53 平行线的性质学年七年级数学下册课时提升训练人教版解析版.docx
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53平行线的性质学年七年级数学下册课时提升训练人教版解析版
2020-2021学年七年级数学下册课时提升训练(人教版)
5.3平行线的性质
1.如图,两平行线AB,CD被CE所截,∠1=70°,则∠2的度数是( )
A.100°B.110°C.120°D.130°
【解答】解:
∵两平行线AB,CD被CE所截,
∴∠1+∠BEC=180°,
∵∠1=70°,
∴∠BEC=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°,
∵∠2=∠BEC,
∴∠2=110°,
故选:
B.
2.如图,AB∥CD,∠2=150°,则∠1的度数是( )
A.30°B.35°C.40°D.45°
【解答】解:
如下图所示,
∵AB∥CD,
∴∠1+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∵∠2=∠3=150°(对顶角相等)
∴∠1=180°﹣∠3=180°﹣∠2=180°﹣150°=30°,
故选:
A.
3.如图,一个直角三角板的直角顶点落在直尺上的一条边上,若∠1=58°,则∠2的大小为( )
A.48°B.38°C.42°D.32°
【解答】解:
∵∠1=58°,∠1=∠3,
∴∠3=58°,
∵∠3+∠2=90°,
∴∠2=32°,
故选:
D.
4.如图,AB∥DE,BC⊥CD,则以下说法中正确的是( )
A.α,β的角度数之和为定值
B.α,β的角度数之积为定值
C.β随α增大而增大
D.β随α增大而减小
【解答】解:
过C点作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴CF∥DE,
∴∠α=∠BCF,∠β+∠DCF=180°,
∵BC⊥CD,
∴∠BCF+∠DCF=90°,
∴∠α+180°﹣∠β=90°,
∴∠β﹣∠α=90°,
∴β随α增大而增大,
故选:
C.
5.如图,直线a∥b,∠1=70°,∠3=50°,则∠2=( )
A.80°B.70°C.60°D.50°
【解答】解:
如右图所示,
∵a∥b,
∴∠1=∠4,
∴∠1=70°,
∴∠4=70°,
∵∠3=50°,∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠2=180°﹣∠3﹣∠4=180°﹣50°﹣70°=60°,
故选:
C.
6.如图,已知AB∥CE,∠B=50°,CE平分∠ACD,则∠ACD= 100 °
【解答】解:
∵AB∥CE,∠B=50°,
∴∠ECD=∠B=50°,
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACD=2∠ECD=2×50°=100°,
故答案为:
100.
7.如图所示,已知a∥b,将含30°角的三角板如图所示放置,∠1=105°,则∠2的度数为 45° .
【解答】解:
如图所示:
∵∠4=30°,∠1=105°,
∴∠3=180°﹣30°﹣105°=45°,
∵a∥b,
∴∠3=∠5=45°,
∴∠2=90°﹣45°=45°.
故答案为:
45°.
8.某人在练车场上练习驾驶汽车,两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反,则两次拐弯的角度可能是 ④
①第一次向左拐40°,第二次向右拐40°
②第一次向左拐50°,第二次向右拐130°
③第一次向左拐70°,第二次向右拐110°
④第一次向左拐70°,第二次向左拐110°
【解答】解:
如图:
第一次向左拐70°,∠1=180°﹣70°=110°,第二次向左拐110°,∠2=110°,
所以,∠1=∠2,
所以,两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反.
故答案为:
④.
9.如图,a∥b,∠2=95°,∠3=150°,则∠1的度数是 115° .
【解答】解:
过点C作CD∥a,
∵a∥b,
∴CD∥a∥b,
∴∠1+∠ECD=180°,∠3+∠DCF=180°,
∵∠2=95°,∠3=150°,
∴∠1+∠2+∠3=360°,
∴∠1=360°﹣∠2﹣∠3=360°﹣150°﹣95°=115°,
故答案为:
115°.
10.如图,AB∥CD,∠FGB=154°,FG平分∠EFD,求∠AEF的度数.
【解答】解:
∵AB∥CD,∠FGB=154°,
∴∠GFD=180°﹣∠FGB=180°﹣154°=26°,
∵FG平分∠EFD,
∴∠EFD=2∠GFD=2×26°=52°,
∵AB∥CD,
∴∠AEF=∠EFD=52°.
11.如图AB∥CD,∠B=62°,EG平分∠BED,EG⊥EF,求∠CEF的度数.
【解答】解:
∵AB∥CD,∠B=62°,
∴∠BED=∠B=62°,
∵EG平分∠BED,
∴∠DEG=
∠BED=31°,
∵EG⊥EF,
∴∠FEG=90°,
∴∠DEG+∠CEF=90°,
∴∠CEF=90°﹣∠DEG=90°﹣31°=59°.
12.如图,AB∥CD,EF⊥AB于O,∠FGD=140°,求∠EFG的度数.
【解答】解:
过点F作FM∥AB,如图所示.
∵AB∥CD,FM∥AB,
∴FM∥CD,
∴∠MFG=180°﹣∠FGD=180°﹣140°=40°.
∵EF⊥AB,
∴∠BOF=90°,
又∵FM∥AB,
∴∠OFM=180°﹣∠BOF=180°﹣90°=90°,
∴∠EFG=∠OFM+∠MFG=90°+40°=130°.
13.阅读下列推理过程,在括号中填写理由.
如图,AB∥CD∥GH,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD,求证:
∠EGF=90°.
证明:
∵AB∥GH(已知),
∴∠1=∠3( 两直线平行,内错角相等 ),
又∵CD∥GH(已知),
∴ ∠4=∠2 (两直线平行,内错角相等).
∵AB∥CD(已知),
∴∠BEF+ ∠EFD =180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵EG平分∠BEF(已知),
∴∠1=
∠BEF ( 角平分线定义 ),
又∵FG平分∠EFD(已知),
∴∠2=
∠EFD( 角平分线定义 ),
∴∠1+∠2=
( ∠BEF +∠EFD),
∴∠1+∠2=90°,
∴∠3+∠4=90°( 等量代换 ),即∠EGF=90°.
【解答】证明:
∵AB∥GH(已知),
∴∠1=∠3(两直线平行,内错角相等),
又∵CD∥GH(已知),
∴∠4=∠2(两直线平行,内错角相等).
∵AB∥CD(已知),
∴∠BEF+∠EFD=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵EG平分∠BEF(已知),
∴∠1=
∠BEF(角平分线定义),
又∵FG平分∠EFD(已知),
∴∠2=
∠EFD(角平分线定义),
∴∠1+∠2=
(∠BEF+∠EFD),
∴∠1+∠2=90°,
∴∠3+∠4=90°(等量代换),
即∠EGF=90°.
故答案为:
两直线平行,内错角相等;∠4=∠2;∠EFD;∠BEF;角平分线定义;角平分线定义;∠BEF;等量代换.
14.已知AD∥BC,AB∥CD,E在线段BC延长线上,AE平分∠BAD.
(1)试证明∠ABC=∠ADC;
(2)若∠ADC=58°,求∠AEC的度数.
【解答】
(1)证明:
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠DCE,
∵AD∥BC,
∴∠ADC=∠DCE,
∴∠ABC=∠ADC,
(2)解:
∵AB∥CD,
∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣58°=122°,
∵AE平分∠BAD,
∴
,
∵AD∥BC,
∴∠AEC=∠DAE=61°.
15.已知M、N分别为直线AB,直线CD上的点,且AB∥CD,E在AB,CD之间.
(1)如图1,求证:
∠BME+∠DNE=∠MEN;
(2)如图2,P是CD上一点,连PM,作MQ∥EN,若∠QMP=∠BME.
试探究∠E与∠AMP的数量关系,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,作NG⊥CD交PM于G,若MP平分∠QME,NF平分∠ENG,若∠MGN=m°,∠MFN=n°,直接写出m与n的数量关系 4n﹣m=270° .
【解答】解:
(1)过E作EG∥AB,如图1,
∵AB∥CD,
∴EG∥CD,
∴∠BME=∠MEG,∠DNE=∠GEN,
∵∠MEN=∠MEG+∠GEN,
∴∠BME+∠DNE=∠MEN;
(2)∠E=∠AMP.
理由:
∵AB∥CD,
∴∠BMP+∠MPD=180°,∠MPD=∠AMP,
∵MQ∥EN,
∴∠QME+∠E=180°,
∵∠QMP=∠BME.
∴∠QME=∠BMP,
∴∠E=∠MPD,
∴∠E=∠AMP;
(3)如图3,
在
(2)的条件下,∠AMP=∠E,
∵∠QMP=∠BME,
∴∠AMQ=∠DNE,
∵MP平分∠QME,
∴∠PMQ=∠PME=∠BME,
∵NG⊥CD,NF平分∠ENG,
∴∠FNG=∠ENF,
若∠MGN=m°,∠MFN=n°,∠PMQ=∠PME=∠BME=y°,∠AMQ=∠DNE=x°,∠FNG=∠ENF=z,
则m=x+y+90°,n=x+y+z,x+2z=90°,x+3y=180°,
解得4n﹣m=270°.
故答案为4n﹣m=270°.
5.3.2命题、定理、证明
16.下列语句中,不是命题的是( )
A.如果a+b=0,那么a、b互为相反数
B.内错角相等
C.已知a2=4,a的值是多少?
D.负数大于正数
【解答】解:
根据命题的定义知道A、B、D选项均对事情做出了判断,是命题;C选项是一个疑问句,不是命题,
故选:
C.
17.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( )
A.垂直
B.两条直线
C.同一条直线
D.两条直线垂直于同一条直线
【解答】解:
命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线.
故选:
D.
18.下列命题是真命题的是( )
A.如果两个角是内错角,那么它们一定相等
B.如果两个角是同位角,那么它们一定相等
C.如果两个角是同旁内角,那么它们一定互补
D.如果两个角是对顶角,那么它们一定相等
【解答】解:
A、两直线平行,如果两个角是内错角,那么它们一定相等,原命题是假命题;
B、两直线平行,如果两个角是同位角,那么它们一定相等,原命题是假命题;
C、两直线平行,如果两个角是同旁内角,那么它们一定互补,原命题是假命题;
D、如果两个角是对顶角,那么它们一定相等,是真命题;
故选:
D.
19.有下列三个命题:
①平面内,过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;
②平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
③如果两个角相等,那么这两个角是对顶角.
其中,假命题是( )
A.①B.②C.③D.①②③
【解答】解:
①平面内,过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,正确,是真命题;
②平面内,过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直,正确,是真命题;
③如果两个角相等,那么这两个角不一定是对顶角,错误,是假命题;
故选:
C.
20.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:
①a∥b;②b∥c;③a∥c;④a⊥b;⑤a⊥c.
以其中两个论断作为题设,一个论断作为结论,组成一个你认为不正确的命题是( )
A.已知①②则③B.已知②⑤则④C.已知②④则③D.已知④⑤则②
【解答】解:
A、根据平行线的传递性,由①②可得到③,所以A为真命题;
B、根据平行线的性质和垂直的定义,由②⑤可得④,所以B为真命题;
C、根据平行线的性质和垂直的定义,由②④可得b⊥c,所以C为假命题;
D、根据平行线的判定,由④⑤可得②,所以D为真命题.
故选:
C.
21.下列选项中a,b的取值,可以说明“若a>b,则|a|>|b|”是假命题的反例为( )
A.a=﹣5b=﹣6B.a=6b=5C.a=﹣6b=5D.a=6b=﹣5
【解答】解:
当a=﹣5,b=﹣6时,a>b,但|a|<|b|,
∴“若a>b,则|a|>|b|”是假命题,
故选:
A.
22.下面的句子中是命题的有
(1)、(3)、(4)、(7) .
(1)我是中国人;
(2)你吃饭了吗?
(3)对顶角相等;(4)内错角相等;
(5)延长线段AB;(6)明天可能下雨;(7)若a2>b2则a>b.
【解答】解:
(1)、(3)、(4)、(7)是命题;
(2)为问句,(5)为描叙句,(6)是猜测,它们都没有进行判断,所以它们都不是命题,
故答案为:
(1)、(3)、(4)、(7).
23.将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为:
如果两个角是对顶角,那么这两个角相等 .
【解答】解:
原命题的条件是:
“两个角是对顶角”,结论是:
“这两个角相等”,
命题“对顶角相等”写成“如果…,那么…”的形式为:
“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”.
故答案为:
如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
24.下列命题中,是真命题的是 ①④ .(填序号)
①对顶角相等;
②内错角相等;
③三条直线两两相交,总有三个交点;
④若a∥b,b∥c,则a∥c.
【解答】解:
①对顶角相等,正确,是真命题,符合题意;
②两直线平行,内错角相等,故原命题错误,不符合题意;
③三条直线两两相交,总有三个或一个交点,故原命题错误,不符合题意;
④若a∥b,b∥c,则a∥c,正确,是真命题,符合题意,
正确的有①④.
故答案为:
①④.
25.把下列命题改成“如果…那么…”的形式.
(1)不相交的两条直线是平行线
(2)相等的两个角是对顶角
(3)经过一点有且只有一条垂线
(4)直角都相等.
【解答】解:
(1)不相交的两条直线是平行线,∵原命题的条件是:
“两条直线不相交”,结论是:
“这两条直线平行”,
∴命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果…那么…”的形式为:
“如果两条直线不相交,那么这两条直线平行”.
(2)相等的两个角是对顶角,
∵原命题的条件是:
“两个角是对顶角”,结论是:
“这两个角相等”,
∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为:
“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”.
(3)经过一点有且只有一条垂线,
∵原命题的条件是:
“经过一点”,结论是:
“有且只有一条垂线”,
∴命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如果…那么…”的形式为:
“如果过一点,那么有且只有一条直线与已知直线垂直”.
(4)直角都相等.
∵原命题的条件是:
“所有的直角”,结论是:
“都相等”,
∴命题“直角都相等”写成“如果…那么…”的形式为:
“如果所有的角是直角,那么它们都相等”.
26.如图所示,直线l1、l2被l3所截:
①命题“若∠2=∠3,则l1∥l2”的题设是“∠2=∠3”,结论是“l1∥l2”;
②“若l1∥l2,则∠1=∠4”的依据是“两直线平行,同位角相等”;
③“若∠3≠∠2,则l1不平行l2”的依据是“两直线平行,内错角相等”;
④“若l1∥l2,则∠4=∠3”依据是“两直线平行,同位角相等”;
⑤“若∠3+∠5=180°,则l1∥l2”的依据是“两直线平行,同旁内角互补”.
上面说法正确的是(填序号) ①,③,④ .
【解答】解:
①命题“若∠2=∠3,则l1∥l2”的题设是“∠2=∠3”,结论是“l1∥l2”,正确;
②“若l1∥l2,则∠1=∠4”的依据是“两直线平行,同位角相等”,错误,∠1,∠4不是同位角;
③“若∠3≠∠2,则l1不平行l2”的依据是“两直线平行,内错角相等”,正确;
④“若l1∥l2,则∠4=∠3”依据是“两直线平行,同位角相等”,正确;
⑤“若∠3+∠5=180°,则l1∥l2”的依据是“同旁内角互补,两直线平行”,故原依据错误.
故答案为:
①,③,④.
27.如图,已知在△ABC中,∠1=∠2.
(1)请你添加一个与直线AC有关的条件,由此可得出BE是△ABC的外角平分线;
(2)请你添加一个与∠1有关的条件,由此可得出BE是△ABC的外角平分线;
(3)如果“已知在△ABC中,∠1=∠2不变”,请你把
(1)中添加的条件与所得结论互换,所得的命题是否是真命题,理由是什么?
【解答】解:
(1)AC∥BE;
(2)∠1=∠ABE或∠1=∠DBE;
(3)是真命题,理由如下:
∵BE是△ABC的外角平分线,
∴∠ABE=∠DBE,
又∵∠ABD是三角形ABC的外角,
∴∠ABD=∠1+∠2,
即∠ABE+∠DBE=∠1+∠2,
又∵∠ABE=∠DBE,∠1=∠2,
∴∠ABE=∠1,
∴AC∥BE.