45抛物线设点设线基础.docx

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45抛物线设点设线基础

专题5抛物线设点设线基础

秒杀秘籍：

第一讲抛物线的设线问题

如图1，已知AB是过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN⊥l，

N为垂足．则：

（1）以AB为直径的圆与准线l相切．

（2）FN⊥AB

（3）A（x,y）、B（x,y）,则yy

=-p2,xx=1p2（重点）

112212

124

（4）设BD⊥l，D为垂足，则A、O、D三点在一条直线上（重点）与抛物线y2=2px联立的直线只能是

x=ky+m

ìïy1+y2=2pk

，故可得íyy

两种直线与抛物线的联立形式

=-2pm

îï12

定理：

已知AB是抛物线y2=2px（p>0）的弦，则令AB方程为x=ky+m，故y2=2p（ky+m）（k为直线AB

斜率的倒数）y+y=2pk,yy=-2pm,xx

=m2

121212

（5）y1

+y2

=2pk⇒y0

=y1+y2

2

=pk（中点弦问题）（k为直线AB斜率的倒数）

（6）x-x

1

=-（y-y）Þ0-pk=-k（x-x

）Þx=x

+p（图2）故抛物线y2=2px（p>0）的弦AB中点

0k000

M（x0,y0），则AB中垂线过定点（x0+p,0）

（7）OA⊥OB⇔直线过定点（2p,0）（图3）

y2y22

x1x2+y1y2=12+y1y2=m

4p2

-

2pm⇒m=2p时，OA⊥OB（垂直问题）

已知AB是抛物线x2=2py（p>0）弦，则令AB方程为y=kx+m，故x2=2p（kx+m）（k为直线AB斜率）

（8）x1

+

x2

=2pk⇒x0

=x1+x2

2

=pk（中点弦问题）（k为直线AB斜率）

（9）

y-y0

=-1（x-x

k0

）⇒y-y0

=-1（0-pk）⇒y=yk0

+

p（中垂线过定点问题）

故抛物线x2=2py（p>0）的弦AB中点M（x0,y0），则AB中垂线过定点（0,y0+p）

（10）OA⊥OB⇔直线过定点（0,2p）

【例1】求直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标．

【例2】F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，点A（4,2）为抛物线内一定点，点P是抛物线上一动点.已知

PA+PF的最小值为8.

（1）求抛物线方程；

（2）若O为坐标原点，问是否存在点M，使过点M得动直线与抛物线交于B、C两点,OA⋅OB=0,若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由．

【例3】已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M（4,0）.

（1）若点F到直线l的距离为,求直线l的斜率;

（2）设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴重合,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:

线段AB中点的横坐标为定值.

【例4】已知直线y=2

（）

2（x-1）与抛物线C:

y2=4x交于A，B两点，点M（-1,m），若MA⋅MB=0，则m=

A．B．

2C．1D．0

22

【例5】已知抛物线C:

y2=4x,点M（m,0）在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点.

（1）若m=1,且直线l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;

（2）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得

1

|AM|2

+1

|BM|2

恒为定值.

1

秒杀秘籍：

第二讲面积问题找坐标y和-2pm

y1

已知AB为抛物线y2=2px的一条弦，且AB过点D（m,0），F为抛物线焦点，O为坐标原点

则令A（x,y），B（x,y），其中y>0，面积用到了水平宽´铅垂高´1

112212

则S△ADF

=m-；S△BDF

=m-；

py1pm

⎛y1pm⎫

S△AFB=m-22+y；S△AOB=mç2+y⎪；涉及求最值就要用到基本不等式

1⎝1⎭

【例6】（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⋅OB=2

（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）

A．2B．

8

2C．

4

2D．

2

【例7】（2019•襄阳模拟）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⋅OB=6

（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）

A．172

8

B．3C．32

8

D．313

2

秒杀秘籍：

第三讲抛物线角平分线定理

2

⎧y2=2px

抛物线y

=2px与直线l:

x=ky+m相交于A,B两点，联立得⎨

⎩x=ky+m

消去x得：

y2-2pky-2pm=0；即y1y

=-2pm⇔m=y1y22-2p

※；由此推出三大定理．

定理1：

抛物线准线与坐标轴的交点G与焦半径端点A、B连线AG、BG所成角∠AGB被坐标轴轴平分

定理2：

过对称轴上任意一定点N（t,0）的一条弦AB，端点与对应点G（-t,0）的连线所成角∠AGB被对称轴（NG

所在直线）平分．

定理3：

过点P（t,0）的任一直线交抛物线于AB两点，点A关于x轴的对称点A’,则点A’，B，P'（-t,0）三点共线.（对称之点，三点共线）

【例8】已知直线y=k（x+2）（k>0）与抛物线C:

y2=8x相交A、B两点,F为C的焦点.若FA=2FB,则k=

（）

12222

A．B．C．D．

3333

【例9】已知抛物线y2=4x,点M（1,0）关于y轴的对称点为N,直线l过点M交抛物线于A,B两点.

（1）证明:

直线NA,NB的斜率互为相反数；

（2）求△ANB面积的最小值；

（3）当点M的坐标为（m,0）（m>0,且m≠1），根据

（1）

（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）:

①直线NA,NB的斜率是否互为相反数？

②△ANB面积的最小值是多少？

达标训练

1．（2019•吉林一模）已知抛物线C:

y2=6x，直线l过点P（2,2），且与抛物线C交于M，N两点，若线段

MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为（）

A．1

3

B．5

4

C．3

2

D．1

4

2．（2019•河南模拟）已知△ABF的顶点A，B在抛物线y2=4x上，顶点F是该抛物线的焦点，则满足条件的等边∆ABF的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2018•龙岩期末）已知过抛物线y2=x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则OA⋅OB=

（）

A．-3

16

B．3

16

C．0D．-1

4．（2018•吉安期末）已知直线l:

-

y-

=0过抛物线C:

y2=2px的焦点F，且与抛物线C交于点A、

B两点，过A、B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M、N，则下列说法错误的是（）

A．抛物线的方程为y2=4x

B．线段AB的长度为16

3

C．∠MFN=90︒D．线段AB的中点到y轴的距离为83

5．（2018•吉安期末）设抛物线C:

y2=4x的焦点为F，直线l:

x=-1，若过焦点F的直线与抛物线C相交

2

于A、B两点，则以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系为（）

A．相交B．相切

C．相离D．以上三个答案均有可能

6．（2019•绵阳模拟）已知斜率为2的直线l过抛物线C:

y2=2px（p>0）的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p=（）

A．1B．C．2D．4

7．（2018•深圳期末）已知抛物线y2=4x，以（1,1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（）

A．x-2y+1=0

B．2x-y-1=0

C．2x+y-3=0

D．2x+y-3=0

8．（2018•宽城期末）已知直线与抛物线y2=2px（p>0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于

D，点D的坐标为（2,1），则p的值为（）

A．5

2

B．2

3

C．5

4

D．3

2

9．（2018•湖北模拟）已知点A、B为抛物线y2=2px（p>0）上的两动点，O为抛物线的顶点，且OA⊥OB，抛物线的焦点为F，若△ABF面积的最小值为12，则p=（）

A．1B．2C．D．3

10．（2018•齐齐哈尔三模）抛物线C:

y2=5x的焦点为F，过点F的直线与C交于A、B两点，过A、B作

C的准线的垂线，垂足分别为D、E，O是坐标原点，若△ODE的面积为252，则|AB|=（）

8

A．16B．14C．12D．10

11．（2018•静海模拟）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3,0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与

抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比S△BCF

S△ACF

=（）

A．2

3

B．4

5

C．4

7

D．1

2

12．（2018•宁波二模）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点P（5,0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛

物线的准线相交于C，若|BF|=5，则△BCF与△ACF的面积之比S△BCF

S△ACF

=（）

A．5

6

B．20

33

C．15

31

D．20

29

13．（2018•潍坊二模）直线y=k（x+2）（k>0）与抛物线C:

y2=8x交于A，B两点，F为C的焦点，若

sin∠ABF=2sin∠BAF，则k的值是（）

A．2

3

B．22

3

C．1D．

14．（2017•东营期末）已知抛物线y2=4x与直线2x-y-3=0相交于A、B两点，O为坐标原点，设OA，

OB的斜率为k，k，则1+1的值为（）

12

A．-1

4

k1k2

B．-1

2

C．1

4

D．1

2

15．（2017•道里期末）已知抛物线y2=x，过（1,0）的直线与抛物线交于A，B两点，则△ABO（其中O为坐标原点）面积的最小值是（）

A．1

2

B．1C．2D．4

16．（2016•濮阳期末）已知抛物线y=x2上有一定点A（-1,1）和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标取值范围是（）

A．（-∞,-3]

B．[1,+∞）

C．[-3,1]

D．（-∞,-3]⋃[1,+∞）

17．（2016•江岸期中）已知抛物线C:

y2=8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且

|PM|=

2|PF|，则△PMF的面积为（）

A．4B．8C．16D．32

18．（2016•湘赣联考）已知直线y=k（x+2）与抛物线y2=8x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，则直线

FA与直线FB的斜率之和等于（）

A．-4

B．4C．0D．2

19．（2019•漳州一模）已知动圆P过点F（0,1）且与直线y=-1相切，圆心P的轨迹为曲线C．

88

（1）求曲线C的方程；

（2）若A，B是曲线C上的两个点且直线AB过△OAB的外心，其中O为坐标原点，求证：

直线AB过定点．

20．（2019•福州一模）已知抛物线C:

x2=2py（p>0）和圆C:

（x+1）2+y2=2，倾斜角为45︒的直线l过C的

12

焦点且与C2相切．

（1）求p的值；

11

（2）点M在C1的准线上，动点A在C1上，C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设MN=MA+MB，求证：

点N在定直线上，并求该定直线的方程．

21．（2018•潍坊期末）已知A（-2,2），B（2,2），直线AD与直线BD相交于点D，直线BD的斜率减去直线AD

的斜率的差是2，设D点的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）已知直线l过点T（0,2），且与曲线C交于P，Q两点（P，Q异于A，B），问在y轴上是否存在定点G，使得∠PCT=∠QCT？

若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（2016•荆州模拟）已知抛物线C的标准方程为y2=2px（p>0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）记t=

1+1

，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若

|AM||AN|

没有，请说明理由．

23．（2018•衢州期中）已知M是抛物线C:

x2=2py（p>0）上异于原点O的动点，A（0,-2），B（0,1）是平面上

两个定点．当M的纵坐标为3时，点M到抛物线焦点F的距离为1．

4

（1）求抛物线C的方程；

（2）直线MA交C于另一点M1，直线MB交C于另一点M2，记直线M1M2的斜率为k1，直线OM的斜率为k2．求证：

k1⋅k2为定值，并求出该定值．

24．（2018•四川模拟）已知点M（1,2）在抛物线C:

y2=2px（p>0）上，过点N（5,-2）作不与坐标轴垂直的直线

l交抛物线C于A，B两点．

（1）若MN⊥AB，求直线l的方程；

（2）求证：

点M在以AB为直径的圆上．

25．（2016•虹口期中）已知抛物线C:

y2=2px（p>0），焦点F（p，0），如果存在过点M（x，0）（x>p）的

2002

直线l与抛物线C交于不同的两点A、B，使得S△AOM=λ⋅S△FAB，则称点M为抛物线C的“λ分点”．

（1）如果M（p,0），直线l:

x=p，求λ的值；

（2）如果M（p,0）为抛物线C的“4分点”，求直线l的方程；

3

（3）（普通中学做）命题甲：

证明点M（p,0）不是抛物线C的“2分点”；（重点中学做）命题乙：

如果M（x0，

0）（x>p）是抛物线的“2分点”，求x的取值范围．

020

26.（2019•长沙模拟）如图，已知抛物线y2=4x，A¢A和BB¢为过焦点的两条弦，且kA'B'=2kAB，求证：

AB

和AB均过定点.