53 平行线的性质学年七年级数学下册课时提升训练人教版解析版.docx

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53平行线的性质学年七年级数学下册课时提升训练人教版解析版

2020-2021学年七年级数学下册课时提升训练（人教版）

5.3平行线的性质

1．如图，两平行线AB，CD被CE所截，∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）

A．100°B．110°C．120°D．130°

【解答】解：

∵两平行线AB，CD被CE所截，

∴∠1+∠BEC＝180°，

∵∠1＝70°，

∴∠BEC＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，

∵∠2＝∠BEC，

∴∠2＝110°，

故选：

B．

2．如图，AB∥CD，∠2＝150°，则∠1的度数是（　　）

A．30°B．35°C．40°D．45°

【解答】解：

如下图所示，

∵AB∥CD，

∴∠1+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵∠2＝∠3＝150°（对顶角相等）

∴∠1＝180°﹣∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣150°＝30°，

故选：

A．

3．如图，一个直角三角板的直角顶点落在直尺上的一条边上，若∠1＝58°，则∠2的大小为（　　）

A．48°B．38°C．42°D．32°

【解答】解：

∵∠1＝58°，∠1＝∠3，

∴∠3＝58°，

∵∠3+∠2＝90°，

∴∠2＝32°，

故选：

D．

4．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（　　）

A．α，β的角度数之和为定值

B．α，β的角度数之积为定值

C．β随α增大而增大

D．β随α增大而减小

【解答】解：

过C点作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠α＝∠BCF，∠β+∠DCF＝180°，

∵BC⊥CD，

∴∠BCF+∠DCF＝90°，

∴∠α+180°﹣∠β＝90°，

∴∠β﹣∠α＝90°，

∴β随α增大而增大，

故选：

C．

5．如图，直线a∥b，∠1＝70°，∠3＝50°，则∠2＝（　　）

A．80°B．70°C．60°D．50°

【解答】解：

如右图所示，

∵a∥b，

∴∠1＝∠4，

∴∠1＝70°，

∴∠4＝70°，

∵∠3＝50°，∠2+∠3+∠4＝180°，

∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣50°﹣70°＝60°，

故选：

C．

6．如图，已知AB∥CE，∠B＝50°，CE平分∠ACD，则∠ACD＝　100　°

【解答】解：

∵AB∥CE，∠B＝50°，

∴∠ECD＝∠B＝50°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACD＝2∠ECD＝2×50°＝100°，

故答案为：

100．

7．如图所示，已知a∥b，将含30°角的三角板如图所示放置，∠1＝105°，则∠2的度数为　45°　．

【解答】解：

如图所示：

∵∠4＝30°，∠1＝105°，

∴∠3＝180°﹣30°﹣105°＝45°，

∵a∥b，

∴∠3＝∠5＝45°，

∴∠2＝90°﹣45°＝45°．

故答案为：

45°．

8．某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是　④　

①第一次向左拐40°，第二次向右拐40°

②第一次向左拐50°，第二次向右拐130°

③第一次向左拐70°，第二次向右拐110°

④第一次向左拐70°，第二次向左拐110°

【解答】解：

如图：

第一次向左拐70°，∠1＝180°﹣70°＝110°，第二次向左拐110°，∠2＝110°，

所以，∠1＝∠2，

所以，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反．

故答案为：

④．

9．如图，a∥b，∠2＝95°，∠3＝150°，则∠1的度数是　115°　．

【解答】解：

过点C作CD∥a，

∵a∥b，

∴CD∥a∥b，

∴∠1+∠ECD＝180°，∠3+∠DCF＝180°，

∵∠2＝95°，∠3＝150°，

∴∠1+∠2+∠3＝360°，

∴∠1＝360°﹣∠2﹣∠3＝360°﹣150°﹣95°＝115°，

故答案为：

115°．

10．如图，AB∥CD，∠FGB＝154°，FG平分∠EFD，求∠AEF的度数．

【解答】解：

∵AB∥CD，∠FGB＝154°，

∴∠GFD＝180°﹣∠FGB＝180°﹣154°＝26°，

∵FG平分∠EFD，

∴∠EFD＝2∠GFD＝2×26°＝52°，

∵AB∥CD，

∴∠AEF＝∠EFD＝52°．

11．如图AB∥CD，∠B＝62°，EG平分∠BED，EG⊥EF，求∠CEF的度数．

【解答】解：

∵AB∥CD，∠B＝62°，

∴∠BED＝∠B＝62°，

∵EG平分∠BED，

∴∠DEG＝

∠BED＝31°，

∵EG⊥EF，

∴∠FEG＝90°，

∴∠DEG+∠CEF＝90°，

∴∠CEF＝90°﹣∠DEG＝90°﹣31°＝59°．

12．如图，AB∥CD，EF⊥AB于O，∠FGD＝140°，求∠EFG的度数．

【解答】解：

过点F作FM∥AB，如图所示.

∵AB∥CD，FM∥AB，

∴FM∥CD，

∴∠MFG＝180°﹣∠FGD＝180°﹣140°＝40°．

∵EF⊥AB，

∴∠BOF＝90°，

又∵FM∥AB，

∴∠OFM＝180°﹣∠BOF＝180°﹣90°＝90°，

∴∠EFG＝∠OFM+∠MFG＝90°+40°＝130°．

13．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．

如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，求证：

∠EGF＝90°．

证明：

∵AB∥GH（已知），

∴∠1＝∠3（　两直线平行，内错角相等　），

又∵CD∥GH（已知），

∴　∠4＝∠2　（两直线平行，内错角相等）．

∵AB∥CD（已知），

∴∠BEF+　∠EFD　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵EG平分∠BEF（已知），

∴∠1＝

　∠BEF　（　角平分线定义　），

又∵FG平分∠EFD（已知），

∴∠2＝

∠EFD（　角平分线定义　），

∴∠1+∠2＝

（　∠BEF　+∠EFD），

∴∠1+∠2＝90°，

∴∠3+∠4＝90°（　等量代换　），即∠EGF＝90°．

【解答】证明：

∵AB∥GH（已知），

∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），

又∵CD∥GH（已知），

∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等）．

∵AB∥CD（已知），

∴∠BEF+∠EFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∵EG平分∠BEF（已知），

∴∠1＝

∠BEF（角平分线定义），

又∵FG平分∠EFD（已知），

∴∠2＝

∠EFD（角平分线定义），

∴∠1+∠2＝

（∠BEF+∠EFD），

∴∠1+∠2＝90°，

∴∠3+∠4＝90°（等量代换），

即∠EGF＝90°．

故答案为：

两直线平行，内错角相等；∠4＝∠2；∠EFD；∠BEF；角平分线定义；角平分线定义；∠BEF；等量代换．

14．已知AD∥BC，AB∥CD，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．

（1）试证明∠ABC＝∠ADC；

（2）若∠ADC＝58°，求∠AEC的度数．

【解答】

（1）证明：

∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠DCE，

∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCE，

∴∠ABC＝∠ADC，

（2）解：

∵AB∥CD，

∴∠BAD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣58°＝122°，

∵AE平分∠BAD，

∴

，

∵AD∥BC，

∴∠AEC＝∠DAE＝61°．

15．已知M、N分别为直线AB，直线CD上的点，且AB∥CD，E在AB，CD之间．

（1）如图1，求证：

∠BME+∠DNE＝∠MEN；

（2）如图2，P是CD上一点，连PM，作MQ∥EN，若∠QMP＝∠BME．

试探究∠E与∠AMP的数量关系，并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，作NG⊥CD交PM于G，若MP平分∠QME，NF平分∠ENG，若∠MGN＝m°，∠MFN＝n°，直接写出m与n的数量关系　4n﹣m＝270°　．

【解答】解：

（1）过E作EG∥AB，如图1，

∵AB∥CD，

∴EG∥CD，

∴∠BME＝∠MEG，∠DNE＝∠GEN，

∵∠MEN＝∠MEG+∠GEN，

∴∠BME+∠DNE＝∠MEN；

（2）∠E＝∠AMP．

理由：

∵AB∥CD，

∴∠BMP+∠MPD＝180°，∠MPD＝∠AMP，

∵MQ∥EN，

∴∠QME+∠E＝180°，

∵∠QMP＝∠BME．

∴∠QME＝∠BMP，

∴∠E＝∠MPD，

∴∠E＝∠AMP；

（3）如图3，

在

（2）的条件下，∠AMP＝∠E，

∵∠QMP＝∠BME，

∴∠AMQ＝∠DNE，

∵MP平分∠QME，

∴∠PMQ＝∠PME＝∠BME，

∵NG⊥CD，NF平分∠ENG，

∴∠FNG＝∠ENF，

若∠MGN＝m°，∠MFN＝n°，∠PMQ＝∠PME＝∠BME＝y°，∠AMQ＝∠DNE＝x°，∠FNG＝∠ENF＝z，

则m＝x+y+90°，n＝x+y+z，x+2z＝90°，x+3y＝180°，

解得4n﹣m＝270°．

故答案为4n﹣m＝270°．

5.3.2命题、定理、证明

16．下列语句中，不是命题的是（　　）

A．如果a+b＝0，那么a、b互为相反数

B．内错角相等

C．已知a2＝4，a的值是多少？

D．负数大于正数

【解答】解：

根据命题的定义知道A、B、D选项均对事情做出了判断，是命题；C选项是一个疑问句，不是命题，

故选：

C．

17．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（　　）

A．垂直

B．两条直线

C．同一条直线

D．两条直线垂直于同一条直线

【解答】解：

命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线．

故选：

D．

18．下列命题是真命题的是（　　）

A．如果两个角是内错角，那么它们一定相等

B．如果两个角是同位角，那么它们一定相等

C．如果两个角是同旁内角，那么它们一定互补

D．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等

【解答】解：

A、两直线平行，如果两个角是内错角，那么它们一定相等，原命题是假命题；

B、两直线平行，如果两个角是同位角，那么它们一定相等，原命题是假命题；

C、两直线平行，如果两个角是同旁内角，那么它们一定互补，原命题是假命题；

D、如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，是真命题；

故选：

D．

19．有下列三个命题：

①平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．

其中，假命题是（　　）

A．①B．②C．③D．①②③

【解答】解：

①平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题；

②平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；

③如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，错误，是假命题；

故选：

C．

20．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个论断：

①a∥b；②b∥c；③a∥c；④a⊥b；⑤a⊥c．

以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论，组成一个你认为不正确的命题是（　　）

A．已知①②则③B．已知②⑤则④C．已知②④则③D．已知④⑤则②

【解答】解：

A、根据平行线的传递性，由①②可得到③，所以A为真命题；

B、根据平行线的性质和垂直的定义，由②⑤可得④，所以B为真命题；

C、根据平行线的性质和垂直的定义，由②④可得b⊥c，所以C为假命题；

D、根据平行线的判定，由④⑤可得②，所以D为真命题．

故选：

C．

21．下列选项中a，b的取值，可以说明“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例为（　　）

A．a＝﹣5b＝﹣6B．a＝6b＝5C．a＝﹣6b＝5D．a＝6b＝﹣5

【解答】解：

当a＝﹣5，b＝﹣6时，a＞b，但|a|＜|b|，

∴“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题，

故选：

A．

22．下面的句子中是命题的有　

（1）、（3）、（4）、（7）　．

（1）我是中国人；

（2）你吃饭了吗？

（3）对顶角相等；（4）内错角相等；

（5）延长线段AB；（6）明天可能下雨；（7）若a2＞b2则a＞b．

【解答】解：

（1）、（3）、（4）、（7）是命题；

（2）为问句，（5）为描叙句，（6）是猜测，它们都没有进行判断，所以它们都不是命题，

故答案为：

（1）、（3）、（4）、（7）．

23．将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为：

　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　．

【解答】解：

原命题的条件是：

“两个角是对顶角”，结论是：

“这两个角相等”，

命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：

“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．

故答案为：

如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．

24．下列命题中，是真命题的是　①④　．（填序号）

①对顶角相等；

②内错角相等；

③三条直线两两相交，总有三个交点；

④若a∥b，b∥c，则a∥c．

【解答】解：

①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；

②两直线平行，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；

③三条直线两两相交，总有三个或一个交点，故原命题错误，不符合题意；

④若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，是真命题，符合题意，

正确的有①④．

故答案为：

①④．

25．把下列命题改成“如果…那么…”的形式．

（1）不相交的两条直线是平行线

（2）相等的两个角是对顶角

（3）经过一点有且只有一条垂线

（4）直角都相等．

【解答】解：

（1）不相交的两条直线是平行线，∵原命题的条件是：

“两条直线不相交”，结论是：

“这两条直线平行”，

∴命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果…那么…”的形式为：

“如果两条直线不相交，那么这两条直线平行”．

（2）相等的两个角是对顶角，

∵原命题的条件是：

“两个角是对顶角”，结论是：

“这两个角相等”，

∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：

“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．

（3）经过一点有且只有一条垂线，

∵原命题的条件是：

“经过一点”，结论是：

“有且只有一条垂线”，

∴命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如果…那么…”的形式为：

“如果过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直”．

（4）直角都相等．

∵原命题的条件是：

“所有的直角”，结论是：

“都相等”，

∴命题“直角都相等”写成“如果…那么…”的形式为：

“如果所有的角是直角，那么它们都相等”．

26．如图所示，直线l1、l2被l3所截：

①命题“若∠2＝∠3，则l1∥l2”的题设是“∠2＝∠3”，结论是“l1∥l2”；

②“若l1∥l2，则∠1＝∠4”的依据是“两直线平行，同位角相等”；

③“若∠3≠∠2，则l1不平行l2”的依据是“两直线平行，内错角相等”；

④“若l1∥l2，则∠4＝∠3”依据是“两直线平行，同位角相等”；

⑤“若∠3+∠5＝180°，则l1∥l2”的依据是“两直线平行，同旁内角互补”．

上面说法正确的是（填序号）　①，③，④　．

【解答】解：

①命题“若∠2＝∠3，则l1∥l2”的题设是“∠2＝∠3”，结论是“l1∥l2”，正确；

②“若l1∥l2，则∠1＝∠4”的依据是“两直线平行，同位角相等”，错误，∠1，∠4不是同位角；

③“若∠3≠∠2，则l1不平行l2”的依据是“两直线平行，内错角相等”，正确；

④“若l1∥l2，则∠4＝∠3”依据是“两直线平行，同位角相等”，正确；

⑤“若∠3+∠5＝180°，则l1∥l2”的依据是“同旁内角互补，两直线平行”，故原依据错误．

故答案为：

①，③，④．

27．如图，已知在△ABC中，∠1＝∠2．

（1）请你添加一个与直线AC有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线；

（2）请你添加一个与∠1有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分线；

（3）如果“已知在△ABC中，∠1＝∠2不变”，请你把

（1）中添加的条件与所得结论互换，所得的命题是否是真命题，理由是什么？

【解答】解：

（1）AC∥BE；

（2）∠1＝∠ABE或∠1＝∠DBE；

（3）是真命题，理由如下：

∵BE是△ABC的外角平分线，

∴∠ABE＝∠DBE，

又∵∠ABD是三角形ABC的外角，

∴∠ABD＝∠1+∠2，

即∠ABE+∠DBE＝∠1+∠2，

又∵∠ABE＝∠DBE，∠1＝∠2，

∴∠ABE＝∠1，

∴AC∥BE．