⑵平行于y轴的动直线MN与曲线y=f（x）和y=ex-1分别相交于点R和
R;
（3）曲线y=f（x）,直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段RP2的
长度•
求函数y二f（x）的表达式.
七、（本题满分6分）
假设函数f（x）在［0,1］上连续，在（0,1）内二阶可导，过点A（0,f（0））与B（1,f
（1））的直线与曲线y二f（x）相交于点C（c,f（c））,其中0*c<1.
证明:
在（0,1）内至少存在一点•，使「（）=0.
八、（本题满分10分）
k为何值时，线性方程组.
\XiX2kx3二4,
I2
-Xikx2X3二k,
Xi■-X22X34
有惟一解，无解，有无穷多组解？
在有解情况下，求出其全部解•
九、（本题满分9分）
设二次型
f=X：
x；x；2x1x22x2x32X\X3
经正交变换X二PY化成f•2y；，其中X=（为，x；,X3）T和丫=（%,y；,丫3）丁是三
维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数\<
十、（本题满分8分）
设随机变量X和Y同分布,X的概率密度为
3x2,0cxc2,
f（x）=」8
f、x0，、其他•3
（1）已知事件A='Xa‘和B「・Yaf独立，且PAUB=2求常数a.
4
（2）求」y的数学期望.
X
十、（本题满分8分）
假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt服从参数为t
的泊松分布•
（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
⑵求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
Slsint3x256x3
极限llm-=lim1,^nllm2洛llm,
X性2t_°）tM?
^5x+3x=F10x5
3XX5236
所以limxsin21.
xY5x+3x55
（2）【答案】
4
3x_212
【解析】令gx=汇£,则有g0一1©x，则g0=3,
3x+2（3x+2）
由复合函数求导法则知
由于rA=2,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式Aj三0,故
所以秩rA*=0.
注：
按定义
【解析】
此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信
区间，可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.
X_PL因X的方差为▽=1,设X的期望为》，则uN（0,1）.
当置信度为1^=0.95,时〉=0.05,有正态分布表知U：
.二Uo.o25=1.96.因此用公
2
式:
—金孕吩脾.
将x=5,；：
「=1,n=100,U-.=1.96代入上式，得到所求的置信区间为
2
I=（4.804,5.196）.
、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】（C）
【解析】利用函数连续定义判定.
由于当x—0时,sin丄为有界变量“x为无穷小量，则
x
哩f（X戶四胸sinA=0,且f（0）=0.
一xsin\11
xlim-二sin三不存在，所以xTJxx
于是fx在x=0处连续1故（A）（B）不正确.
Vxsinp-f（0）又因为limxlim—
TX_0T十
fx在x=0处不可导,所以选（C）.
limf（x）=limf（x）=f（x0）.
X淤0亠X>XD■■
X-7
⑵【答案】（A）
【解析】Fx=flnxl-fi】I-
xlxA
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
色应f（tdt=f（B（x）R（x）-f（G（X）W（X）.
dx■'x
⑶【答案】（B）
【解析】aL「=A有n个线性无关的特征向量.
由于当特征值’广’2时,特征向量?
1<'2线性无关.从而知，当A有n个不同特征值时，矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么矩阵A可以相似对角化.
因为当A的特征值有重根时，矩阵A仍有可能相似对角化（当特征根的代数重
数等于其几何重数的时候）,所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件，故应
选（B）.
⑷【答案】（D）
【解析】P（BA）=1的充分必要条件是FLAB}",即P（AB）=P（A）.显然四个
P（A）
选项中，当AUB时，AB=A,可得P（AB）=P（A）.因此AUB是P（BA）=1的充分条件•因此选（D）.
⑸【答案】（B）
【解析】题目即考查概率论方面的知识，在计算过程中又用到定积分的一些知
识•由积分的性质，换元积分，并改变积分上下限有
-axma:
-
F（-a）=J（x）dx…J（t）dt=a"x）dx,
随机变量X的密度函数为（x），则「（x）dx=1，又由于,-x）二（x）所以
0■'-■1
「（x）dx二：
:
（x）dx=—,（偶函数积分的性质）
02
_a0aHuC1
即（x）dx亠I"'（x）dx（x）dx（x）dx.
■a0a2
-aHuea1a
于是F（-a）=JJ（x）dx珂®（x）dx=Jo®（x）dx-貯（x）dx=?
-Jo®（x）dx.故应选（B）.
三、（本题满分5分）
【解析】方法一：
利用一阶微分形式的不变性，将方程两端微分，得
dz-dy-dxe^^dxxez4dz-dy-dx=0.
整理后得1xez」》dz=1xez4-ez4dx1xez—y»dy.
方法二：
应先求出函数对x,y的偏导数，将z-y-x，xez*=0两边分别对x,y求
偏导，
Zx-1xez^"zx-1=0,
zy-1xez^^Zy-1=0,
2a2-2a2a
由e2ae2ae
-e'a,得a2，a=0所以a=0或a=1.
五、（本题满分9分）
【解析】⑴利润函数为
22
L=pq_C=（d「eq）q_（aqbqc）=（d-b）q_（ea）q-c,
对q求导，并令dL=0,得dL=（d-b）-2（ea）q=0,得q=-d——.
2dqdq2（e+a）
d2Id—b
因为雪=-2（ea）：
：
：
0,所以，当q二旦旦时为利润函数的极大值点，根据题意dq2（e2+a）
也是利润的最大值点所以Lmax=4^-C.
4（e+a）
eq
⑵因为q（p）」（d-p），所以q（p）=…1,故需求对价格的弹性为=卫qJ—-
eeq
⑶由=1,得q
d
2e.
六、（本题满分8分）
【解析】由题设可得示意图如右•设R（x,f（x））,P2（x,eX-1）,则S=RP2,
x
即［f（t）dt=ex—1_f（x）.
两端求导，得f（x）=ex一f（x）,即f（x）f（x）=ex.
由一阶线性非齐次微分方程求解公式，得
_-p（x）dxp（x）dx
f（x）=e（q（x）edxC）
=e（exedxC）=（exexdxC）e」=Ce」:
ex.
由初始条件f（0）=0,得C=--.因此，所求函数为f（x）=-（ex-e」）.
22
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y*p（x）y二q（x）的通解公式为：
y之一少皿（q（x）eP^dxC），其中C为常数.
七、（本题满分6分）
【解析】因为f（x）分别在［0,c］和［c,1］上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在
i（0,c）,2（c,1）,使得
c—01—c
由于点C在弦AB上，故有卫f
（1）_f（0）,
c—01—c1—0
从而f
（1）=f
（2）=f
（1）-f（0）.
这表明f（x）在区间［1,；］上满足罗尔定理的条件，于是存在一（1,2）（0,1），使
f（H0.
八、（本题满分10分）
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换
（1）当k=-1且k=4时,r（A）=r（A）=3,方程组有唯一解，即
-2k
X3二
k22kk22k4
捲=,x2二
k1k1
⑵当k=「1时,r（A）=3,r（A）二2方程组无解.
_1_12：
的；10⑶当k=4时有A=022[8t
-000^0因为r（A）二r（A）=2：
：
3方程组有无穷多解
01
4.
0
取X3为自由变量，得方程组的特解为:
=（0,4,0）T.
又导出组的基础解系为=（-3,-1,1几所以方程组的通解为〉・k，其中k为任意
常数.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A是mn矩阵，线性方程组Ax二b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A二Ab的秩，即r（A^r（A）.（或者说,b可由A的列向量：
sdJH,〉线表出，亦等同于：
'1/'2^L：
n与>1,〉2,lH「n,b是等价向量组）
设A是mn矩阵，线性方程组Ax二b，则
（1）有唯一解二r
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