经典《极坐标与参数方程》综合测试题含答案.docx

1、经典极坐标与参数方程综合测试题含答案极坐标与参数方程综合测试题1在极坐标系中，已知曲线 C： =2cos，将曲线 C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2倍，得到曲线 C1，又已知直线 l 过点P（1,0），倾斜角为 3，且直线 l与曲线 C1交于A，B两点1）求曲线 C1 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；2）求 + 点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系1）求圆 C 的极坐标方程；2）直线 l的极坐标方程是 2sin（+ ）=3 ，射线 OM：= 与圆 C的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ的长3在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为： 2 =

2、4（cos +sin ） 6若以极点 O为原点，极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 ）求圆 C 的参数方程；）在直角坐标系中，点 P（x，y）是圆 C 上动点，试求 x+y 的最大值，并求 出此时点 P 的直角坐标4若以直角坐标系 xOy的 O为极点， Ox为极轴， 选择相同的长度单位建立极坐 标系，得曲线 C 的极坐标方程是 = （ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， P 3,0 ，当直线 l 与曲线 C25在平面直角坐标系 xOy中，以原点 O为极点， x 轴的非负半轴为极轴，建立x 3cos极坐标系，

3、曲线 C1的参数方程为 （ 为参数），曲线 C2 的极坐标方y 2sin程为 1）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程；2）设 P为曲线 C1上一点， Q 曲线 C2上一点，求 | PQ|的最小值及此时 P点极坐标6在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2= ，点 R（2 ， ）（）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C的 极坐标方程化为直角坐标方程， R 点的极坐标化为直角坐标；（）设 P为曲线 C上一动点，以 PR为对角线的矩形 PQRS的一边垂直于极轴， 求矩形 PQRS周长的最小值7已知平面直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程为 （为参数），以

4、原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 =2cos）求曲线 C1 的极坐标方程与曲线 C2的直角坐标方程；）若直线 = （R）与曲线 C1交于 P，Q两点，求| PQ| 的长度8在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位 建立极坐标系， 己知直线 l 的极坐标方程为 cossin ，=曲2 线 C 的极坐标 方程为 si2n=2pcos（p 0）（ 1）设 t 为参数，若 x=2+ t，求直线 l 的参数方程；（2） 已知直线 l与曲线 C交于 P、Q，设 M（2，4），且| PQ| 2=| MP| ?| MQ| ， 求实数 p 的

5、值）若 E 为椭圆 的下顶点， F 为椭圆 上任意一点，求 ? 的取值范围以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为1）求曲线 C的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；2）在曲线 C上是否存在一点 P，使点 P到直线 l 的距离最小？若存在， 求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明理由的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 I）求曲线 C2 的直角坐标系方程；II）设 M1是曲线 C1上的点，M2是曲线 C2上的点，求 | M1M2|的最小值12设点 A 为曲线 C：=2cos在极轴 Ox 上方的一点，且 0 ，以极点为 原点，极

6、轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy，（ 1）求曲线 C 的参数方程；（2）以A为直角顶点， AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B在 A的右下 方），求 B 点轨迹的极坐标方程后，曲线为 C2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建极坐标系 ）求 C2 的极坐标方程；）设曲线 C3 的极坐标方程为 sin（ ）=1，且曲线 C3 与曲线 C2 相交于P，Q两点，求 |PQ| 的值15已知半圆 C 的参数方程为， a 为参数， a ， ）在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系，求半圆 C 的极坐标方程；）在（ ）的条件下，设 T 是半圆

7、 C上一点，且 OT= ，试写出 T 点的极 坐标16已知曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =2sin（）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1 与 C2交点的极坐标（ 0，00）（ 1）设 t 为参数，若 x=2+ t，求直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C交于 P、Q，设M（2，4），且|PQ| 2=|MP|?|MQ|， 求实数 p 的值【解答】解：（ 1）直线 l 的极坐标方程为 cossin ，=2化为直角坐标方程： xy2=0t为 x=2+ t ， y=x 2=4+ t

8、，直线 l 的参数方程为： 参数）（2）曲线 C 的极坐标方程为 si2n=2pcos（p0），即为 2sin2=2pco（sp 0），可得直角坐标方程： y2=2px把直线 l 的参数方程代入可得： t2（ 8+2p） t+8p+32=0 t1+t 2=（8+2p） ，t1t2=8p+32不妨设| MP| =t1，| MQ| =t2| PQ| =| t1t2| = = = | PQ| 2=| MP| ?|MQ|， 8p2+32p=8p+32， 化为： p2+3p 4=0， 解得 p=19在极坐标系中，射线 l：= 与圆 C： =2交于点 A，椭圆 的方程为 2= ，以极点为原点，极轴为 x

9、轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy）求点 A 的直角坐标和椭圆 的参数方程；（ ）若 E 为椭圆 的下顶点， F 为椭圆 上任意一点，求 ? 的取值范围【解答】解：（ ）射线 l：= 与圆 C：=2交于点 A（2， ），点 A 的直角坐 标（ ，1）； 椭圆 的方程为为参数）设 F（ cos， sin ），E（0，1）， =（ ，2）， =（ cos ，sin 1）， ? =3cos+32（sin 1）= sin（+） +5， ? 的取值范围是 5 ， 5+ l 的极坐标方程为以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1）求曲线 C的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；2）在曲线

10、C上是否存在一点 P，使点 P到直线 l 的距离最小？若存在， 求出距 离的最小值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明理由【解答】 解：（1）曲线的 C 参数方程为 （为参数），普通方程为（x1）2+（y1）2=4，直线 l 的极坐标方程为 = ，直角坐标方程为 xy4=0；（2）点 P到直线 l 的距离 d= = ， =2k ，即 =2k （kZ），距离的最小值为 2 2，点 P 的 直角坐标（ 1+ ，1 ）11已知曲线 C1的参数方程为 （t为参数），以原点O为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 （ I）求曲线 C2 的直角坐标系方程；（ II）设 M

11、1是曲线 C1上的点，M2是曲线 C2上的点，求 | M1M2|的最小值 【解答】解：（ I）由 可得 =x 2，2=（x2）2，即 y2=4（x1）；（）曲线 C1的参数方程为 （t为参数），消去 t得：2x+y+4=0曲线 C1 的直角坐标方程为 2x+y+4=0M1是曲线 C1上的点， M 2是曲线 C2上的点，0，| M1M2|的最小值等于 M2到直线 2x+y+4=0的距离的最小值 设 M2（r21，2r），M2 到直线 2x+y+4=0 的距离为 d，所以点 B 的轨迹方程为 ，13在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （为参数，实数 a 0），曲线 C2： （为参数，实数

12、b0）在以 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：=（0，0 ）与 C1交于 O、A 两点， 与 C2交于 O、B两点当 =0时， | OA| =1；当 = 时， | OB| =2（）求 a，b 的值； （）求 2| OA| 2+| OA| ?| OB|的最大值【解答】 解：（）由曲线 C1： （为参数，实数 a0），化为普通方程为（ x a） 2+y2=a2，展开为： x2+y22ax=0，其极坐标方程为 2=2a cos，即 =2acos，由题意可得当 =0时， | OA| =，1 a= 曲线 C2： （ 为参数，实数 b 0），化为普通方程为 x2+（ yb）2=b2，展

13、开可得极坐标方程为 =2bsin， 由题意可得当 时， | OB| = =2， b=1（）由（ I）可得 C1，C2的方程分别为 =cos， =2sin2| OA| 2+| OA| ?| OB| =2cos2+2sin cos =s+inc2os2 +1= +1，2+ ， +1 的最大值为 +1，当 2+ = 时， = 时取到最大值后的曲线为 C2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 C2 的极坐标方程；（ ）设曲线 C3 的极坐标方程为 sin（ ）=1，且曲线 C3 与曲线 C2 相交于P，Q两点，求 | PQ|的值【解答】 解：（ ）C2的参数方程为 （为参数），

14、普通方程为（ x1）2+y2=1，C2 的极坐标方程为 =2cos；（ ）C2是以（ 1，0）为圆心， 2 为半径的圆，曲线 C3的极坐标方程为 si（n ） =1，直角坐标方程为 x y2=0，圆心到直线的距离 d= = ，15已知半圆 C的参数方程为 ，a为参数， a ， （）在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系，求半圆 C 的极坐标方程；（）在（ ）的条件下，设 T 是半圆 C上一点，且 OT= ，试写出 T 点的极 坐标解答】解：（）由半圆 C 的参数方程为，a 为参数，a ，则圆的普通方程为 x2+（y 1）2=1（0x1）， 由 x=co

15、s，y=sin，x2+y2=2 ，可得半圆 C的极坐标方程为 =2sin， 0， ； （）由题意可得半圆 C 的直径为 2，设半圆的直径为 OA， 则 sin TAO= ，由于 TAO 0， ，则 TAO= ，由于 TAO=TOX，所以 TOX= ，T 点的极坐标为（ ， ）16已知曲线 C1的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =2sin（）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1 与 C2交点的极坐标（ 0，02）【解答】 解：（）曲线 C1的参数方程式 （t 为参数），得（x4）2+（y5）2=25 即为圆

16、 C1的普通方程，即 x2+y2 8x 10y+16=0将 x= cos，y= sin 代入上式，得x2+y22y=0，28cos10sin+16=0，此即为 C1 的极坐标方程；）曲线 C2的极坐标方程为 =2sin 化为直角坐标方程为：C1 与 C2 交点的极坐标分别为（ ，则 d=|M1M2| 的最小值为 12设点 A 为曲线 C：=2cos在极轴 Ox 上方的一点，且 0 ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy，（ 1）求曲线 C 的参数方程；（2）以A为直角顶点， AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B在 A的右下方），求点 B 轨迹的极坐标方程x 1 cos解答】（1） * * * * * * * x 1 cos （0 ，为参数） y sin 22）：设 A（0，0 ），且满足 0=2cos 0，B（，），依题意，