C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j];
printf（"%4d",C[i][j]）;
}
printf（"\n"）;
}
}
六．结果展示
程序1和2的运行结果分别如图1-1和1-2所示：
图1-1图1-2
七．实验讨论与总结
1.本实验考察了对数据文件的建立、读入和试用，是一个突破；
2.第一个矩阵相乘中出现小数，故应用float数据类型；第二个矩阵中全是整数，故用int型即可。
3.对于输出结果的排版需要格外注意，应灵活使用输出格式符使其美观完整。
4.文件操作的基本函数（打开、关闭、输入和输出）
①fopen（打开文件）
相关函数open，fclose
表头文件#include
定义函数FILE*fopen（constchar*path,constchar*mode）;
函数说明参数path字符串包含欲打开的文件路径及文件名，参数mode字符串则代表着流形态。
②fclose（关闭文件）
相关函数close，fflush，fopen，setbuf
表头文件#include
定义函数intfclose（FILE*stream）;
函数说明fclose（）用来关闭先前fopen（）打开的文件。
此动作会让缓冲区内的数据写入文件中，并释放系统所提供的文件资源。
返回值若关文件动作成功则返回0，有错误发生时则返回EOF并把错误代码存到errno。
错误代码EBADF表示参数stream非已打开的文件。
③fscanf（输入函数）
功能：
从一个流中执行格式化输入
表头文件：
#include
函数原型：
intfscanf（FILE*stream,char*format[,argument...]）;
FILE*一个FILE型的指针
char*格式化输出函数，和scanf里的格式一样
返回值：
成功时返回转换的字节数，失败时返回一个负数
fp=fopen（"/local/test.c","a+"）;
fscanf（fp,"%s",str）;
④fprintf
功能：
传送格式化输出到一个文件中
表头文件：
#include
函数原型：
intfprintf（FILE*stream,char*format[,argument,...]）;
FILE*一个FILE型的指针
char*格式化输入函数，和printf里的格式一样
返回值：
成功时返回转换的字节数，失败时返回一个负数
fp=fopen（"/local/test.c","a+"）;
fprintf（fp,"%s\n",str）
实验二非线性方程求根
1．问题提出
二．要求
1.编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况；
2.用事后误差估计|xk+1-xk|<ε来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数；
3.初始值的选取对迭代收敛有何影响；
4.分析迭代收敛和发散的原因。
三．实验目的和意义
1.通过实验进一步了解方程求根的算法；
2.认识选择计算格式的重要性；
3.掌握迭代算法和精度控制；
4.明确迭代收敛性与初值选取的关系。
四．计算公式
对于给定的线性方程组x=Bx+f（这里的xBf同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式），用公式x（k+1）=Bx（k）+f（括号中为上标，代表迭代k次得到的x，初始时k=0）逐步带入求近似解的方法称为迭代法（或称一阶定常迭代法）。
如果k趋向无穷大时limx（k）存在，记为x*，称此迭代法收敛。
显然x*就是此方程组的解，否则称为迭代法发散。
五．结构程序设计
各函数及其导数建立如图2-1和图2-2所示：
图2-1图2-2
主函数如下：
voidmain（）
{
doublei,j;
doubleeps=1e-10;
intk;
if（fabs（f11
（1））>1||fabs（f11
（2））>1）
printf（"不满足收敛条件\n"）;
else
{
k=0;
i=f1
（1）;j=i;i=f1（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f1（j）;k++;
}
printf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
}
if（fabs（f22
（1））>1||fabs（f22
（2））>1）
printf（"不满足收敛条件\n"）;
else
{
k=0;
i=f2
（1）;j=i;i=f2（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f2（j）;k++;
}
printf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
}
if（fabs（f33
（1））>1||fabs（f33
（2））>1）
printf（"不满足收敛条件\n"）;
else
{
k=0;
i=f3
（1）;j=i;i=f3（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f3（j）;k++;
}
printf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
}
if（fabs（f44
（1））>1||fabs（f44
（2））>1）
printf（"不满足收敛条件\n"）;
else
{
k=0;
i=f4
（1）;j=i;i=f4（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f4（j）;k++;
}
printf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
}
if（fabs（f55
（1））>1||fabs（f55
（2））>1）
printf（"不满足收敛条件\n"）;
else
{
k=0;
i=f5
（1）;j=i;i=f5（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f5（j）;k++;
}
printf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
}
if（fabs（f66
（1））>1||fabs（f66
（2））>1）
printf（"不满足收敛条件\n"）;
else
{
k=0;
i=f6
（1）;j=i;i=f6（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f6（j）;k++;
}
printf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
}
}
五．结果展示
程序运行结果如图2-3所示：
图2-3
六．实验讨论与总结
1.完成本实验相当于实现了将迭代算法转化成程序语言这一突破；
2.本实验考察众多容易忽视的细节和学生的仔细程度，比如六个函数转化成C语言时，语法会出现众多不适，括号较多，很容易出错；另一方面，在用pow函数求x的y次方时，容易将x的1/3次方写成pow（x，1/3），这样写是错误的。
因为1/3为两int型整数相除，系统执行结果为0，故应写成pow（x，1.0/3）。
这是一个极容易忽视的地方；
☆3.方法改进
由于求导法判定迭代收敛时，必定限制在一个区间内，而这个区间内只能存在一个根。
因此用该方法判断出来的迭代结果如果是不收敛，并不能说明它对于其余的根也不收敛。
因此，求导法只能求出f（x）的一个根，不能满足题目要求，而且求导需人工执行、过程繁琐。
故对该算法进行改进：
#include"math.h"
#include"stdio.h"
doublef1（doublex）
{return（（3*x+1）/（x*x））;}
doublef2（doublex）
{return（（pow（x,3）-1）/3）;}
doublef3（doublex）
{return（pow（3*x+1,1.0/3））;}
doublef4（doublex）
{return（1/（x*x-3））;}
doublef5（doublex）
{return（pow（（3+1/x）,1.0/2））;}
doublef6（doublex）
{return（x-（x*x*x-3*x-1）/（3*（x*x-1）））;}//无需建立导函数
voidmain（）
{
doublei,j;
doubleeps=1e-5;
intk;
k=0;
i=f1
（1）;j=i;i=f1（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f1（j）;k++;
}
if（i<-99999）printf（"不满足收敛条件\n"）;
elseprintf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
k=0;
i=f2
（1）;j=i;i=f2（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f2（j）;k++;
}
if（i<-99999）printf（"不满足收敛条件\n"）;
elseprintf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
k=0;
i=f3
（1）;j=i;i=f3（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f3（j）;k++;
}
if（i<-99999）printf（"不满足收敛条件\n"）;
elseprintf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
k=0;
i=f4
（1）;j=i;i=f4（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f4（j）;k++;
}
if（i<-99999）printf（"不满足收敛条件\n"）;
elseprintf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
k=0;
i=f5
（1）;j=i;i=f5（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f5（j）;k++;
}
if（i<-99999）printf（"不满足收敛条件\n"）;
elseprintf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
k=0;
i=f6
（1）;j=i;i=f6（j）;
while（fabs（i-j）>eps）
{
j=i;
i=f6（j）;k++;
}
if（i<-99999）printf（"不满足收敛条件\n"）;
elseprintf（"满足收敛条件，x≈%f,迭代次数为%d次\n",i,k）;
}
改进算法的程序运行结果如图2-4所示：
图2-4
该方法的思想是：
无区间限制迭代，如果迭代结束得到的结果为无穷大或无穷小，则说明该迭代不收敛。
这种做法更加实用，而且可以看出，求得了两个根。
但就科学性而言，教材上定理2.1的内容显示了迭代法收敛的条件。
定义明确指出用求导判断收敛性，根据定义判断才是最科学的方法。
但考虑到计算机语言的便利性就在于全过程无人工计算，而手动求导的方法与之相违背，从这个角度考虑，改进法更加具有说服力。
但若只需求一个根而又要讲究科学性，我们仍然可以选择求导法。
因此，我们应做到根据情况的不同来选择不同的适当方法来解决问题。
4.初始值的选取对迭代收敛有何影响？
初始值的选取虽然不会改变迭代收敛的性质，但是会影响其收敛速度。
为了提高收敛速度，可设法提高初值的精度以减少迭代的次数。
5.分析迭代收敛和发散的原因。
迭代公式收敛与否，完全取决于迭代公式ψ（x）的性态。
这里考察到迭代法的几何意义：
方程x=ψ（x）的求根问题在几何上就是确定曲线y=ψ（x）与直线y=x的交点P的横坐标。
按教材图2.3演示的路径走下去，在曲线y=ψ（x）上得到点列P0,P1,…,其横坐标分别按迭代公式所确定的迭代值x1,x2,…,如果迭代收敛，则点P1,P2,…将越来越逼近所求的交点P。
否则迭代法发散。
这是迭代收敛和发散的本质原因。
实验三线性方程组的直接解法
1．问题提出
给出下列几个不同类型的线性方程组，请用适当算法计算其解。
二．要求
1.对上述三个方程组分别利用Gauss顺序消去法与Gauss列主元消去法；平方根法与改进平方根法；追赶法求解（选择其一）；
2.应用结构程序设计编出通用程序；
3.比较计算结果，分析数值解误差的原因；
4.尽可能利用相应模块输出系数矩阵的三角分解式。
三．实验目的和意义
1.通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；
2.运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；
3.提高分析和解决问题的能力，做到学以致用；
4.通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。
四．计算公式
本次实验的三个方程组，在此分别使用Gauss顺序消去法、平方根法和追赶法求解。
下面给出这三种方法的计算公式。
1.Gauss顺序消去法计算公式
2.平方根法计算公式
3.追赶法计算公式
五．结构程序设计
1.用Gauss顺序消去法求解线性方程组的程序设计如下（问题1）：
//Gauss顺序消去法--求解线性方程组
//设计人：
尹一君20134651
#include"stdio.h"
#include"math.h"
voidmain（）
{
FILE*f;
doublea[20][20],b[20],x[20];
doublem,s;
inti,j,k;
if（（f=fopen（"Array3.txt","r"））==NULL）
return;
for（i=1;i<=10;i++）
for（j=1;j<=10;j++）
fscanf（f,"%lf",&a[i][j]）;
for（i=1;i<=10;i++）
fscanf（f,"%lf",&b[i]）;
fclose（f）;
for（k=1;k<10;k++）
for（i=k+1;i<=10;i++）
{
for（j=k+1;j<=10;j++）
{
m=a[i][k]/a[k][k];
a[i][j]=a[i][j]-m*a[k][j];
}
b[i]=b[i]-m*b[k];
}
x[10]=b[10]/a[10][10];
for（i=9;i>0;i--）
{
s=0;
for（j=i+1;j<=10;j++）
s=s+a[i][j]*x[j];
x[i]=（b[i]-s）/a[i][i];
}
for（i=1;i<=10;i++）
{
if（fabs（x[i]）<0.5）
x[i]=fabs（x[i]）;
printf（"x[%d]=%f\n",i,x[i]）;
}
}
2.用平方根法求解对称正定阵系数阵线方程组的程序设计如下（问题2）：
//平方根法--求解对称正定阵系数阵线方程组
//设计人：
尹一君20134651
#include"stdio.h"
#include"math.h"
voidmain（）
{
FILE*f;
doublea[10][10],b[10],l[10][10],x[10],y[10];
doubles1,s2,s3,s4;
inti,j,k;
if（（f=fopen（"Array4.txt","r"））==NULL）
return;
for（i=1;i<=8;i++）
for（j=1;j<=8;j++）
fscanf（f,"%lf",&a[i][j]）;
for（i=1;i<=8;i++）
fscanf（f,"%lf",&b[i]）;
fclose（f）;
l[1][1]=pow（a[1][1],1.0/2）;
for（i=1,j=2;j<=8;j++）
l[j][i]=a[j][i]/l[1][1];
for（i=2;i<=8;i++）
for（j=i;j<=8;j++）
if（i==j）
{
s1=0;
for（k=1;k<=i-1;k++）
s1=s1+l[i][k]*l[i][k];
l[i][i]=pow（（a[i][i]-s1）,1.0/2）;
}
else
{
s2=0;
for（k=1;k<=i-1;k++）
s2=s2+l[j][k]*l[i][k];
l[j][i]=（a[j][i]-s2）/l[i][i];
}
y[1]=b[1]/l[1][1];
for（i=2;i<=8;i++）
{
s3=0;
for（k=1;k<=i-1;k++）
s3=s3+l[i][k]*y[k];
y[i]=（b[i]-s3）/l[i][i];
}
x[8]=y[8]/l[8][8];
for（i=7;i>=1;i--）
{
s4=0;
for（k=i+1;k<=8;k++）
s4=s4+l[k][i]*x[k];
x[i]=（y[i]-s4）/l[i][i];
}
for（i=1;i<=8;i++）
{
if（fabs（x[i]）<0.5）
x[i]=fabs（x[i]）;
printf（"x[%d]=%f\n",i,x[i]）;
}
}
3.用追赶法求解三对角形线性方程组的程序设计如下（问题3）：
//追赶法--求解三对角形线性方程组
//设计人：
尹一君20134651
#include"stdio.h"
#include"math.h"
voidmain（）
{
FILE*p;
doublea[15],b[15],c[15],f[15],l[15],u[15],x[15],y[15];
inti;
if（（p=fopen（"Array5.txt","r"））==NULL）
return;
for（i=1;i<=10;i++）
fscanf（p,"%lf",&a[i]）;
for（i=1;i<=10;i++）
fscanf（p,"%lf",&b[i]）;
for（i=1;i<=10;i++）
fscanf（p,"%lf",&c[i]）;
for（i=1;i<=10;i++）
fscanf（p,"%lf",&f[i]）;
fclos
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