使用黄金分割法确定步长的牛顿法解析.docx
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使用黄金分割法确定步长的牛顿法解析
长沙理工大学
数学与计算科学学院
实验报告
实验项目名称使用黄金分割法确定步长的牛顿法
所属课程名称最优化方法
实验类型算法编程
实验日期201
班级信
学号
姓名
成绩
一、实验概述：
【实验目的】
（1）掌握Matlab数值计算的基本方法；
（2）掌握最速下降法；
（3）掌握黄金分割法确定步长。
【实验原理】
1.黄金分割法:
一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。
黄金分割法是用于一元函数f（x）在给定初始区间[a,b]内搜索极小点xmin的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。
其基本原理是：
依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。
具体步骤是：
在区间[a,b]内取点：
a1，a2把[a,b]分为三段。
①如果f（a1）>f（a2），令a=a1,a1=a2,a2=a+0.618*（b-a）；
②如果f（a1）如果｜（b-a）/b｜和｜（y1-y2）/y2｜都大于收敛精度ε重新开始循环。
因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。
插入点原理图如下：
算法流程图:
图1
2.牛顿法：
设
是二次可微实函数，
，Hesse矩阵
正定。
在
附近用二次Taylor展开近似
，
，
为
的二次近似。
将上式右边极小化，便得：
，这就是牛顿法的迭代公式。
在这个公式里，步长因子
。
令
，则上式也可写成：
显然，牛顿法也可以看成在椭球范数
下的最速下降法。
事实上，对于
，
是极小化问题
的解。
该极小化问题依赖于所取的范数，当采取
范数时，
，所得方法为最速下降法。
当采用椭球范数
时，
，所得方法即为牛顿法。
【实验环境】
Windows7
Matlab7.0
二、实验内容：
【实验方案】
算例：
的极小值，
。
要求:
1、利用使用黄金分割法确定步长的牛顿法
编写一维搜索方法（含黄金分割法确定步长）；
2、在使用共轭梯度法梯度法进行搜索时可以调用一维搜索方法。
【实验过程】
1.黄金分割法程序流程图
2.牛顿法的改进算法：
给出初始点
。
第k步迭代为：
（1）令
，其中：
，如果
正定
；否则。
（2）计算
的Cholesky分解，
。
（3）解
得
。
（4）令
【实验结论】（结果）
【实验小结】（收获体会）
这次实验，使最优化方法这门课的一些理论知识与实践相结合，更加深刻了我对这门课的认识，巩固了我的理论知识。
我个人得到了不少的收获,一方面加深了我对课本理论的认识,另一方面也提高了个人对于实际问题的解答能力。
对于牛顿法和黄金分割法的原理与应用有个深刻认识,也将老师在课堂上的讲解真正的融会贯通,这次的实验非常有意义.
三、指导教师评语及成绩：
评语
评语等级
优
良
中
及格
不及格
1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强
2.实验方案设计合理
3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）
4实验结论正确.
成绩：
指导教师签名：
批阅日期：
附录1：
源程序
#include
#include
#include
//原函数
#definef（x1,x2）x1*x1+x2*x2-x1*x2-10*x1-4*x2+60
//梯度模
#definetdm（x1,x2）sqrt（（2*x1-x2-10）*（2*x1-x2-10）+（2*x2-x1-4）*（2*x2-x1-4））
//x1的偏导数
#defineG1（x1,x2）2*x1-x2-10
//x2的偏导数
#defineG2（x1,x2）2*x2-x1-4
//一维搜索
//进退法求搜索区间
constfloateps=0.001;
//eps为计算精度；
doubleHJFC（doublex1[],doubles1[]）
{
intk=1,i,j;
doublea0=1,b0=0.5,a1,b1,a[3],f[3],y[3][2],m,n,ak2,c;
//a0为初始步长，b0为初始步长增量；a1,b1为进退法确定的最终区间；
a[0]=a0;
a[1]=a0+b0;
for（i=0;i<2;i++）
for（j=0;j<2;j++）
y[i][j]=x1[j]+a[i]*s1[j];
for（i=0;i<2;i++）
f[i]=f（y[i][0],y[i][1]）;
if（f[0]>f[1]）
while（k）
{
b0=2*b0;
a[2]=a[1]+b0;
for（j=0;j<2;j++）
y[2][j]=x1[j]+a[2]*s1[j];
f[2]=f（y[2][0],y[2][1]）;
if（f[2]>f[1]）
{
m=a[0];
n=a[2];
k=0;
}
else
{
k=1;
a[1]=a[2];
f[1]=f[2];
}
}
else
while（k）
{
b0=2*b0;
a[2]=a[0]-b0;
for（j=0;j<2;j++）
y[2][j]=x1[j]+a[2]*s1[j];
f[2]=f（y[2][0],y[2][1]）;
if（f[2]>f[0]）
{
m=a[2];
n=a[1];
k=0;
}
else
{
k=1;
a[0]=a[2];
f[0]=f[2];
}
}
//黄金分割法求最佳步长
a1=m;
b1=n;
a[0]=n-0.618*（n-m）;
a[1]=m+0.618*（n-m）;
for（i=0;i<2;i++）
for（j=0;j<2;j++）
y[i][j]=x1[j]+a[i]*s1[j];
for（i=0;i<2;i++）
f[i]=f（y[i][0],y[i][1]）;
do
{
if（f[0]{
n=a[1];
a[1]=a[0];
f[1]=f[0];
a[0]=n-0.618*（n-m）;
for（j=0;j<2;j++）
y[0][j]=x1[j]+a[0]*s1[j];
f[0]=f（y[0][0],y[0][1]）;
}
else
{
m=a[0];
a[0]=a[1];
f[0]=f[1];
a[1]=m+0.618*（n-m）;
for（j=0;j<2;j++）
y[1][j]=x1[j]+a[1]*s1[j];
f[1]=f（y[1][0],y[1][1]）;
}
c=（n-m）/（b1-a1）;
}while（fabs（c）>eps）;
ak2=（m+n）/2;
returnak2;
}
//共轭梯度法
voidmain（）
{
doublex[2],s[2],g[4],bita,arph;
//x数组为函数解的转置矩阵；s数组为搜索方向的转置矩阵；g数组为梯度转置矩阵；arph为最优步长；
intk=1;
//k为迭代次数；
//赋初值；
printf（"请输入初始x1、x2:
\n\n"）;
scanf（"%d%d",&x[0],&x[1]）;
printf（"过程如下：
\n\n"）;
g[0]=G1（x[0],x[1]）;
g[1]=G2（x[0],x[1]）;
while（tdm（x[0],x[1]）>eps）
//迭代终止准则；
{
if（k==1）
{
s[0]=-g[0];
s[1]=-g[1];
bita=0;
}
else
{
bita=（g[0]*g[0]+g[1]*g[1]）/（g[2]*g[2]+g[3]*g[3]）;
s[0]=-g[0]+bita*s[0];
s[1]=-g[1]+bita*s[1];
}
arph=HJFC（x,s）;
x[0]=x[0]+arph*s[0];
x[1]=x[1]+arph*s[1];
g[2]=g[0];
g[3]=g[1];
g[0]=G1（x[0],x[1]）;
g[1]=G2（x[0],x[1]）;
printf（"第%d次迭代：
\n\n",k）;
printf（"步长steplength=%f\t",arph）;
printf（"bb=%f\t\n",bita）;
printf（"x[0]=%f\tx[1]=%f\n\n\n",x[0],x[1]）;
k++;
}
k--;
printf（"最后结果为：
\n"）;
printf（"最优解为:
\nx[0]=%f\nx[1]=%f\n最小值为：
min=%f\n迭代次数为：
n=%d\n",x[0],x[1],f（x[0],x[1]）,k）;
}
附录2：
实验报告填写说明
1．实验项目名称：
要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：
目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：
简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：
实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：
这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：
写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：
根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：
本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：
指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
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