1,2丄,n是矩阵A的全部特征值，
trA1
2.线性变换的特征值与特征向量
（1）定义：
设是数域P上的线性空间V的线性变换,
0P，若存在0
V，使得
0，就称0为的一个特征值，为
的一个属于特征值
0的特征向量。
（2）线性变换的特征多项式
设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，任取V的一组基
在该基下的矩阵为A，称矩阵为A的特征多项式
EnA为的特征多项式，记为
fEnA，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。
（3）求法：
设是数域P上的n维线性空间V的线性变换。
1）取定V的一组基!
2丄，n，求出在该基下的矩阵A；
2）求fEnA在P中的所有根1,2,L,m（0mn,重根按重数计算，且m0表示无特征值）。
3）若m0,对kt1,Ls解齐次线性方程组kEnAX0，得其一个基础
解系ki,k2,L,k,ik（lkn秩kEnA），则线性变换的属于特征值k的全部特征向量为1,2,L,nSkik1Sk2k2LSk,lkk,lk，其中Ski,Sk2,L,Sk,ik为P中不全为零的任意常数。
3.矩阵相似
（1）定义：
设A,B是数域P上的两个n级方阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵T，使得T1ATB，就称矩阵A相似于矩阵B，记为A:
B。
（2）性质：
1）矩阵相似是等价关系，即：
设A,B,C都是n级方阵，那么：
①A:
A；②若A:
B，那么B:
A；③若A:
B且B:
C，则A:
C。
2）若A:
B，那么fAEnAfBIEnB，因此矩阵A与矩阵B有相同的特征值，相同的迹（trAtrB），相同的行列式（AB）。
3）两个实对称阵相似它们有相同的特征值。
（3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。
（4）若T1ATB，那么BkT1AkT,kZ。
4.线性变换与矩阵可对角化
（1）矩阵可对角化
1）设A是n级方阵，如果存在n级可逆矩阵T，使得T1AT为对角阵，则称A可对角化。
2）n级方阵A可对角化A有n个线性无关特征向量。
3）如果n级方阵A有n个不同的特征值，贝UA可对角化。
4）设1,2,L,k是n级方阵A的所有不同的特征值，
fAEnA12^Lklk
称lii1,2,L,k为i的代数重数;
称Sn秩iEnAi1,2,L,k为j的几何重数;
Slii1,2,L,k；
n级方阵A可对角化对i1,2,L,k都有j的代数重数=j的几何重数。
注：
1.设齐次线性方程组
iEn
AX0的解空间为Wi，则s
dim
2.称VCn
i
Ai
为n级方阵A的属于特征值
i的特征子空间，那么
SdimVi
（2）线性变换可对角化
1）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果存在V的一组基，使得在
该基下的矩阵为对角阵，就称可对角化。
2）数域P上的n维线性空间V的线性变换可对角化有n个线性无关特征向
量。
3）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果有n个不同的特征值，则
可对角化。
4）设是数域P上的n维线性空间V的线性变换，在V的一组基下的矩阵为A，
设1,2,L,k是n级方阵A的所有不同的特征值。
①若l2,L,kP，那么:
可对角化
1,2,L,k都有i的代数重数=i的几何重数。
②若1,2,L,k不全在数域P中，则不可对角化。
注：
j的几何重数=dimV，其中VV
i7i
的特征子空间。
四•线性变换的值域与核
1.定义：
设是数域P上的线性空间V的线性变换，将
为的属于特征值
V分别称为线性变换
的核与值域（
10与V也分别记为ker
与Im）。
2•线性变换的秩与零度:
V与10都是V的子空间，将dimV与dim
别称为的秩和零度。
3.有限维线性空间的线性变换的值域与核
设V是数域P上的n维线性空间,
是V的线性变换,
1,2丄，n为V的一组基,
在该基下的矩阵为A,r秩A,1a22LannV。
因此
于是
4）dim
ai
a2
2是齐次线性方程组AX0的解。
M
an
AX0的一个基础解系，那么1,2,L,nr（其中
kk1,2,L,n
r）就是
10的一组基，于是:
dim
k11
k22Lknrnr匕山,L,心rP
的秩和零度为nr。
2,L,
的一个极大线性无关组就是
V的一组基，而
2，L
dim
的秩等于秩A=r，所以dimV
3.求法：
设V是数域P上的n维线性空间,
是V的线性变换。
10的求法:
取定V的一组基
1,
2丄，
n，求出在该基下的矩阵A；
解齐次线性方程组AX
得其一个基础解系
2,L,n
令k1,
2,L,n
1,2,L,n
r，得
的一组基
2,L,n
2Lkn
k1,k2,L,knrP
2）V的求法:
①取定V的一组基
2丄，
n，求出
在该基下的矩阵
②设矩阵A的列向量组为
2丄，
n，求出1,2丄
n的一个极大线性无关
2,L,
n的一个极大线性无关组
11
i?
>L,
ir，i1'
4，'ir
就是V的一组基。
VL
1,
L
S,」，ir
lh
丨
11112
L丨
i2Urir
\.Ll
I”山2宀J1ir
P
五•不变子空间
1.定义：
设是数域
P上的线性空间V的线性变换，
W是V的子空间，如果对W,
都有W
（即W
W），就称W是
的不变子空间，
也称-子空间。
2.设V是数域
P上的线性空间，那么0与V都是V的任一线性变换的不变子空间。
3.设是数域
P上的线性空间
V的线性变换，是的任意一个特征值，那么
的特征
子空间V
4.线性变换的循环子空间：
设
都是
的不变子空间。
是数域
P上的
0维线性空间
的线性变换，任取
V，必存在正整数m,
L,m1
线性无关，而
Lm
J1—J
线性相关，令W
则W是的不变子
空间，称W为的循环子空间。
5.设V是数域
P上的n维线性空间,
的线性变换,
的不变子空间,
OvdimW
mn，取W的
组基
2丄，
将其扩充为V的一组基
m,m1,L,n，那么
在该基下的矩阵为
A，其中A1为
的基1,
2丄，
m下的矩阵。
六•若尔当
（Jordan）标准形
1•若尔当块与若尔当形矩阵:
1）若尔当块：
形式为
1
J,tM
0
的矩阵称为若尔当块，其中
为复数。
2）若尔当形矩阵：
由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵,
其一般形状如:
A1
A2O
1i
其中：
Ai
1O
O
1
i
As
，且1,2,L,s中有些可以相等。
ikiki
2.复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵
1）设是复数域C上的n0维线性空间V的任意一个线性变换，那么必存在V的一组基，使得在该基下的矩阵为若尔当形矩阵。
2）每个n级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似。
3.设是复数域上的n0维线性空间V的线性变换，那么幕零的特征值都为零。
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