中考数学一轮复习第三章函数及其图象第5节二次函数的图象和性质试题.docx

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中考数学一轮复习第三章函数及其图象第5节二次函数的图象和性质试题

2019-2020年中考数学一轮复习第三章函数及其图象第5节二次函数的图象和性质试题

课标呈现

指引方向

1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．

2．会用描点法面m二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．

3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴．

4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．

5．*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数，

考点梳理

夯实基础

1．二次函数的概念：

形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数，称为二次函数．其中，二次项系数、一次项系数、常数项分别为、、．

【答案】a、b、c

2．二次函数表达式的三种表达形式：

（1）-般式：

．

（2）顶点式：

（3）交点式：

【答案】

（1）y=ax2+bx+c（a≠0）

（2）y=a（x-h）2+k（a≠0）（3）y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）

3．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质：

（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的形状是一条抛物线，顶点坐标是（）．对称轴是直线.

【答案】抛物线

（2）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为；对称轴是y轴的抛物线的解

析式形式为；经过原点的抛物线的解析式形式为.

【答案】y=ax2（a≠0）y=ax2+c，（a≠0）y=ax2+bx（a≠0）

（3）函数y=ax2+bx+c的增减情况：

①当a>0时：

当x<时，y随x的增大而；当x>时，y随x的增大而；简记为左减右增，这时，当x=时，y最小值=．

【答案】减小增大

②当a<0时：

当x<时，y随x的增大而；当x>时，y随x的增大而；简记为左增右减，这时，当x=时，y最大值=．

【答案】增大减小

（4）二次函数中a、b、c在抛物线图象中的几何意义：

①a决定开口方向及开口大小：

当a>0时，开口向

【答案】上

_____；当＜0时，开口向下．越小，函数图象开口越大．＜＞

②．和共同决定抛物线对称轴的位置：

因为抛物线的对称轴是直线，故：

当＝0时，对称轴为y轴；当和同号时，对称轴在y轴的左侧；当和异号时，对称轴在y轴的右侧，以上特点简记为左同右异．

③c的大小决定抛物线与y轴交点的位置：

∵当x＝0时，y＝c，∴抛物线与y轴有且只有一个交点（0，c）：

c＝0，抛物线经过原点：

c＞0，抛物线与y轴交于正半轴：

c＜0，抛物线与y轴交于负半轴．

（5）函数（）图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况：

当y＝0时，即可得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．

①当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实数根：

②当二次函数的图象与戈轴有且只有一个交点时，．方程有两个相等的实数根：

③当二次函数的图象与戈轴没有交点时，，方程没有实数根．

（6）图象的平移：

左加右减，上加下减．

第一课时

考点精析专项突破

考点一二次函数的概念

【例1】（xx重庆南开）下列函数：

①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的二次函数的有__________，

【答案】②⑥

解题点拨：

抓住三个关键点，一是最高次数为2；二是最高次项的系数不为0；三是整式．

【例2】函数是二次函数，则m的值是_________．

【答案】1

解题点拨：

注意取舍．

变式：

是二次函数，则m的值是－2，1，0．

解题点拨：

先对系数m＋2按是否为0分类讨论，再对指数按2，1，0分类讨论．

考点三抛物线的对称性

【例3】（xx衢州）二次函数（）图象上部分点的坐标（，）对应值列表如下：

···

－3

－2

－1

0

1

···

···

－3

－2

－3

－6

－11

···

则该函数图象的对称轴是（）

A．直线x＝－3B．直线x＝－2

C．直线x＝－1D．直线x＝0

【答案】B

解题点拨：

抛物线的对称性的特征是对称点的纵坐标相等．

考点三二次函数的增减性

【例4】

（1）（xx兰州）点（－1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（）

A．B．C．D．

【答案】D

解题点拨：

二次函数的增减性问题基本方法是画图象，再根据和对称轴的距离比较纵坐标大小．

（2）（xx常州）已知二次函数，当＞l时，随的增大而增大，而m的取值范围是（D）

A．m＝－1B．m＝3C．m≤－1D．m≥－1

解题点拨：

逆用二次函数的增减性时要注意题目中给出的范围（＞l）是否是满足条件（随的增大而增大）的所有值，而此题就不一定是所有．

考点四驴抛物线与系数的关系

【例5】（xx兰州）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，有以下结论：

①；②；③；④．其中正确的结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

解题点拨：

判断囹象与系数的关系通常遵循以下五个步骤：

（1）开口看；

（2）对称轴得；（3）y轴截距看；（4）x轴交点个数看△；（5）特殊点找、、的关系．

课堂训练当堂检测

（xx临沂）二次函数，自变量与函数的对应值如表：

···

－4

3

－2

－1

···

···

0

－2

－2

0

···

下列说法正确的是（）

A．抛物线的开口向下

B．当＞－3时，随的增大而增大

C．二次函数的最小值是－2

D．抛物线的对称轴是直线戈

【答案】D

2．（xx广州）对于二次函数，下列说法正确的是（）

A．当＞0时，随的增大而增大

B．当＝2时，有最大值－3

C．图象的顶点坐标为（－2，－7）

D．图象与轴有两个交点

【答案】B

3．（xx育才改编）已知抛物线的顶点为D（－1，2），与轴的一个交点A在点（－3，0）和（－2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：

①＜0;②＜0;③＜0；④＝2；⑤方程有两个相等的实数根．其中正确结论的是__________．

【答案】③④⑤

4．（xx宁夏）已知点A（，3）在抛物线的图象上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B．

（1）求点B的坐标；

（2）求∠AOB度数．

解：

（1）∵

，

∴对称轴为直线x＝，

∴点A（，3）关于x＝的对称点的坐标为（，3）；

（2）如图：

∵A（，3）、B（，3），

∴BC＝，AC＝，OC＝3,

∴tan∠AOC＝，

tan∠BOC＝，

∴∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，

∴∠AOB＝30°．

中考达标模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1．（xx福州）已知点A（－1，m），B（1，m），C（2，m＋1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）

【答案】C

2．（xx聊城）二次函数（，，为常数且≠0）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（）

【答案】C

3．（xx襄阳）一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（）

【答案】C

4．（xx荆门）若二次函数的对称轴是＝3，则关于的方程的解为（）

A．＝0，＝6B．＝1，＝7C．＝1，＝－7D．＝－1，＝7

【答案】D

二、填空题

5．（xx达州）如图，已知二次函数（≠0）的图象与轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，－2）和（0，－1）之间（不包括这两点），对称轴为直线＝1．下列结论：

①＞0；②＞0；③＜8；④＜＜；⑤＞．

其中正确结论是________．

【答案】①③④⑤

6．（xx沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，点A（，），B（，）是该二次函数图象上的两点，其中－3≤˂≤0，则下列结论①˂；②˃；③的最小值是－3；④的最小值是－4，中正确的是________．

【答案】④

7．（xx黄石）以为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是_______．

【答案】

三、解答题

8．已知抛物线与轴交于点A，点B的纵坐标是－5．且横坐标为负数．

（1）求点A、B的坐标；

（2）若点P是抛物线的对称轴上一点，求PA＋PB的最小值．

解：

（1）A（0，3），B（－2，－5）．

（2）．

9．（xx黄冈）如图，抛物线与轴交于点A，点B，与轴交于点C，点D与点C关于轴对称，点P是轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．

（1）求点A、点B、点C的坐标；

（2）求直线BD的解析式；

（3）当点P在线段QB上运动时，试探究m为何值时，四边形OMBQ的面积随m的增大而增大．

解：

（1）当x＝0时，，

∴C（0，2），

当＝0时，

解得＝－1，＝4．

∴A（－1，0），B（4，0）．

第9题

（2）∵点D与点C关于轴对称，

∴D（0，－2）．

设直线BD为，

把B（4，0）代入，得0＝4－2

∴＝．

∴BD的解析式为．

（3）∵P（m，0），

∴M（m，）,，Q（m，）

当P在线段OB上运动时．

QM＝（）－（）＝

∴＝·OB·QM＝＝

∴当0˂m≤1时，四边形OMBQ的面积随m的增大而增大．

B组提高练习

10．（xx资阳）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象过A（，m）、B（＋n，m）两点，则m、n的关系为（）

A．B．CD．

【答案】D

（提示：

抛物线与轴只有一个交点，∴当时，＝0．且＝0，即．又∵点A（，m），B（＋n，m），∴点A、B关于直线对称，∴A（，m），B（,m），将A点坐标代入抛物线解析式，得m＝

，即m＝，∵，∴，故选D．）

11．（xx十堰）已知关于的二次函数的图象经过点（－2，），（－1，），（1，0），且˂0˂，对于以下结论：

①＞0;②≤0：

③对于自变量的任意一个取值，都有；其中结论错误的是________（只填写序号）

【答案】②

（提示：

由题意二次函数图象如图所示，∴，，，∴故①正确．∵，∴,∴

，又∵＝－2时，＜0，∴，∴即，∴，故②错误，故答案为②．∵，∴，，∵，∴,故③正确．）

12．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（－1，－2），抛物线F:

与直线＝－2交于点P．

（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；

（2）若m＝－2，抛物线F上有两点（，），（，），且˂≤－2，比较与的大小；

（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

解：

（1）∵抛物线F经过点C（－1，－2），

∴，∴m＝－1．

∴抛物线F的表达式是．

（2）当m＝－2时，抛物线F的表达式是．

∴当x≤－2时，随的增大而减小．

∵˂≤－2，

∴˃．

（3）－2≤m≤0或2≤m≤4．

第二课时

考点精析专项突破

待定系数法求二次函数的解析式

【例6】

（1）（xx河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线上两点，该抛物线的函数表达式是．

解题点拨：

把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式．

（2）已知某抛物线的顶点为（－1，4），且过点（1，0），求该抛物线的函数表达式，

解题点拨：

设顶点式，代点解方程得答案．

解：

．

（3）已知抛物线与轴交于A（－4，0）、B（1，0）两点，在轴上的截距为－4，求该抛物线的函数表达式．

解题点拨：

设交点式，代点解方程得答案．

解：

．

考点六抛物线与图形变换

【例7】（xx滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

解题点拨：

平移问题按照“左加右减，上加下减”解题：

旋转问题常从顶点坐标和开口方向入手．

考点七二次函数的最值问题

【例8】

（1）（xx兰州）二次函数的最小值是－7．

解题点拨：

解法一：

背公式．解法二：

化为顶点式．

（2）【原创】二次函数的最大值是．

解题点拨：

交点式的标准形式中的系数为1．交点式求最值一般先求对称轴，再代求．

考点八二次函数的交点问题

【例9】（xx滨州）抛物线与坐标轴的交点个数是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

解题点拨：

按、轴分类讨论．

【例10】如图，抛物线与直线交于A、B两点，其中点A在轴上，点B坐标为（－4，－5）．

（1）求当为何值时；

（2）求抛物线的解析式．

解题点拨：

（1）将不等式问题转化为图象问题；

（2）用待定系数法求解析式．

解：

（1）＜－4或x＞0．

（2）∵直线交于A、B两点，其中点A在轴上，

∴A（0，－3），

∵B（－4，－5），

∴

∴

∴抛物线解析式为．

课堂训练当堂检测

1．（xx泰安）将抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

2．（xx青岛）已知二次函数与正比例函数的图象只有一个交点，则c的值为（）

A．0B．C．D．3

【答案】C

3．将二次函数配成顶点式为______________，它的图象开口向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为________，当戈________时，随的增大而减小，当_______时，有最小值，是________．

【答案】；上；x＝－3；（－3，－5）；≤－3；＝－3；－5

4．根据下列条件，选择恰当的方法求二次函数解析式．

（1）函数有最小值－8，且：

：

＝1：

2：

（－3）；

（2）函数有最大值2，且过点A（－1，0）、B（3，0）；

（3）当＞－2时随增大而增大；当＜－2时，随增大而减小，且图象过点（2，4），与轴的交点为（0，－2）．

解：

（1）；

（2）；

（3）．

中考达标模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1．（xx山西）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）

A．B．

C．D．

【答案】D

2．二次函数化为的形式，下列正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

3．（xx绍兴）抛物线（其中，是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤≤3）有交点，则的值不可能是（）

A．4B．6C．8D．10

【答案】A

4．（xx南宁）二次函数（≠0）和正比例函数的图象如图所示，则方程（≠0）的两根之积（）

A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定

【答案】C

二、填空题

5．（xx大连）如图，抛物线与轴相交于点A、B（m＋2，0）与轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，），则点A的坐标是________．

【答案】（－2，0）

6．（xx荆州）若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为____________．

【答案】－1或2或1

7．抛物线与的正半轴交于点A，与轴交于点B，第四象限的点C在抛物线上，则△ABC面积的最大值是________．

【答案】

三、解答题

8．我们规定：

若m＝（，），n＝（，），则＝a．如m＝（1，2），n＝（3，5），则＝1x3＋2x5＝13．

（1）已知m＝（2，4），n：

（2，－3），求；

（2）已知m＝（，1），n＝（，），求,，问的函数图象与一次函数的图象是否相交，请说明理由．

解：

（1）∵m＝（2，4），n＝（2，－3），

∴＝2x2＋4x（－3）＝－8;

（2）∵m＝（，1），n＝（，），

∴

＝

∴

联立方程：

化简得：

∵．

∴方程无实数根，两函数图象无交点．

9．（xx中山）如图,二次函数的图像与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．

（1）求二次函数解析式；

（2）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；

（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．

解：

（1）设二次函数的解析式为，a、b、c常数）．

由题意得

，解得

所以二次函数的解析式为；

（2）如图，以次函数值大于函数值的x的取值范围是或．

（3）∵对称轴：

x=-1，∴D（-2，3）；

设直线BD：

，代入B（1，0），D（-2，3）；

解得直线BD：

把x=0代入求得E（0，1）．

∴OE=1

又∵AB=4，∴

B组提高次练习

10．（xx泸州）已知二次函数的图像的顶点在第四象限，且过点（-1，0），当为整数时，ab的值为（）

A．或1B．或1C．或D．或

〖答案〗A

（提示：

依题意知，，，故，且，，于是，∴，又为整数，∴，0，1，故，1，，，1，，∴或1．故选A．

11．（xx荷泽）如图，一端抛物线：

记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转180°得到，交x轴于；将绕旋转180°得到交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若点P（11，m）在第6段抛物线上，则m=．

〖答案〗-1

（提示：

∵，∴配方可得，∴顶点坐标为（1，1），∴坐标为（2，0），∵由旋转得到，∴，即顶点坐标为（5，1），；顶点坐标为（7，-1），（8，0）；顶点坐标为（9，1），（10，0）；顶点坐标为（11，-1），（12，0）；；m=-1．）

12．（xx舟山）二次函数，当，且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，求m+n的值．

解：

二次函数的大致图像如右：

①当时，则当时y取最小值，即2m=-，解得：

m=-2．当x=n时y取最大值，即2n=．解得：

n=2或n=-2（均不合题意，舍去）；

②当时，则当x=m时y取最小值，即2m=，

解得：

m=-2，当x=1时y最大值，即2n=-，解得：

n=，所以m+n=-2+=．

第三课时

考点精析，专项突破

考点九二次函数与面积

【例11】如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

（1）该抛物线的解析式为：

；

（2）=；

（3）点D是该抛物线位于第一象限部分上的一点．则的面积最大值为：

，此时点D的坐标为：

．

〖答案〗

（1）；

（2）2

（3）；（，）

解题点拨：

①在函数问题中，当点的坐标未知（如本题的点D）时，通常可以先用字母设出点的坐标，然后利用坐标表示出线段的长度，进而再利用几何知识解决问题；②对于不能直接表示的面积要学会灵活应用割补法．

【例12】（xx乐山改编）在直角坐标系xoy中，A（0，2）、B（-1，0），将经过旋转、翻折、平移变化后得到如图所示的．

（1）则经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：

；

（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将的面积分成1：

3两部分，求此时点P的坐标；

（3）现将、分别向下、向左以相同的速度同时平移，且与重叠部分的图形是三角形时t的取值范围，并求此时重叠部分的面积．

〖答案〗

解题点拨：

①面积关系问题根据条件情况往往有这两种处理方法：

其一，首先分别表示出它们的面积再利用方程求解；其二，把它们的面积关系转化为线段关系，再借助坐标把线段关系转化为方程；②注意考虑分类讨论；③学有余力的同学第（3）问还可以自主探索重叠部分不是三角形时的重叠部分面积．

解：

（1）．

（2）如图1所示，设直线PC与直线AB交于点E．

∵直线PC将的面积分成1：

3两部分，

∴或．

过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA．

∴△BEF∽△BAO，∴．

∴当时，

∴EF=,BF=,∴E（－,）

设直线PC解析式为，则可求得解析式为

∴

，∴，（舍去）

∴

当时，E（－,）同理可得

（3）当时，与重叠部分为三角形

如图2，设与重叠部分的面积为为S．

可由已知求出的解析式为，与x轴交点坐标为H（，0）．

与的交点G，且G（1－t，4-3t）

∴

，

∴

课堂训练当堂检测

1．抛物线与坐标轴的交点个数是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

2．若，则二次函数的图像的顶点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

3．已知二次函数的顶点为P，其图像与x轴交于A、B两点，则=．

【答案】8

4．（xx安徽改编）如图，二次函数的图像经过点A（2，m）与B（n，0）（n＞0）

（1）则m=，n=；

（2）点C是该二次函数图像上A、B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

【答案】

（1）4，6

（2）解：

（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F

；

；

则S=＋＋=4＋＋=

∴S关于x的函数表达式为S=（2＜x＜6＝

∵S==

∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．

中考达标模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1．抛物线与y轴的交点坐标为（）

A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）

【答案】A

2．已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）

A．m=－1B．m=3C．m≤－1D．m≥－1

【答案】A

3．（xx重庆育才）已知抛物线，当a＞0，b＜0时，它的图像经过（）

A．一、二、三象限；B．一、二、四象限；C．一、三、四象限；D．一、二、三、四象限

【答案】B

4．若抛物线的对称轴过点（2，0），则关于x的方程的解为（）

A．，B．，C．，D．，

【答案】D

二、填空题

5．抛物线的顶点坐标为．

【答案】（1，-4）

6．（xx天津模拟）如果抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则=．

【答案】24

7．（xx长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．

【答案】15

三、解答题

8．如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点．若P是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E点，连接AE，CE．设△AEC的面积为S,求S的最大值．

解：

易得：

A（-1，0），B（4，0），C（3，4）

设P（m，-m-1），则E（m，）

∵P是线段AC上的一个动点（不与A，C重合）

∴，∴PE=，∴

==

当m=1时，S=8

9．（xx重庆一中改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y交于点C，且OC=2OA．抛物线的对称轴为直线x=3，且与x轴相交于点D．

（1）该抛物线的解析式为．

（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为m．是否存在点P，使得？

若存在，求出此时m的值．

【答案】

（1）

（2）过点P作PQ∥y轴交直线CD于Q，∵直线x=3与x轴交于D，∴D（3，0）

∴直线CD：

∵，