立体几何轨迹与截面问题27521.docx
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立体几何轨迹与截面问题27521
轨迹与截面
（二）
1．如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设
与底面所成的角分别为均不为.若，则动点的轨迹为（）
B.圆的一部分
D.抛物线的一部分
2．正方体棱长为4，,分别是棱,的中点，则过点的平面截正方体所得截面的面积为（）
A.B.C.D.
3．已知球O的半径为2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面积分别为2和，则|MN|（）
A．1B．3C．2D．5
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面⊥底面ABCD，M为底面
PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PADABCD内的一个动点，
且满足MP=M，C则点
M在正方形ABCD内的
A．
D
5．如图，记长方体ABCDA1B1C1D1被平行于棱B1C1的平面EFGH截去右上部分后剩下的几何体为Ω，则下列结论中不正确的是（）
A．EH∥FGB
C．Ω是棱柱D
6．如图，在正方体ABCD
四边形EFGH是平行四边形
Ω是棱台
A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC
与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（
A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线
7．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面
DCC1D1内运动，若PBQ
PBD1，则动点Q的轨迹所在曲线为（
A.直线B.圆C.
双曲线D.抛物线
8．如图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是
9．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个
球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）
A．
B．2
C．
D．
10．（2015秋?
河南期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正
方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）
A．B．C．D．
11．（2015?
西城区二模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则
MP+PQ的最小值为（）
A．B．
C
12．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE
折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹
的长度为（）
B
A．
23
3
D．
3
13．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面
圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为
A．1m
D．2m
参考答案
1．B
【解析】
由线面角的定义及题意可得，即，以线段为轴，其中垂线为轴，如图，建立平面直角坐标系，设，则，所以，即，则动点的轨迹是圆，故应选答
案B。
点睛：
解答本题时，先将立体几何问题转化平面上动点的轨迹问题，再运用平面解析几何的
有关知识分析探求，最后使得问题获解，体现了降维思想与转化化归思想的巧妙运用。
2．D
【解析】
过三点的平面截正方体所得截面为一个正六边形,其余三个顶点分别为的中
点,边长为,所以面积为,选D.
3．D
解析】
d121R2
d222R2
试题分析：
因由球心距与截面圆的半径之间的关系得
d12d22835，故MNd12d225，应选D。
考点：
球的几何性质及运算。
4．A
【解析】
试题分析：
根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=M”C设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN
∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=M”C
故动点M的轨迹肯定过点D和点N
而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面
线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线考点：
直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系5．D【解析】
试题分析：
因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH?
平面BCC1B1，平面EFGH
∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCC1B1，又EH?
平面EFGH，平面EFGH∩平面
BCC1B1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，
EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，
又EF?
平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确考点：
线面垂直的判定；线面平行的判定6．D.
【解析】如下图所示，连结PC1，过P作PHBC于H，∵C1D1面BB1C1C，PC1
面BB1C1C，
∴PC1C1D1，∴PC1PH，故点P的轨迹为以C1为焦点，BC所在直线为准线的抛物线，故选D.
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.7．C
【解析】易得BP//平面CC1D1D，所有满足PBD1PBX的所有点X在以BP为轴
线，以BD1所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q的轨迹为该圆锥面与平面CC1D1D的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q的轨迹是双曲线，
故选C.
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.8．D
【解析】
试题分析：
根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案
解：
当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时
（1）符合条件；
当截面不过旋转轴时，
圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时（5）符合条件；故截面图形可能是
（1）（5），故选：
D．
考点：
平面的基本性质及推论．
9．A
【解析】
试题分析：
图中弧EF为过圆心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为
A1AEBAF，所以EAF，由弧长公式知弧EF的长为2，弧FG
16663为不过圆心的平面与球面相交所得小圆的弧，其圆心为B，因为球心到平面的距离d3，
球半径R2，所以小圆半径rR2d21，又GBF，所以弧FG的长为
2
5
1，两段弧长之和为，故选A．
226
考点：
1、球的截面性质；2、弧长公式．
10．A
【解析】
试题分析：
点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，求出AE，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=45°，在Rt△AEO，求出OC，然后求解A1O，即可求解A1C．解：
由已知可得点A1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上，过A1作A1E⊥AB于E，
在Rt△AEA1，AA1=3，∠A1AE=60°
，连结OE，则OE⊥AB，∠EAO=4°5，
在Rt△AEO中，
在
，
故选A．
考点：
空间两点间的距离公式．
11．C
【解析】试题分析：
画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值．
解：
由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，
=．
．
易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：
故选：
C．
由题意得，DKAE，所以K的轨迹是以AD
为直径的一段圆弧DK，设AD
的中点为
O，因为长方形ABCD中，AB3,BC
1，所以DAC60o，所以
o2
DOK120o2，所以K所形成的轨迹的长度为3
21，故选D．
323
考点：
轨迹方程的求解．
考点：
点、线、面间的距离计算；多面体和旋转体表面上的最短距离问题．12．D【解析】试题分析：
【方法点晴】本题以平面图形的翻折为载体，考查了立体几何中的轨迹问题的求解，同时考查了弧长公式的运用，解题的关键是根据AED沿AE翻折，使得D在平面ABC上的射影为K在直线AE上，利用DKAE，从而可得K所形成的轨迹是以AD为直径的一段圆弧DK，求出圆心角DOK，利用弧长公式求解弧长．
13．C
定理可得cosPOP
222
OP2OP2PP2
2OPOP
1，
2，
POP
．设底面圆的半径为
【解析】试题分析：
作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示：
该小虫爬行的最短路程为PP，由余弦
r，则有2r24，∴r4．故C项正确．33
考点：
圆锥的计算，平面展开——最值问题．
【方法点晴】本题主要考查了圆锥的计算及有关圆锥的侧面展开的应用，着重考查了求立体图形中两点之间的曲线段的最短线路长，解答此类问题一般应把几何体的侧面展开，展在一个平面内，构造直角三角形，从而求解两点间的线段的长度，用到的知识为：
圆锥的弧长等于底面周长，本题的解答中圆锥的侧面展开图是一个三角形，此扇形的弧长等于圆锥的面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，体现了“化曲面为平面”的思想方法．
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