二次根式混合计算练习题doc.docx
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二次根式混合计算练习题doc
二次根式混合计算练习
一．选择题（共9小题）
1
．已知﹣
，
﹣
﹣，则
2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（
）
a
b=2+b
c=2
a
A．10B．12C．10D．15
2．化简﹣（）2，结果是（）
A．6x﹣6B．﹣6x+6C．﹣4D．4
3．对于任意的正数m、n定义运算※为：
m※n=，计算（3※2）×（8※12）的
结果为（
）
A．2﹣4
B．2C．2D．20
4．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（
）
A．+﹣1
B．﹣+1C．﹣﹣1
D．++1
5．若4与可以合并，则m的值不可以是（
）
A．B．C．D．
6．下列根式中，不能与合并的是（
）
A．B．C．D．
7．已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（）
A．0B．C．2+D．2﹣
8．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
9．已知，则的值为（）
A．B．±2C．±D．
二．填空题（共
7小题）
10．已知
1＜x＜2，，则的值是
．
11．已知，则
=
．
12．已知
ab=2，则的值是
．
13．有下列计算：
①（m2）3=m6，
②，
③m6÷m2=m3，
④，
⑤，
其中正确的运算有．
14．计算=
．
15．化简：
+2x﹣x2=
．
16．若规定符号“*的”意义是
a*b=ab﹣b2，则
2*（）的值是
．
三．解答题（共24小题）
17．计算：
．
18．计算：
（+1）（﹣1）+﹣（）0．
19．计算：
（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．
20．先化简，再求值：
（﹣）?
，其中x=．
21．计算：
×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．
22．
（1）计算：
×﹣4××（1﹣）0；
（2）先化简，再求值：
（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
23．计算：
．
24．计算：
（+）×．
25．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，
得：
a=，b=；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：
+=（+）
2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
26．先化简，再求值：
，其中．
27．计算：
（1）|﹣2|﹣
（2）（3﹣）（3+）+（2﹣）
28．已知x=，y=，且19x2+123xy+19y2=1985．试求正整数n．
29．先化简，再求值：
，其中a=+1．
30．．
31．已知：
x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
32．先化简，再求值：
?
，其中．
33．已知：
a=，b=．求代数式的值．
34．计算：
35．已知：
a+b=﹣5，ab=1，求：
的值．
36．计算：
．
37．计算
（1）
（2）．
38．计算：
+（﹣1）+（）0．
39．计算：
（1﹣）++（）﹣1．
40．
（1）计算：
（2014﹣）0+|3﹣|﹣；
（2）化简：
（1﹣）÷（﹣2）
二次根式混合计算练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2015?
蓬溪县校级模拟）已知a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
的值为（）
A．10B．12C．10D．15
【分析】由a﹣b=2+，b﹣c=2﹣可得，a﹣c=4然后整体代入．
【解答】解：
∵a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，
∴a﹣c=4，∴原式====15．
故选D．
【点评】此题的关键是把原式转化为的形式，再整体代入．
2．（2016?
黄冈校级自主招生）化简﹣（）2，结果是（）
A．6x﹣6B．﹣6x+6C．﹣4D．4
【分析】求值的第一个式子是个完全平方公式，开方要注意正负值，由已知条件可得3x﹣5≥0，即3x≥5，所以3x﹣1＞0，据此求解．
【解答】解：
由已知条件可得3x﹣5≥0，即3x≥5，则3x﹣1＞0，
∴原式=（）2=3x﹣1﹣（3x﹣5）=3x﹣1﹣3x+5=4．
故选D．
【点评】此题考查二次根式的化简求值，利用了、=a（a≥0）的性质．
3．（2015?
）对于任意的正数m、n定义运算※为：
m※n=，计算（3※2）×（8※12）
的结果为（）
A．2﹣4B．2C．2D．20
【分析】根据题目所给的运算法则进行求解．
【解答】解：
∵3＞2，
∴3※2=﹣，∵8＜12，
∴8※12=+=2×（+），
∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．
故选B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是根据题目所给的运算法则求解．
4．（2016?
校级自主招生）设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值
为（
）
A．+﹣1
B．﹣+1
C．﹣﹣1
D．++1
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出
a、b
对应的小数部分，
然后代、化简、运算、求值，即可解决问题．
【解答】解：
∵﹣
=﹣
=﹣
=
==，
∴a的小数部分=﹣1；
∵﹣
=
=﹣
=
=，
∴b的小数部分=﹣2，
∴﹣=
=
=
=．
故选B．
【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
5．（2004?
）若4与可以合并，则m的值不可以是（）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的定义，把每个选项代入两个根式化简，检验化简后被开方数是否相同．
【解答】解：
A、把代入根式分别化简：
4=4=，==，故选项不符合题意；
B、把代入根式化简：
4=4=；==，故选项不合题意；
C、把代入根式化简：
4=4=1；=，故选项不合题意；
D、把代入根式化简：
4=4=，==，故符合题意．
故选D．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：
化成最简二次根式后，被开
方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式．
6．（2015?
凉山州）下列根式中，不能与合并的是（）
A．B．C．D．
【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果．
【解答】解：
A、，本选项不合题意；
B、，本选项不合题意；
C、，本选项合题意；
D、，本选项不合题意；
故选C．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
7．（2015?
）已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（）
A．0B．C．2+D．2﹣
【分析】未知数的值已给出，利用代入法即可求出．
【解答】解：
把x=2﹣代入代数式（7+4）x2+（2+）x+得：
=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+
=49﹣48+1+
=2+．
故选C．
【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算．
8．（2016?
）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
【解答】解：
A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；
B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；
C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；
D、==，与不是同类二次根式，故此选项错误；
故选：
B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．
9．（2016春?
校级月考）已知，则的值为（A．B．±2C．±D．
）
【分析】把的两边平方，得出
x2+的数值，再把两边平方，代入
x2+的数值，进一
步开方得出结果即可．
【解答】解：
∵，
∴（x+）2=7
∴x2+=5
（x﹣）2=x2+﹣2=5﹣2=3，
x﹣=±．
故选：
C．
【点评】此题考查代数式求值，注意式子的特点，灵活运用完全平方公式计算．
二．填空题（共7小题）
10．（1997?
江）已知1＜x＜2，，则的值是﹣2．
【分析】由于（）2=x﹣1﹣2+=x+﹣3，又∵，由此可以得到（）2=4，又由于1＜
x＜2，由此可以得到的值＜0，最后即可得到的值．
【解答】解：
∵（）2=x﹣1﹣2+
=x+﹣3，
又∵，
∴（）2=4，
又∵1＜x＜2，
∴＜0，
∴=﹣2．
故填：
﹣2．
【点评】此题解题关键是把所求代数式两边平方，找到它和已知等式的联系，然后利用联系解题．
11．（1998?
）已知，则=13．
【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、
n的值即可．
【解答】解：
设m=，n=，
那么m﹣n=2①，m2+n2=+=34②．
由①得，m=2+n③，
将③代入②得：
n2+2n﹣15=0，
解得：
n=﹣5（舍去）或n=3，
因此可得出，m=5，n=3（m≥0，n≥0）．
所以=n+2m=13．
【点评】本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．
12．（1998?
江）已知ab=2，则的值是．
【分析】由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：
a＞0，b＞0；a＜0，b＜0．
【解答】解：
当a＞0，b＞0时，
原式=；
当a＜0，b＜0时，原式=﹣﹣=﹣2．
【点评】此题的难点在于需考虑两种情况．
13．（2012?
德阳）有下列计算：
①（m2）3=m6，
②，
③m6÷m2=m3，
④，
⑤，
其中正确的运算有①④⑤．
【分析】由幂的乘方，可得①正确；由二次根式的化简，可得②错误；由同底数的幂的除法，可得③错误；由二次根式的乘除运算，可求得④正确；由二次根式的加减运算，可求得⑤正确．
【解答】解：
∵（m2）3=m6，∴①正确；∵==|2a﹣1|=，∴②错误；
∵m6÷m2=m4，∴③错误；∵=3×5÷=15÷=15，
∴④正确；
∵=4﹣2+12=14，
∴⑤正确．∴正确的运算有：
①④⑤．故答案为：
①④⑤．
【点评】此题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、二次根式的乘除运算以及二次根式的加减运算．此题比较简单，注意掌握运算法则与性质，
注意运算需细心．
14．（2010?
校级一模）计算=1+．
【分析】根据平方差公式求出（2﹣）（2+），然后进行幂的运算，即可得出答案．
【解答】解：
={（2﹣）（2+）}2008（2+）﹣1=2+﹣1
=1+．
故答案为：
1+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和零指数幂的知识，属于
基础题，关键掌握二次根式的混合运算法则和非0数的0指数幂都等于1．
15．（2003?
）化简：
+2x﹣x2=﹣2x．
【分析】利用开平方的定义计算．
【解答】解：
原式=+2x﹣x2
=2x+x﹣5x
=﹣2x．
【点评】应先化成最简二次根式，再进行运算，只有同类二次根式，才能合并．
16．（2012?
模拟）若规定符号“*的”意义是a*b=ab﹣b2，则2*（）的值是4﹣5．
【分析】先理解“*的”意义，然后将2*（）表示出来计算即可．
【解答】解：
由题意得：
2*（）=2×（﹣1）﹣=4﹣5．
故答案为：
4﹣5．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意理解“*的”意义．
三．解答题（共24小题）
17．（2016?
夏津县自主招生）计算：
．
【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性
质化简后合并即可．
【解答】解：
原式=﹣+2
=4﹣+2
=4+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：
先进行二次根式的乘除运算，再把各
二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算．
18．（2015?
）计算：
（+1）（﹣1）+﹣（）0．
【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣1+2﹣1，然后进行加
减运算．
【解答】解：
原式=3﹣1+2﹣1
=1+2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：
先把各二次根式化为最简二次根式，再进
行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
19．（2014?
）计算：
（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．
【解答】解：
原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2
=﹣7+3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：
先把各二次根式化为最简二次根式，
再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．
20．（2012?
）先化简，再求值：
（﹣）?
，其中x=．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：
原式=?
，
当x=时，x+1＞0，可知=x+1，
故原式=?
===；
【点评】本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当x=时
得出=x+1，此题难度不大．
21．（2015?
）计算：
×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．
【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然
后化简后合并即可．
【解答】解：
原式=﹣+2+8
=﹣3+2+8
=8﹣．
【点评】本题考查了二次根式的计算：
先把各二次根式化为最简二次根式，再进
行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、
22．（2014?
）
（1）计算：
×﹣4××（1﹣）0；
（2）先化简，再求值：
（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．
【分析】
（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2
﹣，然后合并即可；
（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号的运算，
然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．
【解答】解：
（1）原式=﹣4××1
=2﹣
=；
（2）原式=[﹣]?
=（﹣）?
=?
=，
∵+|b﹣|=0，
∴a+1=0，b﹣=0，
解得a=﹣1，b=，
当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：
先把各二次根式化为最简二次根式，
再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值．
23．（2016?
模拟）计算：
．
【分析】根据平方差公式、二次根式的化简、负整数指数幂的法则计算．
【解答】解：
原式=3﹣1﹣4+2=0．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂，解题的关键是掌握有关法则，以及公式的使用．
24．（2015?
）计算：
（+）×．
【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×=×+×；然后根据二次根式的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（+）×的值是多少即可．【解答】解：
（+）×
=×+×
=1+9
=10
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括
号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
25．（2013?
黔西南州）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，
得：
a=m2+3n2，b=2mn；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：
4+2=（1
+1）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【分析】
（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据
（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，
n=2，然后即可确定好a的值．
【解答】解：
（1）∵a+b=，
∴a+b=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为：
m2+3n2，2mn．
（2）设m=1，n=1，
∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．
26．（2015?
黄冈模拟）先化简，再求值：
，其中．
【分析】首先将括号的式子进行通分，然后将除法统一为乘法运算，再约分、化
简即可．
【解答】解：
=
=
=
=；
当x=﹣3时，原式==．
【点评】此题是典型的“化简求值”类问题，解题的关键在于化简，应熟练掌握分式混合运算的解题方法．
27．（2016?
）计算：
（1）|﹣2|﹣
（2）（3﹣）（3+）+（2﹣）
【分析】
（1）根据负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算；
（2）利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：
（1）原式=2﹣3
=﹣1；
（2）原式=9﹣7+2﹣2
=2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：
先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
28．（2015春?
校级月考）已知x=，y=，且19x2+123xy+19y2=1985．试求正整数n．【分析】首先化简x与y，可得：
x=（）2=2n+1﹣2，y=2n+1+2，所以x+y=4n+2，
xy=1；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．
【解答】解：
化简x与y得：
x=，y=，
∴x+y=4n+2，xy=1，
∴将xy=1代入方程，化简得：
x2+y2=98，
∴（x+y）2=x2+y2+2xy=98+2×1=100，
∴x+y=10．
∴4n+2=10，
解得n=2．
【点评】此题考查了二次根式的分母有理化．解题的关键是整体代入思想的应用．
29．（2016?
三模）先化简，再求值：
，其中a=+1．
【分析】首先把写成，然后约去公因式（a+1），再与后一项式子进行通分化简，
最后代值计算．
【解答】解：
，
=，
=，
=，
当时，原式==．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值的知识点，解答本题的关键是分式的通分和约分，本题难度不大．
30．（2016春?
乐业县期末）．
【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：
原式=4+3﹣2+4，
=7+2．
【点评】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式、二次根式
的加减法则等知识点的应用，能运用法则进行计算是解此题的关键，主要培养了学生的计算能力．
31．（2014?
襄阳）已知：
x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
【分析】根据x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化简原式，代入求值即可．
【解答】解：
∵x=1﹣，y=1+，
∴x﹣y=（1﹣）﹣（1+）=﹣2，
xy=（1﹣）（1+）=﹣1，
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy=（﹣2）2﹣2×（﹣2）+（﹣1）
=7+4．
【点评】本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用，要熟练掌握平方差公
式和完全平方公式．
32．（2015春?
饶平县期末）先化简，再求值：
?
，其中．
【分析】求出a的值，化简=|a﹣2|=2﹣a，在计算乘法得出﹣a+，再代入求出即可．
【解答】解：
∵a===2﹣，
∴a﹣2=﹣＜0，
∴a?
+
=a（2﹣a）?
+
=﹣a+
=﹣（2﹣）+
=﹣2++2+
=2．
【点评】本题考查了二次根式的性质化简和分母有理化的应用，关键是正确进行
化简，题目具有一定的代表性，但是一道比较容易出错的题目．
33．（2004?
）已知：
a=，b=．求代数式的值．
【分析】先求得a+b=10，ab=1，再把求值的式子化为a与b的和与积的形式，
将整体代入求值即可．
【解答】解：
由已知，得a
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