经典《极坐标与参数方程》综合测试题含答案.docx
《经典《极坐标与参数方程》综合测试题含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经典《极坐标与参数方程》综合测试题含答案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
经典《极坐标与参数方程》综合测试题含答案
极坐标与参数方程》综合测试题
1．在极坐标系中，已知曲线C：
ρ=2cos，θ将曲线C上的点向左平移一个单位，
然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l过点
P（1,0），倾斜角为3，且直线l与曲线C1交于A，B两点．
1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
2）求+．
点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
1）求圆C的极坐标方程；
2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：
θ=与圆C的交
点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：
ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O
为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．Ⅰ）求圆C的参数方程；
Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
4．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l的参数方程为（t为参数），P3,0，当直线l与曲线C
2
5．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立
x3cos
极坐标系，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的极坐标方
y2sin
程为．
1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极
坐标．
6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．
（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值．
7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），
以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
ρ=2cos．θ
Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；
Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．
8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcos﹣θρsinθ，=曲2线C的极坐标方程为ρsi2nθ=2pcos（θp>0）．
（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；
（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|?
|MQ|，求实数p的值．
Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求?
的取值范围．
以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
．
1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？
若存在，求出距
离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
I）求曲线C2的直角坐标系方程；
II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．
12．设点A为曲线C：
ρ=2cos在θ极轴Ox上方的一点，且0≤θ≤，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，
（1）求曲线C的参数方程；
（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求B点轨迹的极坐标方程．
后，曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建极坐标系．Ⅰ）求C2的极坐标方程；
Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于
P，Q两点，求|PQ|的值．
15．已知半圆C的参数方程为
，a为参数，a∈[﹣，]．Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；
Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．
16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin．θ
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ<2π）
极坐标与参数方程》综合测试题答案
一．解答题（共16小题）
1．在极坐标系中，已知曲线C：
ρ=2cos，θ将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l过点P
1,0），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．
3
1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
2）求
【解答】解：
（1）曲线C的直角坐标方程为：
x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1．
∴曲线C1的直角坐标方程为=1，
∴曲线C表示焦点坐标为（﹣，0），（，0），长轴长为4的椭圆
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中，得13t24t120．
设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
1）求圆C的极坐标方程；
2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：
θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
为参数）
解答】解：
（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程化为（x﹣1）2+y2=1，
∴ρ2﹣2ρcosθ=，0即ρ=2cos．θ
θ1）为点P的极坐标，由
，解得
II）设（ρ1，
∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．
3．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：
ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：
坐标系与参数方程解：
（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，
所以x2+y2=4x+4y﹣6，
所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．⋯（4分）
所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．⋯（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，⋯（7分）
当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，⋯（9分）x+y取到最大值为6．⋯（10分）
4．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是ρ=．
1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
3
为参数），P32,0，当直线l与曲线C
【解答】解：
（1）∵ρ=，∴ρ2sin2θ=6ρco，sθ
∴曲线C的直角坐标方程为y2=6x．曲线为以（，0）为焦点，开口向右的抛物线．
解得t1=﹣2，t2=6．
5．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立
x3cos
极坐标系，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的极坐标方程为
y2sin
．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值及此时P点极坐标．
【解答】解：
（1）由消去参数α，得曲线C1的普通方程为．
由得，曲线C2的直角坐标方程为．
（2）设P（2cosα，2sinα），则
点P到曲线C2的距离为
当时，d有最小值，所以|PQ|的最小值为
6．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．
（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值．
【解答】解：
（Ⅰ）由于x=ρcos，θy=ρsin，θ
则：
曲线C的方程为ρ2=，转化成．
点R的极坐标转化成直角坐标为：
R（2，2）．
（Ⅱ）设P（）
根据题意，得到Q（2，sinθ），
则：
|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，
所以：
|PQ|+|QR|=．
当时，（|PQ|+|QR|）min=2，
矩形的最小周长为4．
7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），
以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
ρ=2cos．θ
（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ=（ρ∈R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．
【解答】解：
（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关
系消去φ可得：
+（y+1）2=9，展开为：
x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，可得极
坐标方程：
ρcos+θ2ρsin﹣θ5=0．
曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos，θ即ρ2=2ρcos，θ可得直角坐标方程：
x2+y2=2x．（II）把直线θ=（ρ∈R）代入ρcos+θ2ρsin﹣θ5=0，
整理可得：
ρ2﹣2ρ﹣5=0，
∴ρ1+ρ2=2，ρ1?
ρ2=﹣5，
∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|===2．
8．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，己知直线l的极坐标方程为ρcos﹣θρsinθ，=2曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2pcos（θp>0）．
（1）设t为参数，若x=﹣2+t，求直线l的参数方程；
（2）已知直线l与曲线C交于P、Q，设M（﹣2，﹣4），且|PQ|2=|MP|?
|MQ|，求实数p的值．
【解答】解：
（1）直线l的极坐标方程为ρcos﹣θρsinθ，=2化为直角坐标方程：
x
﹣y﹣2=0．
t为
∵x=﹣2+t，∴y=x﹣2=﹣4+t，∴直线l的参数方程为：
参数）．
（2）曲线C的极坐标方程为ρsi2nθ=2pcos（θp>0），即为ρ2sin2θ=2pρco（sθp>0），可得直角坐标方程：
y2=2px．
把直线l的参数方程代入可得：
t2﹣（8+2p）t+8p+32=0．
∴t1+t2=（8+2p），t1t2=8p+32．
不妨设|MP|=t1，|MQ|=t2．
|PQ|=|t1﹣t2|===．
∵|PQ|2=|MP|?
|MQ|，
∴8p2+32p=8p+32，化为：
p2+3p﹣4=0，解得p=1．
9．在极坐标系中，射线l：
θ=与圆C：
ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy
Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求?
的取值范围．
【解答】解：
（Ⅰ）射线l：
θ=与圆C：
ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；椭圆Γ的方程为
θ为参数）
Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），
∵E（0，﹣1），
∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），
∴?
=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，
∴?
的取值范围是[5﹣，5+]．
l的极坐标方程为
以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？
若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）曲线的C参数方程为（φ为参数），普通方程为
（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，
直线l的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；
（2）点P到直线l的距离d==，
∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距离的最小值为2﹣2，点P的直角坐标（1+，1﹣）．
11．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（I）求曲线C2的直角坐标系方程；
（II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【解答】解：
（I）由可得ρ=﹣x2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；
（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：
2x+y+4=0．
∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．
∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，
0，
∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，
所以点B的轨迹方程为，
13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：
（φ为参数，实数a>0），
曲线C2：
（φ为参数，实数b>0）．在以O为极点，x轴的正半轴
为极轴的极坐标系中，射线l：
θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．
（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|?
|OB|的最大值．
【解答】解：
（Ⅰ）由曲线C1：
（φ为参数，实数a>0），
化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：
x2+y2﹣2ax=0，
其极坐标方程为ρ2=2aρcos，θ即ρ=2acos，θ由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=，1∴a=．
曲线C2：
（φ为参数，实数b>0），
化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsin，θ由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．
（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cos，θρ=2sin．θ
∴2|OA|2+|OA|?
|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=s+inc2osθ2θ+1=+1，
∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，
当2θ+=时，θ=时取到最大值．
后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于
P，Q两点，求|PQ|的值．
【解答】解：
（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′
﹣1）2+y′2=1，
∴C2的极坐标方程为ρ=2cos；θ
（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsi（n﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，
∴圆心到直线的距离d==，
15．已知半圆C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，]．
（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=，试写出T点的极坐标．
解答】解：
（Ⅰ）由半圆C的参数方程为
，a为参数，a∈[﹣，
则圆的普通方程为x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），由x=ρcos，θy=ρsin，θx2+y2=ρ2，
可得半圆C的极坐标方程为ρ=2sin，θθ∈[0，]；（Ⅱ）由题意可得半圆C的直径为2，设半圆的直径为OA，则sin∠TAO=，
由于∠TAO∈[0，]，则∠TAO=，
由于∠TAO=∠TOX，
所以∠TOX=，
T点的极坐标为（，）．
16．
已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin．θ
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ<2π）
【解答】解：
（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），
得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，
即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．
将x=ρcos，θy=ρsin代θ入上式，得．
x2+y2﹣2y=0，
ρ2﹣8ρcos﹣θ10ρsin+θ16=0，此即为C1的极坐标方程；
Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin化θ为直角坐标方程为：
∴C1与C2交点的极坐标分别为（，
则d=
∴|M1M2|的最小值为．
12．设点A为曲线C：
ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤θ≤，以极点为
原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，
（1）求曲线C的参数方程；
（2）以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下
方），求点B轨迹的极坐标方程．
x1cos
解答】
（1）*******x1cos（0，θ为参数）ysin2
2）：
设A（ρ0，θ0），且满足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），
依题意，
升级会员 