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1、第七章线性变换总结篇高等代数第 7 章 线性变换7.1 知识点归纳与要点解析线性变换的概念与判别1.线性变换的定义数域P上的线性空间V的一个变换 称为线性变换,如果对 V 中任意的元素和数kk域 P 中的任意数 k ，都有： 注： V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。2.线性变换的判别设 为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么：为V的线性变换lkV, k,l P3.线性变换的性质性质性质性质设V是数域P上的线性空间,为V的线性变换,2,L , S, V 。1.2.3.0 0,若1,2丄，s线性相关，那么2 ,LS 也线性相关。设线性变换 为单射， 如果2,LS 线性无关，

2、那么2 ,L ,也线性无关。注：设V是数域P上的线性空间，2,L2,L ,S是V中的两个向量组,如果：c11 1c12记：1, 2,L , mc21 1LLc22 22LLc1s sc2S Scm1 1cm2 22,L , Sc11c21cm1c12Mc22Mcm2Mc1scms于是，若 dim V n，2,L ,n是V的一组基,是V的线性变换,1, 2,L是V中任意一组向量，如果:1b11 12b21 1LLLmbm1 1记:1, 2,L ,m那么：1, 2,L , mb11b21Lcm1b12b22Lcm2 ，设 B 12， 1, 2,LMMMb1nb2nLcmnb12 2Lb1n nb2

3、2 2Lb2n n1 , 2 Lmb11b21Lcm1, ,L , b12b22Lcm21, 2 ,L , nMMMb1nb2nLcmnm 是矩阵 B 的列向量组，如果i1 , i2 ,L , ir 是1,2,L , m 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 那 么2 L m 的一个极大线性无关组，因此向量组秩等于秩 B 。4.线性变换举例(1)设V是数域P上的任一线性空间。零变换： 0 0, V ；恒等变换:, V。幂零线性变换:设 是数域P上的线性空间 V的线性变换，如果存在正整数 m，使得 m 0，就称 为幂零变换。幂等变换:设是数域 P 上的线性空间 V 的线性变换，如果 2 ，

4、就称 为幂等变换。(2) V Pn,任意取定数域 P上的一个n级方阵A，令:X1X1X2A X2X2 nA ,Pn。MMMXnXnXn(3) V P x , D f x fX , f XP X。X AX, X Pn n是V的两个线性变换，定义它们的和(4) V Pn n, A aj是V中一固定矩阵, 二线性变换的运算、矩阵1.加法、乘法、数量乘法(1) 定义：设V是数域P上的线性空间,、乘积 分别为：对任意的 V任取k P，定义数量乘积k为：对任意的 Vk k的负变换-为：对任意的 V贝U 、 、k与-都是V的线性变换。(2)L V = |为V的线性变换，按线性变换的加法和数乘运算做成数域 P

5、上的维线性空间。2.线性变换的矩阵(1)定义：设V是数域P上的n维线性空间,是V的线性变换,2丄，n是V的一组基，如果:此时:a11a21L3n1312322L3n2MMM31 n32nLQin为线性变换那么称矩阵A1n在基n下的矩阵。2,L ,2,L ,1a11 1a12 2La1n n2a21 1a22 2La2n nL LLnan1 1an 2 2Lann n（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵:L V，设设1, 2,L , n是数域P上的n维线性空间V的一组基,它们在2丄,n下的矩阵分别为 A,B。1) f : L V Pnn ,A是数域P上的线性空

6、间L V到数域P上的线性空间Pn n的同构映射,因此L V Pnn。3 、与-在基1,2丄,n下的矩阵分别为A B,AB与A ;任取kP, k在基1,2丄,n下的矩阵为kA ；若 为可逆线性变换，则1在基1, 2,L , n下的矩阵为A1 ；设f XmamX amm1X1 La,x 为数域P上的任一多项式，那么fmam am 1m 1La1 a。（ 为V的恒等变换）在1, 2 ,L,n下的矩阵为：fA amAm am1Am1 L qA 玄巳。基2） 可逆 A可逆三特征值、特征向量与对角矩阵1矩阵的特征值与特征向量(1)矩阵的特征多项式:设A为n级复方阵，将多项式fAA称为A的特征多项式。注:1

7、 )若Aaijnn，则:En Aa11a22ann1nA1 tr AnA2)将 EnA称为矩阵A的特征矩阵,En A 0称为矩阵A的特征方程。(2)定义：n级方阵A的特征多项式fAEn A在复数域上的所有根都叫做其特征值（根），设0 C是A的特征值,齐次线性方程组En A X 0的每个非零解都叫做矩阵 A的属于其特征值 0的特征向量。(3)求法:1)求 fAEn A在复数域上的所有根1, 2 , L , n (重根按重数计算)；2)对k k 1,L n解齐次线性方程组kEn A X 0 ,得其一个基础解系k1 , k2 丄,k,lk ( l k n秩 kEn A)，贝U矩阵A的属于特征值 k的

8、全部特征向量为sk1 k1 sk2 k2L Sk,k k,ik ,其中Sk1,Sk2,L ,Sk,ik为不全为零的任意常数(复数)。(4)重要结论：1)设 C是A的特征值,X。是A的属于其特征值 的特征向量，g x为一复系数多项式。g 0为g A的特征值,X0为g A的属于特征值g 0的特征向量;如果A还是可逆矩阵，那么丄与分别为A 1和A的特征值，X。为A1的属0 01于特征值丄的特征向量,0X。为A的属于特征值的特征向量,0若1, 2丄，n是矩阵A的全部特征值，那么g，g2 ,L ,g n 就是 g A1的全部特征值，如果 A还是可逆矩阵，则 -,L2，丄为A1的全部特征值,n,L 为A的

9、全部特征值;2 n若1, 2丄,n是矩阵A的全部特征值，tr A 12.线性变换的特征值与特征向量(1)定义：设 是数域P上的线性空间V的线性变换,0 P，若存在0V，使得0 ，就称0为的一个特征值， 为的一个属于特征值0的特征向量。(2 )线性变换的特征多项式设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换，任取V的一组基在该基下的矩阵为 A，称矩阵为A的特征多项式En A为的特征多项式，记为f En A，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。（3）求法：设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换。1） 取定V的一组基!, 2丄，n，求出 在该基下的矩阵 A ；2） 求f En A在P

10、中的所有根1, 2 ,L , m（ 0 m n,重根按重数计算， 且m 0表示无特征值）。3） 若m 0,对kt 1,L s解齐次线性方程组 kEn AX 0，得其一个基础解系ki, k2,L , k,ik（ lk n秩kEn A ），则线性变换 的属于特征值 k的 全部特征向量为 1 , 2 ,L , n Ski k1 Sk2 k2 L Sk,lk k,lk ，其中 Ski,Sk2,L ,Sk,ik为P中不全为零的任意常数。3.矩阵相似（1） 定义：设A,B是数域P上的两个n级方阵，如果存在数域 P上的n级可逆矩阵T， 使得T 1AT B，就称矩阵A相似于矩阵B，记为A: B。（2） 性质：

11、1） 矩阵相似是等价关系，即：设 A,B,C都是n级方阵，那么：A: A ；若A: B，那么B : A ；若A: B且B : C，则A: C。2） 若A: B，那么fA En A fB I En B，因此矩阵A与矩阵B有 相同的特征值，相同的迹（tr A tr B ），相同的行列式（ A B ）。3） 两个实对称阵相似 它们有相同的特征值。（3） 有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。（4） 若 T 1AT B，那么 Bk T 1AkT, k Z。4.线性变换与矩阵可对角化（1）矩阵可对角化1） 设A是n级方阵，如果存在n级可逆矩阵T，使得T 1AT为对角阵，则称 A可对 角化

12、。2） n级方阵A可对角化 A有n个线性无关特征向量。3） 如果n级方阵A有n个不同的特征值，贝U A可对角化。4） 设1, 2,L , k是n级方阵A的所有不同的特征值，fA En A 1 2 L k lk称li i 1,2,L ,k为i的代数重数;称S n 秩iEn A i 1,2,L ,k为j的几何重数;S li i 1,2,L ,k ；n级方阵A可对角化 对i 1,2,L ,k都有j的代数重数=j的几何重数。注：1.设齐次线性方程组iEnA X 0的解空间为Wi，则sdim2.称 V CniA i为n级方阵A的属于特征值i的特征子空间，那么S dim V i（2）线性变换可对角化1）

13、设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果存在V的一组基，使得 在该基下的矩阵为对角阵，就称 可对角化。2） 数域P上的n维线性空间V的线性变换 可对角化 有n个线性无关特征向量。3） 设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果 有n个不同的特征值，则可对角化。4） 设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换， 在V的一组基下的矩阵为 A，设1, 2,L , k是n级方阵A的所有不同的特征值。若l 2,L , k P，那么:可对角化1,2,L ,k都有i的代数重数=i的几何重数。若1, 2,L , k不全在数域P中，则 不可对角化。注：j的几何重数 =dim V ，其中V Vi 7 i的

14、特征子空间。四线性变换的值域与核1.定义：设 是数域P上的线性空间 V的线性变换，将为的属于特征值V分别称为线性变换的核与值域（1 0与 V也分别记为ker与 Im ）。2线性变换的秩与零度:V与 1 0都是V的子空间，将dim V 与dim别称为 的秩和零度。3.有限维线性空间的线性变换的值域与核设V是数域P上的n维线性空间,是V的线性变换,1, 2丄，n为V的一组基,在该基下的矩阵为 A, r 秩A , 1 a2 2 L an n V。因此于是4) dimaia22是齐次线性方程组 AX 0的解。ManAX 0的一个基础解系，那么1, 2,L , n r （其中k k 1,2,L ,nr

15、）就是1 0的一组基，于是:dimk1 1k2 2 L kn r n r 匕山,L ,心 r P的秩和零度为n r。2 ,L ,的一个极大线性无关组就是V的一组基，而2，Ldim的秩等于秩 A =r，所以dim V3.求法：设V是数域P上的n维线性空间,是V的线性变换。1 0的求法:取定V的一组基1,2丄，n，求出 在该基下的矩阵A；解齐次线性方程组 AX得其一个基础解系2 ,L , n令k 1,2 ,L , n1,2, L ,nr ，得的一组基2, L , n2 L knk1 ,k2 ,L ,kn r P2） V的求法:取定V的一组基2丄，n，求出在该基下的矩阵设矩阵A的列向量组为2丄，n，

16、求出 1, 2丄n的一个极大线性无关2 ,L ,n的一个极大线性无关组1 1i? L ,ir ， i1 4 ， ir就是 V的一组基。V L1 ,LS ,， irlh丨11 1 12L 丨i2 Ur ir. L lI” 山2 宀 J1 irP五不变子空间1.定义：设是数域P上的线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果对 W ,都有 W(即 WW ），就称W是的不变子空间，也称 -子空间。2.设V是数域P上的线性空间，那么 0与V都是V的任一线性变换的不变子空间。3.设是数域P上的线性空间V的线性变换， 是 的任意一个特征值，那么的特征子空间V4.线性变换的循环子空间：设都是的不变子空间。是数

17、域P上的0维线性空间的线性变换，任取V，必存在正整数m ,L , m1线性无关，而L mJ1 J线性相关，令W则W是的不变子空间，称W为的循环子空间。5.设V是数域P上的n维线性空间,的线性变换,的不变子空间,Ovdim Wm n，取W的组基2丄，将其扩充为V的一组基m, m 1,L , n，那么在该基下的矩阵为A，其中A1为的基1,2丄，m下的矩阵。六若尔当(Jorda n)标准形1若尔当块与若尔当形矩阵:1）若尔当块：形式为1J ,t M0的矩阵称为若尔当块，其中为复数。2）若尔当形矩阵：由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如:A1A2 O1i其中： Ai1OO1iAs，且 1, 2,L , s 中有些可以相等。i ki ki2.复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵1 ）设 是复数域C上的n 0维线性空间V的任意一个线性变换，那么必存在 V的一组 基，使得 在该基下的矩阵为若尔当形矩阵。2）每个 n 级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似。3.设 是复数域上的n 0维线性空间V的线性变换，那么 幕零 的特征值都为零。