第七章 直线与圆.docx

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第七章直线与圆

§7.1直线方程与直线系

班级姓名学号

例1：

已知点A（2，3），B（－3，－2），若直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围。

例2：

一条直线经过P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程。

（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍

（2）夹在两坐标间的线段被P分成1：

2

（3）与x轴，y轴正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小

例3：

一直线被两直线L1：

4x+y+6=0，L2：

3x－5y－6=0截得线段中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程。

例4：

在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y+1=0，∠A的平分线所在直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标。

【备用题】

求证：

不论a取何值，直线（a+1）x－（2a+5）y－6=0必过一定点。

【基础训练】

1、直线

的倾斜角是：

（）A、arctan（

）B、arctan（

）C、π－arctan

D、π－arctan

2、若直线ax+by+c=0通过第一，二，三象限，则：

（）A、ab>0,bc>0B、ab>0,bc<0C、ab<0,bc>0D、ab<0,bc<0

3、光线由点P（2，3）射到直线x+y=－1上，反射后过点Q（1，1），则反射光线方程为：

（）

A、－x+y=0B、4x－5y+31=0C、4x－5y+1=0D、4x－5y+16=0

4、直线xcosθ+

y+2=0的倾斜角的取值范围是：

（）

A、

B、

C、

D、需视θ的取值而定

5、直线过点（－2，－1），且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程为。

6、直线L1，L2的方程分别为y=mx和y=nx（m,n≠0），L1的倾斜角是L2倾斜角的2倍，L1的斜率是L2的斜率的4倍，则mn=。

【拓展练习】

1、下列命题中正确的是：

（）

A、经过点P0（x0,y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示

B、经过定点A（0,b）的直线都可以用方程y=kx+b表示

C、经过任意两个不同点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）的直线都可用方程（x2－x1）（y－y1）=（y2－y1）（x－x1）表示

D、不经过原点的直线都可以用方程

表示

2、设点P（a,b），Q（c,d）是直线y=mx+k上两点，则|PQ|等于（）

A、

B、

C、

D、

3、直线x+y=2,x－y=2,x+ay=3围成一个三角形，则：

（）

A、a≠±1B、a≠1且a≠2C、a≠－1且a≠2D、a≠±1且a≠2

4、经过两直线11x+3y－7=0和12x+y－19=0的交点，且与A（3，－2），B（－1，6）等距离的直线的方程是。

5、一直线过点A（－3，4），且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是。

6、平面上有相异两点A（cosθ,sin2θ）和B（0，1），求经过A、B两点直线的斜率及倾斜角的范围。

7、已知直线L：

y=ax+2和A（1，4），B（3，1）两点，当直线L与线段AB相交时，求实数a的取值范围。

8、已知P（2，1），过P作一直线，使它夹在已知直线x+2y－3=0,2x+5y－10=0间的线段被点P平分，求直线方程。

9、求证：

不论a,b为何实数，直线（2a+b）x+（a+b）y+a－b=0均通过一定点，并求此定点坐标。

10、已知点F（6，4）和直线L1：

y=4x，求过P的直线L，使它和L1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。

§7.2两直线的位置关系

班级姓名学号

例1：

已知两直线L1：

（m+3）x+5y=5－3m,L2：

2x+（m+6）y=8，当m为何值时，L1与L2，

（1）相交，

（2）平行，（3）重合，（4）垂直。

例2：

在△ABC中，|AB|=|AC|，∠A=120°，A（0，2），BC所在直线方程为

x－y－1=0,求边AB、AC所在的直线方程。

例3：

正方形中心在M（－1，0），一条边所在的直线方程为x+3y－5=0，求其他三边所在直线的方程。

例4：

一直线过点P（2，3），且和两平行直线3x+4y+8=0及3x+4y－7=0都相交，两交点间线段长为3

，求这直线方程。

【备用题】

一条光线从点M（5，3）射出后被直线L：

x+y=1反射，入射光线到直线l的角为β，且tanβ=2，求入射光线和反射光线所在直线方程。

【基础训练】

1、两直线的斜率相等是两直线平行的：

（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件

2、设方程f（x,y）=0表示定直线，M（x0,y0）是直线L外的定点，则方程f（x,y）－f（x0,y0）=0表示直线：

（）

A、过M与l相交，但与l不垂直B、过M且与l垂直C、过M与l平行D、以上都不对

3、已知A（3，0），B（0，4），则过B且与A的距离为3的直线方程为。

4、已知直线l和直线m的方程分别为2x－y+1=0，3x－y=0，则直线m关于直线l的对称直线m′的方程为。

5、过L1：

3x－5y－10=0和L2：

x+y+1=0的交点，且平行于L3：

x+2y－5=0的直线方程为。

6、△ABC中，a,b,c是内角A、B、C的对边，且lgsinA、lgsinB、lgsinC成等差数列，则下列两条直线L1：

sin2A·x+sinA·y－a=0与L2：

sin2B·x+sinC·y－C=0的位置关系是：

（）

A、重合B、相交（不垂直）C、垂直D、平行

【拓展练习】

1、两直线ax+y－4=0与x－y－2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是：

（）

A、－1－1C、a<2D、a<－1或a>2

2、设两直线L1，L2的方程分别为x+y

（a,b为常数，a以第三象限角），则L1与L2（）A、平行B、垂直C、平行或重合D、相交但不一定垂直

3、设a,b,k,p分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有：

（）

A、a2k2=p2（1+k2）B、

C、

D、a=－kb

4、若点（1，1）到直线xcosα+ysinα=2的距离为d，则d的最大值是。

5、一束光线经过点A（－2，1），由直线L：

x－3y+2=0反射后，经过点B（3，5）射出，则反射光线所在直线的方程为。

6、m,n为何值时，两直线mx+3y+n=0,3x+my+1=0（）A、相交B、平行C、重合D、垂直

7、已知△ABC中，点A（3，－1），AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0,∠B的平分线所在直线的议程为x－4y+10=0，求BC边所在直线的方程。

8、已知定点A（0，a），B（0,b）,（a>b>0），试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。

9、已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点，

（1）若点C在线段OB上，且∠ABC=

，求△ABC的面积。

（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知直线L：

ax+10y+84－108

=0经过点P，求直线l的倾斜角。

10、直线l：

3x－y－1=0，在l上求一点P，使得

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差的绝对值最大；

（2）P到A（4，1），C（3，4）的距离之和最小。

§7.3线性规划

例1：

已知线性约束条件

例2：

点（x,y）是在区域|x|+|y|≤1内的动点，求ax－y（a>0）的最大值及最小值。

例3：

用解析法证明：

等边三角形内一点到三边距离之和为定值。

例4：

某运输公司有7辆载重6t的A型卡车，4辆载重10t的B型卡车，有9名驾驶员，在建造某段高速公

路中，公司承包了每天至少运输沥青360t的任务。

已知每辆卡车每天往返次数为A型8次，B型6次，每

次运输成本为A型160元，B型252元。

每天应派出A型、B型车各多少辆，能使公司总成本最低？

【备用题】

要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板，块数如下表所示：

规格类型

钢板类型

A规格

B规格

C规格

第一种钢板

2

1

1

第二种钢板

1

2

3

今需要A、B、C三种规格的成品各15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？

【基础训练】

1、在直角坐标系中，满足不等式x2－y2≥0的点（x,y）的集合的阴影部分是：

（）

2、若x≥0，y≥0m,且x+y≤1，则z=x－y的最大值是：

（）A、－1B、1C、2D、－2

3、直线y=kx－3与曲线x2+y2=4无交点，则k的取值范围是：

（）A、|k|<

B、|k|≤

C、k>

D、k>－

4、用三条直线x+2y=2,2x+y=2，x－y=3围成一个三角形，则三角形内部区域（不包括边界）用不等式组表示。

5、已知

，则z=2x+y的最大值是。

6、已知x∈R，f（x）的最大值是。

【拓展练习】

1、在约束条件：

x+2y≤5，2x+y≤4，x≥0，y≥0下，x=3x+4y的最大值是（）A、9B、10C、11D、12

2、设R为平面上以A（4，1），B（－1，－6），C（－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x－3y的最大值与最小值分别为：

（）

A、最大值14，最小值－18B、最大值－14，最小值－18C、最大值18，最小值14D、最大值18，最小值－14

3、曲线x=y2与y=x2的交点个数是：

（）A、1B、2C、3D、4

4、若0≤x≤1,－1≤y≤2，则z=x+4y的最小值是。

5、若x≥0,y≥0,2x+3y≤100，2x+y≤60，则z=6x+4y的最大值是。

6、已知函数f（x）=ax2－c满足－4≤f

（1）≤－1,－1≤f

（2）≤5，求f（3）的取值范围。

7、某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售。

已知生产每张书桌需方木料0.1m3，五合板2m2；生产每个书橱需方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利120元，怎样安排生产，可使获利最大？

8、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9g，咖啡4g，糖3g；乙种饮料每杯含仍粉4g，咖啡5g，糖10g。

已知每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g，如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，若每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，应配制两种饮料各多少杯获利最大？

9、某厂有一批长为2.5m的条钢，要截成60cm长和42cm长的两种零件毛坯，怎样下料能使损耗最小？

10、有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于

配套，问怎样截最合理？

§7.4曲线与方程

例1：

平面内有两定点B（－1，1），C（1，－1），动点A满足tan∠ACB=2tan∠ABC，求点A的轨迹方程。

例2：

从圆外一点P（a,b）向圆x2+y2=r2引割线交该圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

例3：

已知两直线L1:

2x－3y+2=0,L2:

3x－2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都变动）与L1、L2都相交，并且L1，L2被圆截得两条线段的长度分别为定值26，24。

求圆心M的轨迹方程。

例4：

已知圆M：

x2+y2－2mx－2ny+m2－1=0与圆N：

x2+y2+2x+2y－2=0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程。

【备用题】

已知定圆C1和两定点M、N，圆心C1不在MN的中垂线上，过MN作圆C2与圆C1交于P、Q两点，求证：

PQ过一定点。

【基础训练】

1、若命题“曲线C上的点坐标满足方程f（x,y）=0”是正确的，则下列命题中正确的是：

（）

A、f（x,y）=0所表示的曲线是CB、满足f（x,y）=0的点均在曲线上

C、曲线C是f（x,y）=0的轨迹D、f（x,y）=0所表示的曲线不一定是C

2、一动点到两坐标轴的距离之和的两倍等于这个动点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程为：

（）

A、x2+y2=2x+2yB、x2+y2=2x－2yC、x2+y2=－2x+2yD、x2+y2=2|x|+2|y|

3、方程

的曲线是（）

4、曲线y=x2－x+2和y=x+b有两个不同的交点，则：

（）

A、b∈kB、b∈（－∞，1）C、b=1D、b∈（1，+∞）

5、命题A：

两曲线F（x,y）=0和G（x,y）=0相交于点P（x0,y0），命题B：

曲线F（x,y）+λG（x,y）=0（λ为常数）过点P（x0,y0），则A是B的。

6、曲线C：

F（x,y）=0关于点（a,b）的对称曲线方程是。

【拓展练习】

1、已知坐标满足方程F（x,y）=0的点都在曲线C上，那么：

（）

A、曲线C上的点的坐标都适合方程F（x,y）=0B、凡坐标不适合F（x,y）=0的点都不在C上

C、不在C上的点的坐标必不适合F（x,y）=0D、不在C上的点的坐标有些适合F（x,y）=0

2、如图所示的曲线方程是：

（）

A、|x|－y=0B、x－|y|=0C、

D、

3、两曲线y=－x2+10与x+y=10交于两点，此两点间距离为：

（）

A、小于

B、大于

C、等于

D、大于2

4、抛物线y=x2+（2m+1）x+m2－1（m∈R）的顶点轨迹方程是。

5、已知点A（cosθ,sinθ）（0≤θ≤π）在曲线x22

xy－y2=1，则θ的值为。

6、在△ABC中，B（－3，0），C（3，0），C（3，0），且∠ABC+∠ACB=135°，当顶点A在x轴上方时，求顶点A的轨迹方程。

7、已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：

x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。

8、从双曲线x2－y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN中点P的轨迹方程。

9、直角三角形一个顶点是P（0，－1），A在x轴上，Q在y轴正半轴，∠PAQ=90°，在QA所在直线上取M点，使|QM|=2|QA|，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程。

10、已知圆C：

（x－2）2+（y－2）2=2，过原点引圆C的切线，两切点为T1、T2，过原点引任一直线L交圆C于M，N，L交线段T1T2于K，求证：

§7.5圆的方程

例1：

求圆x2+y2－x+2y=0关于直线L：

x－y+1=0对称的圆的方程。

例2：

一圆经过A（4，2），B（－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆方程。

例3：

设方程x2+y2－2（m+3）x+2（1－4m2）y+16m4+9=0。

（1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。

（2）当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。

例4：

已知圆和直线x－6y－10=0相切于（4，－1），且经过点（9，6），求圆的方程。

【备用题】

已知圆x2+y2－6x－4y+10=0，直线L1：

y=kx,L2:

3x+2y+4=0,x在什么范围内取值时，圆与L1交于两点？

又设L1与L2交于P，L1与圆的相交弦中点为Q，当k于上述范围内变化时，求证：

|OP|·|OQ|为定值。

【基础训练】

1、A=C≠0，B=0是方程Ax2+Bx+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、不充分不必要条件

2、圆x2+y2－2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是：

（）A、相离B、外切C、相交D、内切

3、以点A（－5,4）为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为：

（）

A、（x+5）2+（y－4）2=16B、（x－5）2+（y+4）2=16C、（x+5）2+（y－4）2=25D、（x－5）2+（y+4）2=16

4、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，（D2+E2－4F>0）关于直线x－y=0对称的充分条件是：

（）

A、D=EB、E=FC、E=FD、D=E且F≠0

5、若两直线y=x+2a,和y=2x+a+1的交点为P，P在圆x2+y2=4的内部，则a的取值范围是。

6、方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k的取值范围是。

【拓展练习】

1、圆x2+y2+2x+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离

的点有（）A、1个B、2个C、3个D、4个

2、方程|x|－1=

所表示的曲线是（）A、一个圆B、两个圆C、半个圆D、两个半圆

3、设直线2x－y－

=0与y轴的交点为P，点P把圆（x+1）2+y2=25的直径分为两段，则其长度之比为：

（）

A、

B、

C、

D、

4、一束光线从点A（－1，1）出发经x轴反射到圆C：

（x－2）2+（y－3）2=1的最短路程是。

5、已知三角形三边所在直线的方程为y=0,x=2,x+y－4－

=0，则这个三角形内切圆的方程为。

6、

（1）圆C：

x2+y2+Dx+Ey+F=0的外部有一点P（x0,y0），求由点P向圆引切线的长度。

（2）在直线2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆x2+y2－4x=0引得的切线长度为最小。

7、已知三角形三边所在直线的方程为x－y+2=0,x－3y+4=0,x+y－4=0，求三角形外接圆的方程。

8、已知圆C与圆x2+y2－2x=0相外切，并和直线L：

x+

=0相切于点（3，－

），求圆方程。

9、关于x的方程

=mx+1（m∈R）。

（1）有一个实根时，求m的取值范围。

（2）有两个实根时，求m的取值范围。

10、曲线x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q满足，

（1）关于直线kx－y+4=0对称，

（2）OP⊥OQ，求直线PQ的方程。

§7.6直线与圆的位置关系

【典型例题】

例1：

已知圆的方程和P点坐标，求经过P点的圆的切线方程。

（1）（x+2）2+（y－3）2=13,P（1,5）

（2）x2+y2=9,P（3,4）

例2：

已知圆上的点A（2，－3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x－y+1=0

相交的弦长为2

，求圆的方程。

例3：

若实数x,y满足x2+y2－2x+4y=0，求x－2y的最大值。

例4：

自圆x2+y2=r2外一点P（x0,y0）向该圆引切线，切点分别为T1，T2，求证直线T1T2的方程为x0x+y0y=r2。

【基础训练】

1、圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y－25=0的距离的最小值是：

（）A、6B、4C、5D、1

2、已知圆（x－2）2+（y+1）2=16的一条直径通过直线x－2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为：

（）

A、2x+y－5=0B、x－2y=0C、2x+y－3=0D、x－2y+4=0

3、曲线y=1+

与直线y=k（x－2）+4有两个交点时，实数k的取范围是：

（）

A、

B、

C、

D、

4、设圆C的方程x2+y2－2x－2y－2=0，直线L的方程（m+1）x－my－1=0，对任意实数m，圆C与直线L的位置关系是：

（）A、相交B、相切C、相离D、由m值确定

5、过圆x2+y2=12上的点M（3，

）作圆的切线，这切线方程是。

【拓展练习】

1、如果M（2,m）,N（4,1）,P（5,3+

）,Q（6,3）四个共圆，则m的值是：

（）A、1B、3C、5D、7

2、若圆（x－3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是：

（）

A、（4，6）B、

C、

D、[4，6]

3、已知圆x2+y2=R2，则被此圆内一点A（a,b）（a,b不同时为0）平分的弦所在的直线方程为。

4、已知直线x+2y－3=0交圆x2+y2+x－6y+F=0于点P、Q，O为坐标原点，且OP⊥OQ，则F的值为。

5、由点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被轴反射光线所在直线与圆x2+y2－4y－4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程。

7、已知圆心在x轴上，半径是5，且以A（5，4）为中点的弦长是2

，求这个圆的方程。

8、已在圆C1的方程是x2+（y－1）2=4，圆C的圆心坐标为（2，－1），若圆C与圆C1交于A、B两点，且|AB|=2

，求圆C的方程。

9、求过圆x2+y2+2x－4y+1=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积最小的圆方程。

10、设圆满足：

（1）截y轴所得弦长为2，

（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3：

1，在满足条件

（1）

（2）的所有圆中，求圆心到直线L：

x－2的距离最小的圆的方程。